Las anualidades, son una herramienta de vital importancia dentro de las matemáticas financieras, ya que su uso está presente en la gran mayoría de operaciones o transacciones económicas, financieras y/o comerciales. Siempre que se quiera adquirir algún producto, algún bien como lo es una casa, y se quiera hacer dicha compra a crédito, va a ser necesario un contrato en el que quedaran especificados una serie de pagos, con cierta temporalidad, a una cierta tasa de interés, mediante los cuales se irá pagando dicha deuda, o dicho crédito.
Las anualidades resultan familiares en la vida diaria: rentas, sueldos, seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros de vida, pensiones, aportaciones a fondos de amortización, alquileres, jubilaciones, etcétera. Una anualidad puede proporcionar una fuente de ingreso estable, especialmente útil durante la jubilación, o puede ayudar a gestionar deudas grandes como un préstamo hipotecario, distribuyendo el costo en el tiempo.
¿Qué es una Anualidad?
Una anualidad es una serie de pagos regulares y periódicos, que pueden ser tanto ingresos como desembolsos, establecidos para un periodo concreto. Una anualidad se refiere a pagos o ingresos que recibes o realizas de manera periódica. Puede ser mensual, trimestral, semestral o anual, y lo esencial es que estos pagos son regulares y constantes en su intervalo. Dicho de otra manera, una anualidad es esencialmente un flujo de pagos que se efectúan en periodos de tiempo establecidos, facilitando así la administración de tus finanzas. Este concepto es utilizado tanto para ahorros como para deudas.
Se entenderá por anualidad, al conjunto de pagos que se realizarán de forma periódica durante un cierto tiempo, que tendrá la misma periodicidad que los pagos, haciendo el uso del modelo de interés compuesto. Si bien una anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros generalmente iguales que se realizan en periodos regulares de tiempo y con un interés, hay varios tipos de anualidad y diferencias entre cada tipo.
En préstamos (por ejemplo, para adquisiciones de bienes), generalmente los pagos efectuados son iguales en intervalos y todo indica que la medida común es un año, a menos que se indique lo contrario. Los pagos de una anualidad se pueden hacer al inicio o al final del periodo, o también en sucesivos periodos intermedios. Puede ser que el periodo de capitalización coincida o no con el pago.
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Conceptos Fundamentales
En el estudio de las anualidades y las matemáticas financieras, se utilizan varios términos clave:
Representa el capital inicial, llamado también principal.
Representa el capital final, llamado también monto o dinero incrementado.
Es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año.
Es la tasa de interés por periodo y representa el costo o rendimiento por periodo de capitalización de un capital, ya sea producto de un préstamo o cantidad que se invierte.
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Clasificación de las Anualidades
Las anualidades pueden clasificarse de distinta forma. Existen varias, incluyendo anualidades vencidas, diferidas y anticipadas, cada una con características distintas que benefician en diferentes circunstancias.
Anualidades según la certidumbre de los pagos
Anualidades ciertas. Son aquellas en las que los pagos no tienen ningún tipo de restricción, condición u ocurrencia de evento para que se lleven a cabo los pagos.
Anualidades contingentes. En ellas, se desconoce una o las dos fechas del plazo y no se pueden preestablecer. Eventual o contingente: El pago inicial o final se efectúa siempre y cuando se dé un hecho acordado anteriormente entre las partes involucradas.
Anualidades según el momento del pago
Anualidades ordinarias vencidas. Como se mencionó, son el tipo de anualidad, en el que los pagos se realizan al final de cada periodo. Vencida: El pago se hace al final del periodo acordado. Son aquéllas donde los periodos de pago coinciden con los de capitalización de intereses. Se llaman también vencidas; son aquéllas donde los pagos o depósitos se efectúan ordinariamente al final de cada periodo.
Anualidades anticipadas. Se abordarán el tema de anualidades anticipadas, que como su nombre lo dice los pagos se harán al inicio de cada periodo, las cuales se verá que son de vital importancia, ya que muchas operaciones de seguros hacen uso de ellas. Es cuando el pago periódico se realiza al inicio de cada intervalo de pago. Según Fortus (1997), “una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del período de pago”. Los pagos o depósitos se realizan al principio de cada periodo.
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Anualidades diferidas. Diferida: El pago se hace en un periodo posterior, previo acuerdo entre las partes involucradas.
Anualidades según la variación de los pagos
Perpetuidad. En ellas, los pagos son indefinidos, sin límite de tiempo.
Anualidades crecientes. Su principal característica es que los pagos van incrementando una determinada cantidad cada periodo. Este tipo de anualidades, se utiliza en los casos en lo que alguien solicita un crédito, y de alguna forma sabe que en el futuro sus ingresos mejorarán, condición que les permitirá poder cada vez dar mayores cantidades, para pagar dicho crédito. Se define como anualidad creciente, al tipo de anualidad que se caracteriza por ir incrementando los pagos en cada periodo, es decir; cada pago se realiza con una cantidad mayor, de manera que los pagos crecerán de forma aritmética.
Anualidad decreciente.
Anualidades según la coincidencia de los periodos
Anualidades simples. Igualmente, existen las anualidades simples, cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización. Por ejemplo, un alquiler que se paga cada quincena del mes.
Anualidad general. Sin embargo, en el caso de una anualidad general, el periodo de renta no coincide con el de capitalización. Puede haber una renta por varios periodos capitalizables o varios periodos capitalizables que generan una renta.
Otras clasificaciones de anualidades
Anualidad pagadera p-veces al año.
Anualidad continua.
Cálculo del Valor Presente en Anualidades
Cuando la época del cálculo coincide con la iniciación de la serie de pagos o rentas, el valor equivalente de la serie es actual. Con base en lo anterior, se debe encontrar el valor actual de cada pago para determinar el valor presente total de la serie de rentas.
El valor presente de una anualidad se puede obtener mediante la fórmula pre programada VP de la hoja de cálculo de Excel, la cual representa el valor actual de una inversión. Dicha expresión, es la que se va a estar utilizando para hacer el cálculo del valor presente de una anualidad vencida.
Es necesario notar que, cuando en el modelo el valor de $n=1$ se tiene el caso de una anualidad de un sólo pago, y al ser sólo un pago, no podría ser considerada como una anualidad, sin embargo, se sigue cumpliendo que el valor presente sea igual a $v$.
Si se quiere calcular el valor presente, $V$, en una anualidad creciente, es necesario traer a valor presente cada uno de los pagos, considerando una tasa de interés efectiva por periodo. De la misma forma que, con los modelos obtenidos anteriormente, haciendo despejes, se puede obtener cualquier variable que se utilice en ésa ecuación para conocer su valor numérico.
Herramientas Digitales y Ejemplos Prácticos
En cuanto a las herramientas digitales y electrónicas que se utilizan en materia de las anualidades, el mercado ofrece tablas financieras electrónicas, las cuales simplifican los cálculos matemáticos, ya que proporcionan los valores de varias expresiones que se utilizan en finanzas, según el tiempo y tasas de interés.
Es muy común, en la práctica tener casos en los que combinen mensualidades con pagos anuales. Lo anterior es una práctica común que tiene la intención de reducir la cantidad de intereses que se está pagando.
Escenarios de aplicación de anualidades
Ahora bien, ¿qué cantidad habrá que invertir a 6 % cuatrimestral para tener derecho a recibir seis rentas de 25 000 pesos cada una? De acuerdo con la resolución anterior, se sabe que el valor actual es de 122 933.10.
Don Raúl, desea adquirir un vehículo último modelo, motivo por el cual solicita un autofinanciamiento, el cual requiere que realice un pago del 30% de enganche. El valor total de la unidad cuesta \$400,000. La forma en que Don Raúl desea pagarlo es cubrir el enganche, sacarlo a 60 mensualidades con una tasa del 20% pagadera mensualmente. Además, quiere aportar la cantidad de $20,000 cada cinco años de forma vencida. Luego, para calcular $\prescript{}{5}{\mathbf{A}}_{i}$, es necesario obtener la tasa efectiva anual denotada por $i’$, que al mismo tiempo es una tasa equivalente a la tasa equivalente efectiva mensual que se acaba de calcular.
Una empresa de hilos, compró maquinaria a crédito con un valor de \$500,000, los pagos los va a realizar de forma mensual, con un valor de \$4,000, la duración de la deuda fue de 18 meses, la tasa que están manejando es de 1.35% efectiva mensual. La empresa quiere liquidar dicha deuda lo antes posible. Dado que tiene en puerta un negocio de gran importancia, pretende pagar la totalidad del adeudo dentro de un mes, situación que comunica el vendedor de la maquinaria, para poder renegociar el monto que le resta y que no tenga que estar pagando tanto interés.
Una empresa quiere modernizar su maquinaria, para ello se propone adquirir un crédito. El costo de la maquinaria asciende a un valor de \$1,500,000. Una vez adquirida e instalada, se estima que su producción se incrementará de la siguiente forma: \$30,000 fijos mensuales, con un crecimiento de \$10,000 para las siguientes mensualidades. Como se debe encontrar el valor presente de una anualidad creciente, el cual es el camino que va a tomar la empresa para liquidar dicha deuda.
El señor Abel, quiere constituir una reserva para hacer frente a posibles emergencias que puedan presentarse, con la finalidad de no verse afectado en su economía cuando lleguen a ocurrir. Por tal motivo, quiere ahorrar su aguinaldo que recibió este año junto con sus prestaciones, las cuales en total ascienden a una cantidad de \$15 mil pesos, y planea hacer aportaciones por mil pesos, cantidad que quiere incrementar en \$100 pesos cada mes.
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