En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica.
Antes de abordar las identidades trigonométricas fundamentales, dejemos claro que una identidad trigonométrica no es más que una igualdad que relaciona dos o más funciones trigonométricas. Verificar las identidades trigonométricas fundamentales. Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas.
Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.
Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. Una función trigonométrica recíproca es una función que es la recíproca de una función trigonométrica típica. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas, las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente.
Tipos de Identidades Trigonométricas Fundamentales
Existen tres tipos o grupos de identidades trigonométricas que se pueden catalogar como fundamentales y de las cuales se pudieran derivar muchas identidades más.
Lea también: IVA 21% Excel
- Identidades Recíprocas: Son aquellas que provienen del despeje de las equivalencias entre una razón trigonométrica y su recíproco correspondiente. El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí.
- Identidades del Cociente: Corresponden al equivalente fraccionario de las razones trigonométricas tangente y cotangente en términos del seno y coseno. El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente, que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades.
- Identidades Pitagóricas: Son aquellas que se deducen del Teorema de Pitágoras. Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la Tabla 1), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. Todas las identidades pitagóricas están relacionadas.
Deducción de las Identidades Recíprocas
Las identidades recíprocas se deducen de la siguiente manera: Ya estás familiarizado con las identidades trigonométricas de seno, coseno y tangente. Un recíproco de una fracción ab es la fracción ba. Es decir, encontramos el recíproco de una fracción intercambiando el numerador y el denominador, o volteando la fracción.
Primero, considere la definición de la función sinusoidal para los ángulos de rotación: \(\sin \theta =\dfrac{y}{r}\). Consideremos ahora la función cosecante: \(\csc \theta=\dfrac{r}{y}\). En el círculo unitario, estos valores son \(\sin \theta =\dfrac{y}{1}=y\) y \(\csc \theta=\dfrac{1}{y}\). Estas dos funciones, por definición, son recíprocas. Por lo tanto, el valor sinusoidal de un ángulo es siempre el recíproco del valor cosecante, y viceversa.
Por ejemplo, si \(\cos \theta=.3\), entonces \(\sec \theta=1.3\). La función secante es, por tanto, par. también se deduce de las identidades del seno y del coseno.
Otras Identidades Fundamentales Relevantes
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y. Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares.
Estrategias para Verificar y Simplificar Identidades Trigonométricas
Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. Dada una identidad trigonométrica, verificar que es verdadera. Trabaje en un lado de la ecuación y continuamos simplificando.
Lea también: Guía IVA reducido
A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En el segundo método, dividimos la fracción, al colocar ambos términos en el numerador sobre el denominador común. Este problema ilustra que hay varias formas de verificar una identidad. Un poco de creatividad a veces simplifica un procedimiento.
Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas, que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Solo vemos un gráfico porque ambas expresiones generan la misma imagen. Una está encima de la otra. Esta es una buena manera de confirmar una identidad verificada con medios analíticos.
También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. Si esta expresión se escribiera en forma de ecuación igual a cero, podríamos resolver cada factor con la propiedad del factor cero. También podríamos utilizar la sustitución como hicimos en el problema anterior.
Aplicaciones de las Identidades Trigonométricas
Las identidades trigonométricas se utilizan ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física.
Lea también: ¿Cómo localizar tus XML del SAT?
tags: #como #se #deducen #las #identidades #reciprocas