El problema de solucionar ecuaciones algebraicas ha sido trabajado desde los tiempos de las civilizaciones antiguas en Egipto y Babilonia. En estas culturas, se planteaban solucionar ecuaciones lineales, cuadráticas y relaciones del estilo a2 + b2 = c2. En papiros egipcios que datan de 2000 años a. C. se hallan soluciones de problemas cuya traducción hoy correspondería a ecuaciones de primer grado. Además, existen evidencias de que los babilónicos ya resolvían ecuaciones complejas antes del 2000 a.C., a pesar de las dificultades ante la inexistencia de los números negativos y la imposibilidad de utilizar una manipulación simbólica.
Los egipcios también elaboraron elementos algebraicos, sin embargo, su construcción fue bastante primaria. Sus aplicaciones estuvieron relacionadas con la repartición de víveres, cosechas y materiales. Herón y Diofanto de Alejandría, por su parte, llamaron a la resolución de problemas “la ciencia de la restauración y el balance”. Alrededor del año 300 a.C. Euclides desarrolló un enfoque geométrico, reduciendo el problema a encontrar una distancia que satisficiese la ecuación. En el siglo I d.C., Herón de Alejandría inventó un método que ayuda a aproximar el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas inexactas.
En el siglo III de nuestra era, el matemático Diofanto de Alejandría escribió la obra Aritmética, en la que crea los signos de la multiplicación, usa abreviaturas y un signo para la sustracción, y también resuelve ecuaciones cuadráticas. En su libro Aritmética, publicado en el siglo III, se tratan de forma precisa las ecuaciones de primer y segundo grado. Además, comenzó a estructurar de forma rigurosa conceptos relacionados con ecuaciones y designó las incógnitas a través de símbolos. Posteriormente, Brahmagupta desarrolló un método en donde se aceptan por primera vez las cantidades negativas y se asignan letras a las cantidades desconocidas.
El Álgebra en la Época Medieval
Para la época medieval los islámicos habían generalizado algunas ecuaciones en forma de binomios. Se discutía la importancia de la variable desconocida X y se utilizaban todos los cálculos aritméticos necesarios para solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas. Sin embargo, las ecuaciones cúbicas siempre han presentado un nivel de dificultad mucho mayor.
En el siglo IX, el matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, vivió aproximadamente entre 780 y 850. Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala (حساب الجبر و المقابلة), nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. El término árabe “al-jarb” se transformó en el castellano “álgebra” y su significado sería restaurar. La primera palabra, al yabr, significa compensación o restauración de los dos miembros de la igualdad de una ecuación, y la segunda, al muqabala, significa reducción de términos semejantes.
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El concepto de álgebra de al-Jwārizmī se ocupa de la teoría de las ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola incógnita, y de la aritmética de binomios y trinomios relativos. Quien entregó reglas para solucionar ecuaciones cuadráticas y un método para resolver ecuaciones cúbicas con raíces reales fue el matemático y astrónomo persa, Omar Khayyam. Sus investigaciones tuvieron un amplio acercamiento a la geometría, trabajando en la dimensión algebraica de la teoría de proporciones de Euclides y extendió el concepto de número hacia los irracionales positivos.
La Revolución de las Ecuaciones Cúbicas y los Números Complejos
A inicios del siglo XVI, los italianos Tartaglia, Scipone del Ferro y Gerolamo Cardano desarrollarían un método general para hallar raíces de polinomios cúbicos. El trabajo sobre ecuaciones cúbicas fue motivado por un estudio del siglo XIV, donde se reducía el número de términos y al considerar solamente soluciones positivas el problema se expandía a solucionar 3 casos particulares.
Del Ferro fue el primero en resolver el caso [1] y quizá también los otros dos, y al morir reveló las fórmulas para los tres casos a su estudiante Antonio Maria Fiore. El día antes del concurso entre Fiore y Tartaglia, este último fue capaz de desarrollar la solución general y ganó. Luego Tartaglia se la reveló a Gerolamo Cardano quien juró mantenerla en secreto, aunque nunca le mostró la prueba. Gerolamo Cardano, médico y matemático, destaca por sus trabajos de álgebra, publicando en 1539 su libro de aritmética Practica arithmetica et mensurandi singulares.
Fue en el caso [2] de las ecuaciones cúbicas donde se llegaba al conocido como casus irreducibilis, que era cuando se obtenía la raíz cuadrada de un número negativo. Cardano menciona un problema cuya solución es imposible sin el uso de los complejos, y así es recordado como el primero en publicar sobre estos en la forma de a + √−b. A finales del siglo XVI, Rafael Bombelli escribe la serie de libros l’Algebra, donde discute el casus irreducibilis llamando “pi´u di meno” a √ −1. Lo cual era una contradicción y una de las razones por las que estos números eran vistos solamente como un truco para deducir ciertos resultados. En cuanto a los números complejos, Girard les dio valor como soluciones formales de ecuaciones, si bien Descartes los rechazó, pues decía que no eran verdaderos números.
Simbolismo y Avances Modernos
Para llegar a los simbolismos actuales se requirieron cientos de años. Matemáticos del Renacimiento, como Diofanto de Alejandría, comenzaron con una rudimentaria utilización de símbolos algebraicos. A partir del siglo XV se comenzaron a utilizar las letras “p” y “m” para la adición y sustracción respectivamente, junto con los símbolos + y -, que también aparecieron durante esta época.
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Fueron mercaderes alemanes quienes comenzaron con el empleo de esta simbología, siendo John Widmann quien en 1489 ideó y formalizó los signos (+) y (─). Por su parte, Rudolff inició el uso del símbolo de raíz cuadrada. En 1557, el inglés Robert Recorde inventó el símbolo =. Cardano, Stevin, Pacioli y Stifel introdujeron la utilización de números irracionales.
El desarrollo de los números complejos continuó. En 1797 Caspar Wessel publicó una representación de los complejos en forma vectorial, la cual no sería reconocida sino hasta 1897 por otro matemático de Dinamarca llamado Sophus Christian Juel. Hay evidencia indicando que Carl Friedrich Gauss había desarrollado esta interpretación alrededor de 1796 pero no la publicó sino hasta el año 1831. Ese mismo año, William Rowan Hamilton dio una definición algebraica de los complejos como parejas ordenadas de números reales con suma y multiplicación, así cimentando las bases del análisis complejo.
“Si este tema ha sido considerado desde un punto de vista equivocado y por lo tanto ha estado rodeado de misterio y oscuridad, la culpa es en gran parte de una terminología inadecuada." "A pesar de la controversia que rodeó a estos números durante tantos años, los complejos han llegado a ser aceptados por la gran mayoría de la comunidad matemática, como también han mostrado ser de gran utilidad tanto en el ámbito teórico como en el práctico, por ejemplo para estudiar funciones vectoriales, resolver integrales definidas que no tienen primitiva y definir transformadas que sirven para resolver ecuaciones diferenciales con aplicaciones en física e ingeniería (por ejemplo en ondas).”
En este mismo periodo también se establecieron nuevas relaciones entre geometría y álgebra. El francés Oresme trabajó con los conceptos de tiempo, rapidez, distancia y velocidad, a través de representaciones gráficas que mezclaban estos dos elementos. Vieta y Fermat también trabajaron bajo la premisa de mezclar geometría y álgebra. Pero fue René Descartes, quien en el siglo XVII fusionó la geometría y el álgebra, dando lugar a la geometría analítica.
Hacia 1850, el irlandés George Boole trabajó en un sistema matemático para desarrollar proposiciones lógicas con símbolos. Esta naciente álgebra, también denominada álgebra lógica, álgebra de contactos o álgebra proposicional, es un cálculo que consiste en que las reglas de las operaciones se refieren principalmente a la ... El cálculo de las raíces de un polinomio o solución de ecuaciones ha sido un factor generador importante en el desarrollo de las matemáticas. Baste para ello mencionar que era la forma de entender el álgebra en sus inicios. Además, constituye una propiedad fundamental del objeto función y consecuentemente trascendental para el estudio del Cálculo Diferencial e Integral.
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