Introducción al Cálculo Actuarial
La matemática actuarial tiene como objetivo el análisis cuantitativo de las operaciones de seguro. Este libro, de contenido práctico, propone una serie de ejercicios referentes a las técnicas cuantitativas existentes en la valoración de las diferentes modalidades de seguro del ramo de vida.
A través de los diversos temas en los que se ha estructurado este trabajo se sigue una secuencia lógica en el aprendizaje matemático-actuarial. Así, desde los conceptos básicos de la matemática financiera hasta el cálculo de las reservas matemáticas, el estudiante va adquiriendo de forma progresiva los conocimientos y destrezas necesarios.
Por todo ello se trata de una obra especialmente recomendada para todos aquellos que deseen introducirse en los conocimientos de la matemática financiera y su vinculación con la matemática actuarial de una forma sencilla y práctica. Elementos de cálculo actuarial por Emma Berenguer Cárceles y Montserrat Hernández Solís.
Fundamentos de Biometría y Probabilidades Actuariales
En este tema se va a tratar la resolución de ejercicios que hacen referencia a la Biometría. La biometría es una ciencia que analiza los modelos biológicos a través de su determinación numérica, y analizando su eficiencia a través de modelos estocásticos. Se encarga de estudiar la supervivencia humana.
El objetivo de este tema es que el alumno conozca los símbolos de conmutación que se emplean para el cálculo de probabilidades sobre una cabeza (asegurado) de edad actuarial x, que forma parte de un colectivo lx. La resolución de los ejercicios se ha llevado a cabo mediante el empleo de las tablas de mortalidad de la población española 1990, separadas por sexo, situadas en el apéndice de este libro.
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Cálculo de Probabilidades de Supervivencia y Fallecimiento
Probabilidad de supervivencia anual (1px)
Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza sobreviva un año más. Se está pidiendo la probabilidad de supervivencia de un hombre de edad x=25 años, para que alcance con vida un año más, esto es, que cumpla los 26 años. Es la probabilidad de supervivencia sobre una cabeza.
Fórmula: 1 px = lx+1 / lx
La probabilidad de que el asegurado sobreviva un año más es del 99,82%. Es un resultado coherente para una cabeza de edad 25 años con una salud normal.
Probabilidad de fallecimiento anual (1qx)
Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca en el transcurso del siguiente año. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad complementaria a la solicitada en el ejercicio n.º 1. Es la probabilidad de que el asegurado varón de edad x=25 no consiga cumplir los 26 años. Es la probabilidad de fallecimiento sobre una cabeza.
Fórmula: 1 qx = 1 − 1 px = (lx − lx+1) / lx
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La probabilidad de que el asegurado fallezca en el año siguiente es del 0,17%. Es un resultado coherente para una cabeza de edad 25 años con una salud normal.
Probabilidad de supervivencia en 'n' años (npx)
Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza sobreviva 30 años más. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años consiga llegar con vida a los 55.
Fórmula: n px = lx+n / lx
La probabilidad de que la mujer asegurada alcance los 55 años es del 96,32%. Se trata de un resultado coherente, para una mujer joven con una salud normal.
Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza sobreviva 30 años más. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que un hombre de 25 años consiga llegar a los 55. Es el mismo ejercicio anterior, pero para un varón.
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La probabilidad de que un asegurado o asegurada alcance con vida los 55 años es del 90,88%. Se trata de un resultado coherente, para un hombre joven con una salud normal. Si se compara la probabilidad de sobrevivir 30 años más para un varón y para una mujer, se comprueba que la probabilidad de supervivencia de las mujeres es superior a la de los hombres. Esto se debe a que la esperanza de vida de las mujeres es superior.
Probabilidad de fallecimiento en 'n' años (nqx)
Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca en el transcurso de 30 años. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años no llegue a vivir hasta los 55.
Fórmula: n qx = 1 − n px = (lx − lx+n) / lx
La probabilidad de que la mujer asegurada fallezca sin llegar a cumplir los 55 años es del 3,67%. Se trata de un resultado coherente para una mujer joven con una salud normal.
Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca en el transcurso de 30 años. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que un varón de 25 años no llegue a cumplir los 55.
Se comprueba que la probabilidad de que el varón fallezca a lo largo de los 30 años es superior a la de la mujer, partiendo de la misma edad actuarial de valoración. Esto es debido a la mayor esperanza de vida de las mujeres.
Comparativa de Probabilidades de Supervivencia y Fallecimiento en 30 años (Edad inicial 25 años):
| Género | Probabilidad de Supervivencia (30p25) | Probabilidad de Fallecimiento (30q25) |
|---|---|---|
| Varón | 0,9088 | 0,09120 |
| Mujer | 0,9632 | 0,03676 |
Probabilidad de fallecimiento en un año específico (n|qx)
Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca justamente a la edad de 56 años. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años alcance con vida los 55 años, falleciendo en el siguiente año.
Fórmula: n|qx = n px qx+n = n px (1 − px+n) = (lx+n / lx) (1 − lx+n+1 / lx+n)
Otro modo de resolución del ejercicio a través de los símbolos de conmutación es el siguiente: n|qx = n px − n+1 px.
La probabilidad de la mujer asegurada que sobrevive a los 55 años, pero fallece sin llegar a cumplir los 56 años, es del 0,31%. Es importante que el alumno no confunda esta probabilidad con la solicitada en el ejercicio n.º 5. Se trata de dos probabilidades diferentes.
Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca justamente a la edad de 56 años. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de un varón de 25 años que pueda cumplir los 55, pero fallezca al siguiente año.
La probabilidad de la mujer asegurada que sobrevive a los 55 años, pero fallece sin llegar a cumplir la edad de 56 años, es del 0,76%. Es importante que el alumno no confunda esta probabilidad con la solicitada en el ejercicio n.º 5. Se trata de dos probabilidades diferentes.
Probabilidades de Fallecimiento Exacto (30|q25):
| Género | Probabilidad de Fallecimiento Exacto (30|q25) |
|---|---|
| Varón | 0,0033 |
| Mujer | 0,0076 |
Resultados mostrados en tanto por uno.
Cálculo del Número de Fallecimientos (dx)
Calcular el número de personas varones fallecidas a la edad actuarial de 50 años, 60 años, 75 años y 90 años. En este ejercicio se está pidiendo el número de fallecimientos que se producen a cada edad actuarial, en concreto entre un grupo de individuos (los incluidos en la tabla de mortalidad seleccionada para la resolución numérica), que tienen todos de partida la misma edad inicial (por defecto la edad 0 de la tabla de mortalidad).
Fórmula: dx = lx − lx+1
Según va avanzando la edad actuarial, el número de personas fallecidas se ve incrementado de manera más que proporcional.
Calcular el número de mujeres fallecidas a la edad actuarial de 50 años, 60, 75 y 90. En este ejercicio se está pidiendo el número de fallecimientos que se producen a cada edad actuarial en concreto entre un grupo de individuos (los incluidos en la tabla de mortalidad seleccionada para la resolución numérica), que tienen todos de partida la misma edad inicial (por defecto la edad 0 de la tabla de mortalidad).
Factores de Actualización y Capitalización Actuarial para Valoración de Capitales
Desarrollar el Factor de Actualización Actuarial, así como el Factor de Capitalización Actuarial, mediante símbolos de conmutación, para un asegurado de edad x y un intervalo temporal de n períodos.
Factor de Actualización Actuarial (nEx)
El factor de actualización actuarial es el que sirve para valorar cuantías futuras en el origen de la operación del seguro (valor actual de los capitales), estando asociada dicha valoración a la probabilidad de supervivencia o fallecimiento del asegurado.
Fórmula: n Ex = vn n px = vn (lx+n / lx)
Calcular la cuantía que debe depositar hoy un asegurado varón de edad x 30 años en una entidad financiera, para que, en el caso de cumplir los 65 años, se le haga entrega de una cuantía única de 120.000€. En este ejercicio hay que aplicar el factor de actualización actuarial, ya que lo que se está solicitando es la valoración financiero-actuarial a día de hoy de una cuantía que vence dentro de 35 años y va asociada a la probabilidad de supervivencia del individuo.
Factor de Capitalización Actuarial (1/nEx)
El factor de capitalización actuarial es el que sirve para valorar cuantías presentes en un momento posterior (valor final de los capitales), estando asociada dicha valoración a la probabilidad de supervivencia o fallecimiento del asegurado.
Fórmula: 1 / n Ex = 1 / (vn n px) = 1 / (vn (lx+n / lx))
Sea un asegurado de edad actuarial x= 25 años que deposita en una entidad financiera un monto de 10.000€, valorándose a un tipo de interés técnico del 2%. Calcular la cuantía de que dispondrá este varón cuando alcance la edad de jubilación a los 65. En este ejercicio se aplicará el factor de capitalización actuarial al ver que se está solicitando la valoración financiero-actuarial dentro de 40 años de una cuantía disponible hoy y que va asociada a la probabilidad de supervivencia del individuo.
Contexto de las Rentas Actuariales
A través de los diversos temas en los que se ha estructurado este trabajo se sigue una secuencia lógica en el aprendizaje matemático-actuarial. Así, desde los conceptos básicos de la matemática financiera hasta el cálculo de las reservas matemáticas, el estudiante va adquiriendo de forma progresiva los conocimientos y destrezas necesarios. Dentro de esta secuencia, se abordan temas clave como las Rentas Financieras y las Rentas Actuariales.
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