La función logarítmica en base es la función inversa de la exponencial en base. La función logarítmica es una función matemática que calcula el logaritmo de un valor. El logaritmo es la inversa de la función exponencial y responde a la pregunta de cuántas veces un número base (a menudo 10 o e) debe multiplicarse por sí mismo para alcanzar un determinado valor. Una familia útil de las funciones que se relacionan con las funciones exponenciales son las funciones logarítmicas.
Un logaritmo es un cálculo del exponente en la ecuación y = bx. Puesto de otro modo, encontrar un logaritmo es lo mismo que encontrar el exponente cuya base debe elevarse para obtener el valor deseado. El exponente se convierte en la salida en lugar de la entrada.
Definición del Logaritmo y su Conexión con la Forma Exponencial
Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para que dé como resultado el número b. A b se le llama argumento o antilogaritmo del logaritmo.
El logaritmo de x con la base b se escribe logb x y se define como: logb x = y si y sólo si by = x, donde x > 0 y b > 0, b ≠ 1.
¡Es importante recordar que el resultado de un logaritmo es el exponente! Esto es, logb x pide, “¿Qué exponente con la base b dará el resultado x?” Conocer esta conexión es esencial para entender y trabajar con logaritmos. Convertir una ecuación logarítmica a su ecuación exponencial equivalente puede ser útil para graficar y resolver ecuaciones.
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Los ejemplos en la siguiente tabla muestran algunas ecuaciones en formas logarítmicas y su correspondiente forma exponencial.
| Forma Logarítmica | Forma Exponencial |
|---|---|
| log2 16 = 4 | 42 = 16 |
| log7 1 = 0 | 70 = 1 |
| log5 5 = 1 | 51 = 5 |
Determinando la Base con un Solo Punto
Como se ha visto, hay tres cantidades esenciales en una ecuación logarítmica y = logb x: la base b, el exponente y y la entrada x. Cualquiera de ellos podría faltar en una ecuación que debes resolver. Normalmente la manera más fácil de resolver esto es convirtiendo la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial.
Si se tiene un punto (x, y) que pertenece a la gráfica de una función logarítmica f(x) = logb x, es posible determinar la base b. Esto se logra sustituyendo los valores de x e y en la forma exponencial equivalente: by = x, y luego despejando la incógnita b.
Un aspecto importante a recordar es que las funciones logarítmicas, en su expresión simple, siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1). Si el punto conocido es (a, 1), entonces directamente a es la base de la función.
Ejemplo de Resolución
A continuación, se presenta un ejemplo de cómo determinar la base de una función logarítmica si conocemos un punto por el que pasa.
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Problema: Resolver 3 = logb 64.
Solución:
La ecuación 3 = logb 64 es lo mismo que b3 = 64. Convertimos la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial.
Podrías no saber qué número elevado a la tercera potencia es 64. Puedes intentar rápidamente con algunos valores:
- 13 = 1
- 103 = 1,000
Dado que 64 se acerca más a 1 que a 1,000, la base correcta se acercará más a 1 que a 10. Intentemos otros valores. Como 64 es par, sabes que no necesitas intentar con números impares. Un número impar a cualquier potencia resulta en un número impar. Y un número par a cualquier potencia resulta en un número par.
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- 23 = 8
- 43 = 4 • 16 = 64
Entonces, la base es 4.
Respuesta: b = 4. ¡Lo encontraste! Asegúrate de que usas el número correcto para tu respuesta. ¡Podría ser fácil responder erróneamente “64”!
Cuando resuelves b o y, es útil tener en tu mente presentes muchas relaciones exponenciales, como 53 = 125 y 25 = 32.