En el ámbito de las finanzas, la contabilidad y la administración, comprender y aplicar los principios de la matemática financiera es fundamental. El lector debe establecer y analizar el concepto de Matemática Financiera, así como sus principios y elementos básicos. Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Esto se debe a que una UM disponible hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las matemáticas del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del tiempo. Los resultados de las operaciones los expresamos generalmente con cinco o cuatro decimales, en el caso de los factores o índices.
El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muchas áreas de las finanzas el presupuesto, la valoración de bonos y la valoración accionaria. Los conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupados en dos áreas: el valor futuro y valor actual.
Interés Simple
Una operación financiera es a interés simple cuando el interés es calculado sobre el capital (o principal) original y para el período completo de la transacción. El interés cobrado es proporcional tanto al capital como al período del préstamo, está expresado por medio de una tasa de interés (i). Dentro del interés simple, existen diferentes modalidades:
- a) Interés Comercial o Bancario.
- b) Interés Exacto.
Es una operación de crédito llevada a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio, pagarés, facturas, etc. de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha recibida y la fecha de vencimiento.
Interés Compuesto
A diferencia del interés simple, una operación financiera es a interés compuesto cuando el plazo completo de la operación (por ejemplo un año) está dividido en períodos regulares (por ejemplo un mes) y el interés devengado al final de cada uno de ellos es agregado al capital existente al inicio. Así, el interés ganado en cada período percibirá intereses en los periodos sucesivos hasta el final del plazo completo. Un modelo matemático va manifestándose con mucha nitidez, que no es otra cosa que la fórmula general del interés compuesto para el período n de composición. El interés compuesto es una fórmula exponencial y en todas las fórmulas derivadas de ella debemos operar únicamente con la tasa efectiva.
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Es crucial que el tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.).
Ejemplo de Interés Compuesto
Por ejemplo, si el día de hoy depositamos UM 100 en una libreta de ahorros que paga una tasa de interés de 9% compuesto anualmente, esta inversión crecerá a UM 109 en un año. La tasa de interés en el ejemplo anterior es 9% compuesto anualmente. Esto significa que el interés paga anualmente. Así tenemos que en nuestra libreta de ahorros al final del primer año tendremos UM 109 (el principal más los intereses). Al final de dos años, la inversión inicial habrá crecido a UM 118.81. Como vemos la inversión ganó UM 9.81 de interés durante el segundo año y sólo ganó UM 9 de interés durante el primer año. Así, en el segundo año, ganó no sólo interés la inversión inicial de UM 100 sino también los UM 9 al final del primer año.
Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)
Valor Futuro (VF) - Capitalización
El valor futuro (VF - Capitalización) describe el proceso de crecimiento de una inversión a futuro a una tasa de interés y en un período dado. El valor futuro de un flujo único representa la cantidad futura, de una inversión efectuada hoy y que crecerá si invertimos a una tasa de interés específica. El ejemplo anterior del interés compuesto ilustra perfectamente el concepto de valor futuro.
Valor Actual (VA)
El valor actual, es el valor de las unidades monetarias de hoy. El valor actual de un flujo variable es igual a la suma de los valores actuales de cada uno de estos flujos. Para comprender esto, suponga una inversión en que las promesas de pago de UM 100 dentro de un año y UM 200 dentro de dos años es hoy; si un inversionista tiene que decidir entre estas dos opciones, al inversionista le resultaría indiferente, elegir entre las dos opciones, asumiendo que las inversiones son de igual riesgo, es decir, la tasa de descuento es la misma. Esto es porque los flujos futuros que el inversionista recibiría hoy carecen de riesgo y tienen el mismo valor bajo cualquier alternativa.
Anualidades
Una anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado como una generalización sobre el tema, no siempre son períodos anuales de pago.
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Existen diferentes tipos de anualidades:
- Vencidas.
- Anticipadas.
Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período el VA o VF las pospagables multiplicándolas por (1 + i). El valor actual de una anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales para cada período, es posible hacer una formulación que nos dé el Valor Actual de los flujos de una sola vez obviando el cálculo del descuento flujo por flujo. De esta forma de cálculo son las Anualidades.
Al tratar el cálculo de las anualidades, determinábamos el valor de los flujos en valor actual o del momento cero. También es posible emplear esta misma formulación y plantear por ejemplo, cuánto tendré ahorrado en un momento futuro si depositara una determinada cantidad igual período a período, dada una cierta tasa de interés por período. Anteriormente calculamos el valor actual de una serie de pagos futuros. Es importante notar que en las fórmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de interés no puede ser despejada, por lo cual debe obtenerse por ensayo y error.
Perpetuidades
A partir del valor actual (VA) de una anualidad C, que representa una serie de pagos, depósitos o flujo periódico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando algunas modificaciones podríamos derivar las perpetuidades. Por definición significa duración sin fin. La característica de una perpetuidad es que el número de periodos es grande, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante. Las perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinar el valor de instrumentos de renta fija (VAP) de muchos periodos.
Conceptos Clave de Tasas de Interés
El interés (I) es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, igualmente es el monto cobrado por prestarlos (colocar). La tasa de interés es el precio del tiempo, mientras que la tasa de rentabilidad es el precio del tiempo cuando existe riesgo. En el mundo real, las tasas de interés son en más de un período por año. Por convención, las tasas de interés son en base anual.
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Factores que influyen en la tasa de interés:
- El efecto de la inflación (): medida del aumento del nivel general de precios, valorada a través de la canasta familiar; notamos su efecto en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda.
- El efecto del riesgo: inherente al negocio o inversión. A mayor riesgo, mayor tasa de interés.
- La tasa real « i »: propio del negocio, lo que el inversionista desea ganar, libre de riesgos e inflación. Rendimiento base. Generalmente los bonos del tesoro de EE.UU. son tomados como parámetro para la tasa libre de riesgo.
Otros conceptos importantes relacionados con las tasas son:
- Tasa efectiva anual (TEA): La tasa que realmente paga o cobra por una operación financiera, incluye todos los costos asociados al préstamo o inversión. Común en operaciones bancarias y también en el caso de bonos del tipo «cupón cero».
- Tasa de descuento (d): el uso de la tasa de descuento (d) en vez de (o junto con) la tasa de interés, como referencia del rendimiento de la operación. Pactan muchas negociaciones en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el equivalente en tasas de interés vencido.
- Tasa de interés equivalente: Por lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual deberá establecerse la tasa de interés equivalente para este período de tiempo.
El resultado obtenido con las fórmulas [13A] y [13B], representa la tasa de todo el período de composición. Son de aplicación cuando evaluamos préstamos e inversiones a interés simple (pago flat) y para casos de inversiones a interés compuesto aplicamos la fórmula [13], cuando tratamos con un solo pago.
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