Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz. La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica. Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varía la escala. Por la misma definición de parábola, su excentricidad siempre es la unidad. De esto deriva que todas ellas sean semejantes, variando su apariencia de cerradas o abiertas, según la escala.
Una propiedad de la parábola, conocida desde hace dos milenios, ha dado lugar a muchas aplicaciones prácticas, que encontramos en la vida cotidiana. La parábola, girando sobre su eje 360° da lugar a una superficie tridimensional llamada paraboloide. Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica. Las antenas parabólicas, los radiotelescopios o los faros de los coches, se basan en esta propiedad. Las señales radioeléctricas, haces de luz, ondas electromagnéticas, que se emiten desde el foco y rebotan en la superficie de la antena, salen al exterior paralelas al eje. En sentido contrario, la antena recibe del exterior las señales paralelas al eje, rebotan en la superficie y se concentran en el foco.
Elementos Clave de la Parábola
Para comprender la deducción de su ecuación, es fundamental conocer los elementos que definen una parábola:
- Foco (F): El foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.
- Directriz (D): Es la recta fija D. Los puntos de la cónica equidistan de la directriz y el foco. El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que «parecerá» más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz).
- Vértice (V): Es el punto V de la intersección del eje y la parábola. El vértice de una parábola V es el punto donde ésta corta a su eje. Debe recordarse que entre foco, vértice y directriz, el vértice V está siempre en el centro. El orden es F - V - D o D - V - F.
- Eje (E): Es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola.
- Radio vector (R): Es el segmento R que une el foco con cada uno de sus puntos. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.
- Distancia focal: Distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2. Algunos autores llaman parámetro a la distancia entre foco y vértice.
- Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E.
- Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la cónica.
- Cuerda focal: Una cuerda que pasa por el foco F.
- Puntos interiores y exteriores: La parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
Principios Generales para la Deducción de la Ecuación
La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente y tendrá un término en x2. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente y tendrá un término en y2. A partir de la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas. De la misma manera, dados algunos de elementos de una parábola, podemos encontrar su ecuación.
El Significado del Parámetro 'p' y la Constante 'a'
Es importante el signo que lleve el parámetro en la ecuación. En las parábolas verticales, cuando el parámetro lleva signo positivo la cónica se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, ésta se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo que lleva p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo que lleva p es negativo, la cónica se abre a la izquierda. Es importante el signo que afecta al parámetro p. En las parábolas verticales, cuando el signo del parámetro es positivo ésta se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo de p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo de p es negativo, se abre a la izquierda.
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La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, el vértice V será el mínimo de la cónica, es decir, se abre hacia arriba. Si la constante a es negativa, el vértice V será máximo de la parábola, o sea, que se abre hacia abajo. Al igual que en la parábola vertical, la constante a indica lo “abierta” que es ésta. Cuando el valor de a es menor, la cónica aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Si la constante a es negativa, se abre hacia la izquierda.
Deducción de la Ecuación Canónica (Ordinaria) de la Parábola
Parábola con Vértice en el Origen (0,0)
Consideremos una parábola horizontal, cuyo eje es el X de las abscisas, su vértice está en el centro de coordenadas V (0, 0) y que la parábola está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0), a la derecha del vértice. La ecuación de la recta directriz D será x = -p/2, porque la directriz y el foco equidistan del vértice. Que es la de la parábola horizontal con vértice en (0, 0) y abierta a la derecha. La ecuación ordinaria reducida de la parábola horizontal se corresponde con dos funciones. Despejando la variable dependiente y.
Vamos a la ecuación ordinaria reducida de la parábola, pero ahora con su eje vertical y coincidente con el eje de las ordenadas, su vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y está en la parte positiva de las y (abierta hacia arriba). Esta ecuación ordinaria o canónica reducida vertical se deduce con el mismo procedimiento empleado en la reducida horizontal, es decir, a partir de operar sobre la igualdad de los radios vectores de cualquier punto P(x,y).
Análogamente, vemos las expresiones de la ecuación ordinaria o canónica reducida para las parábolas con ejes coincidentes con el eje de las abscisas o con el eje de las ordenadas, siempre con el vértice en el origen V (0,0), pero ahora con valores negativos de las x y de las y respectivamente.
Parábola con Vértice fuera del Origen (h,k)
Volviendo a la ecuación ordinaria reducida de la parábola horizontal. Si se desplazara el vértice a un punto V(xv, yv), tendríamos la ecuación canónica en forma vértice o ecuación ordinaria de la cónica horizontal. Ahora, si se desplazara el vértice de la parábola vertical a un punto V(xv, yv), tendríamos la ecuación ordinaria en forma vértice de la parábola vertical o ecuación canónica.
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Resumen de Ecuaciones y Elementos de la Parábola
A continuación, se presenta un resumen de los elementos y ecuaciones clave para parábolas con ejes focales paralelos a los ejes coordenados.
| Elemento / Ecuación | Parábola Horizontal | Parábola Vertical |
|---|---|---|
| Eje Focal | Paralelo al eje XX (y=k) | Paralelo al eje YY (x=h) |
| Vértice | V(h,k) | V(h,k) |
| Foco | F(h+p,k) | F(h,k+p) |
| Directriz | D: x=h-p | D: y=k-p |
| Ecuación Ordinaria | (y−k)2=4p(x−h) | (x−h)2=4p(y−k) |
| Longitud del Lado Recto (LR) | |LR|=|4p| | |LR|=|4p| |
| Concavidad | Si p>0, cóncava hacia la derecha. Si p<0, cóncava hacia la izquierda. | Si p>0, cóncava hacia arriba. Si p<0, cóncava hacia abajo. |
La Ecuación General de la Parábola
La parábola vertical podía igualmente expresarse mediante la ecuación general. Para una parábola horizontal, la ecuación general es Cy2+Dx+Ey+F=0. Para una parábola vertical, la ecuación general es Ax2+Dx+Ey+F=0. Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la parabola, porque el eje puede ser oblícuo. En estos cuatro casos su ecuación tiene todos los términos de la ecuación general. Se puede comprobar que en las cuatro parábolas se cumplen las dos condiciones de la ecuación general de la parábola, es decir que B2 - 4AC = 0 y que A y C no son nulos al mismo tiempo. No confundir los coeficientes A, B, C, D, E y F de la ecuación general de la parábola (en mayúsculas) con los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola (minúsculas). Donde a ≠ 0 y b y c son números reales.
Raíces y Puntos de Intersección
Las raíces de una parábola vertical de ecuación son los puntos de la misma de ordenada nula (y = 0), es decir, allí donde la parábola corta al eje de ordenadas OX. Una parábola vertical puede tener dos raíces, una o ninguna. Donde el binomio que se halla dentro de la raíz cuadrada es el que determina el número de raíces de la parábola. Por el punto medio de las dos raíces pasará el eje de la parábola, su eje de simetría. El resultado coincide con el hallado para ordenada del vértice de una parábola vertical. La parábola vertical cortará al eje OY cuando la ordenada sea nula, cuando x = 0. Las raíces de la función parabólica son los \(\alpha\) tales que \(f(\alpha ) = 0\). Los puntos \((\alpha ,0)\) de la parábola cortan al eje de abscisas. Una parábola puede tener 1, 2 o ningún punto de corte con este eje.
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