Cualquier estudiante que quiera tener éxito en sus estudios de matemáticas debe saber cómo resolver ejercicios con figuras geométricas, como el trapecio. Y cómo sacar el área de un trapecio es, por supuesto, uno de los ejercicios más comunes.
¿Qué es un Trapecio?
Empecemos por el principio. Un trapecio es un cuadrilátero que tiene al menos un par de lados opuestos paralelos. Estos lados se llaman bases (Base Mayor y Base Menor). Sus otros dos lados son opuestos pero no son paralelos. En esencia, un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos.
Existen cuadriláteros que suelen confundirse con el trapecio, como por ejemplo, el paralelogramo. Pero este tiene dos pares de lados opuestos paralelos entre sí, mientras que el trapecio solo tiene un par de lados paralelos entre sí. El paralelogramo tiene la fórmula para obtener el área de: Base × Altura.
Tipos de Trapecios
Existen varios tipos de trapecios, que se distinguen por las características de sus lados no paralelos o sus ángulos:
- Trapecio Isósceles: cuyos lados no paralelos tienen la misma longitud, y sus diagonales son iguales. En un trapecio isósceles, los lados no paralelos son iguales. Puedes dividir el trapecio isósceles en un rectángulo en el centro y dos triángulos rectángulos idénticos a los lados.
- Trapecio Rectángulo: el cual tiene un lado perpendicular a sus bases.
La Fórmula para Calcular el Área de un Trapecio
La fórmula que debes utilizar para calcular el área de un trapecio es la siguiente:
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Área = ((Base mayor + Base menor) × Altura) / 2
Recordamos que la fórmula para calcular la superficie de un trapecio es: Área = ((Base mayor + Base menor) × Altura) / 2. Para encontrar lo que ocupa, simplemente sumas las bases, multiplicas por la altura y divides el resultado entre dos.
Ejemplos Prácticos de Cálculo de Área
Luego de haber revisado la fórmula para calcular el área de un trapecio, aquí tienes 3 ejercicios para practicar y ver cómo se aplica.
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Ejemplo 1 - Área de un Trapecio Isósceles
Supongamos que tenemos ante nosotros un trapecio isósceles con los siguientes datos:
- La longitud de la base superior que empieza en el vértice A y termina en el vértice B, es de 6 cm.
- La longitud de la base inferior que empieza en el vértice D y termina en el vértice C, es de 8 cm.
- La altura, la cual se señala con la letra h (de la palabra 'height' en inglés), equivale a 4 cm.
O sea que la suma de las bases es igual a 6 + 8 = 14. Luego, multiplicamos esta suma por la altura (4 × 14), lo cual es igual a 56. Este resultado hay que dividirlo entre 2, lo cual es igual a 28. Por lo tanto, el área de este trapecio es igual a 28 centímetros cuadrados.
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Cálculo: ( (6 + 8) × 4 ) / 2 = (14 × 4) / 2 = 56 / 2 = 28 cm²
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Ejemplo 2 - Área de un Trapecio General
Supongamos que tenemos un trapecio que no es del tipo isósceles, y que tiene las siguientes medidas:
- La longitud de la base menor que comienza en el vértice A y termina en el vértice B, mide 6 cm.
- La longitud de la base mayor que comienza en el vértice D y termina en el vértice C, es igual a 10 cm.
- La altura (se señala con la letra h) equivale a 4 cm.
La suma de las bases es igual a 16 (6 + 10). Luego multiplicamos esta cifra por la altura (16 × 4), lo cual es equivalente a 64. Por último, dividimos 64 entre 2. El resultado será 32. Lo cual significa que el área del trapecio es de 32 cm² cuadrados.
Cálculo: ( (6 + 10) × 4 ) / 2 = (16 × 4) / 2 = 64 / 2 = 32 cm²
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Ejemplo 3 - Área de un Trapecio Rectángulo
Supongamos que tenemos un trapecio rectángulo con los siguientes datos:
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- La longitud de la base menor que comienza en el vértice A y termina en el vértice B, es igual a 6 cm.
- La longitud de la base mayor que comienza en el vértice D y termina en el vértice C, es igual a 9 cm.
- La altura entre las bases (se señala con la letra h) equivale a 4 cm.
En primer lugar sumamos las bases (6 + 9), cuyo resultado es 15. Luego multiplicamos 15 por la altura (4 × 15), lo cual es igual a 60. Por último dividimos 60 entre 2, lo cual es igual a 30. Por lo tanto el área de este trapecio es igual a 30 cm cuadrados.
Cálculo: ( (6 + 9) × 4 ) / 2 = (15 × 4) / 2 = 60 / 2 = 30 cm²
Tabla Resumen de Ejemplos
Para una referencia rápida, aquí se consolidan los datos y resultados de los ejemplos presentados:
| Tipo de Trapecio | Base Mayor (cm) | Base Menor (cm) | Altura (cm) | Área (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| Isósceles | 8 | 6 | 4 | 28 |
| General | 10 | 6 | 4 | 32 |
| Rectángulo | 9 | 6 | 4 | 30 |
Deduciendo Información Faltante para el Cálculo del Área
La dificultad en el cálculo del área de un trapecio a menudo se centra en obtener los datos cuando no se brindan explícitamente. Debes conocer a la perfección las características de los diferentes tipos de trapecios para poder completar los datos que faltan. A continuación, se presentan algunos escenarios y ejercicios para deducir estos valores.
Cálculo de la Altura si se Conoce el Área y las Bases
Nos dan el siguiente trapecio con un área de 30 cm², una base menor de 6 cm y una base mayor de 9 cm. ¿Cuál es su altura?
Usamos la fórmula del área de un trapecio:
Área = ((Base Mayor + Base Menor) / 2) × Altura
Sustituyendo los datos y resolviendo:
30 = ((9 + 6) / 2) × h
30 = (15 / 2) × h
30 = 7.5 × h
h = 30 / 7.5
h = 4
La altura es igual a 4 cm.
Cálculo del Área a partir del Perímetro en un Trapecio Isósceles
Dado un trapecio isósceles ABCD con una base menor (BC) de 7 cm, una altura (h) de 5 cm y un perímetro (P) de 34 cm. Para calcular el área del trapecio, analizamos la información dada.
- BC = AD = 7 cm (Dado que el trapecio es isósceles, los lados no paralelos son iguales).
- Altura h = 5 cm.
- Perímetro del trapecio P = 34 cm.
Para saber cuánto vale la suma de las bases (AB + DC), restamos los lados conocidos del perímetro:
P − BC − AD = AB + DC
34 − 7 − 7 = AB + DC = 20 cm
Ahora, con la suma de las bases (20 cm) y la altura (5 cm), podemos colocar los datos en la fórmula del área:
Área = (Suma de las Bases × Altura) / 2 = (20 × 5) / 2 = 100 / 2 = 50 cm²
Por lo tanto, el área de este trapecio es igual a 50 cm².
Deduciendo un Lado a partir del Área y Otras Relaciones
Dado el trapecio ABCD, donde AB = AD y el lado DC es doblemente mayor que el lado AB. El valor del área del trapecio es tres veces mayor que el lado AB. La tarea es encontrar el valor del lado AB.
Para encontrar el lado AB, colocaremos los datos en la fórmula, utilizando X como la variable para AB:
- AB = X
- h = AD = X (Dado AB = AD, y en este caso AD es la altura).
- DC = 2X (Dado que el lado DC es 2 veces más grande que AB).
- Área = 3X (Dado que el área trapezoidal es 3 veces mayor que el lado AB).
Sustituimos los datos en la fórmula del área:
Área = ((Base Menor + Base Mayor) × Altura) / 2
3X = ((X + 2X) × X) / 2
3X = (3X × X) / 2
Multiplicamos ambos lados por 2:
6X = 3X²
Dividimos por X ambos lados de la igualdad (asumiendo X ≠ 0, ya que es una longitud):
6 = 3X
X = 6 / 3
X = 2
Por lo tanto, el lado AB es igual a 2.
División del Trapecio para el Cálculo del Área
Para dividir un trapecio en triángulos, dibuja una diagonal desde uno de los vértices de la base mayor hasta el vértice opuesto de la base menor. Esto dividirá el trapecio en dos triángulos. El área total del trapecio será la suma de las áreas de estos triángulos.
Consideraciones Importantes sobre la Información Necesaria
No, es imposible calcular el área de un trapecio sin conocer al menos una longitud de la base. Las bases son fundamentales para aplicar la fórmula del área. Tenga en cuenta que si solo se nos proporciona una base y no es posible determinar el tamaño de la otra base o la altura, no se puede calcular el área.