Cuando la luz viaja de un medio a otro, se "dobla" o refracta. La luz no siempre sigue un camino recto, por ejemplo al atravesar diferentes medios su trayectoria puede cambiar, seguro que mas de una vez has visto doblarse un palo al sumergirlo en agua. Este fenómeno lo explica la Ley de Snell, crucial en tecnologías ópticas como las lentes y las fibras ópticas. La Ley de Snell explica por qué la luz cambia de dirección al pasar entre diferentes medios. Este fenómeno, conocido como refracción, ocurre debido a la variación en la velocidad de la luz en diferentes materiales. La calculadora de la ley de Snell te permite explorar este tema en detalle y comprender los principios de la refracción. Sigue leyendo para descubrir cómo se formula la ley de Snell de la refracción y qué ecuación te permitirá calcular el ángulo de refracción.
¿Qué es la Refracción y el Índice de Refracción?
La refracción es el proceso por el que las ondas cambian de dirección cuando viajan entre distintos medios en los que la luz se propaga a distinta velocidad. Cuando un rayo de luz entra en un medio distinto, su velocidad y longitud de onda cambian. Estos medios tienen índices de refracción diferentes. El índice de refracción de un medio \(n\) viene dado por
\[n=\dfrac{c}{v},\]
Donde:
- \(c\) es la velocidad de la luz en el vacío (\(c=3\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\)).
- \(v\) es la velocidad de la luz en el medio
Ambas medidas en metros por segundo \(\mathrm{m/s}\). Como las unidades del numerador y del denominador en la ecuación del índice de refracción son iguales, el valor de \(n\) no tiene unidades: es un cociente. El índice de refracción de un medio indica la velocidad a la que viaja la luz en él: cuanto mayor sea el valor de \(n\), más despacio viaja la luz. Por ejemplo, el índice de refracción del aire es aproximadamente \(n_{aire}=1\), y el del agua, \(n_{agua}=1,33\).
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La relación entre los índices de refracción de dos medios diferentes es inversamente proporcional a la relación de la velocidad de propagación de la luz en cada uno de ellos:
\[\begin{align} \dfrac{n_2}{n_1}&=\dfrac{\dfrac{c}{v_1}}{\dfrac{c}{v_2}}\\\\\dfrac{n_2}{n_1}&=\dfrac{v_1}{v_2} \end{align}\]
Por tanto, la luz se propagará más rápido en materiales con un índice de refracción más cercano a \(1\). Puedes encontrar algunos de los valores de n1n_1 y n2n_2 para medios comunes en la calculadora del índice de refracción.
Índices de Refracción de Distintos Materiales
La siguiente tabla muestra el índice de refracción de varios medios: el índice de refracción del aire, el índice de refracción del agua o el índice de refracción del vidrio crown, con cuatro cifras significativas.
| Medio | Índice de refracción |
|---|---|
| Aire | \(1,000\) |
| Hielo | \(1,309\) |
| Agua | \(1,333\) |
| Vidrio crown | \(1,517\) |
| Circón | \(1,923\) |
| Diamante | \(2,417\) |
Tabla 1: Índices de refracción de distintos medios como los índices de refracción del aire, el agua o el vidrio.
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La Ley de Snell de la Refracción
La ley de Snell es la ecuación que relaciona los ángulos de incidencia y el ángulo del rayo de luz refractado, en función de los índices de refracción de los dos medios distintos en los que se mueve el rayo. La expresión es la siguiente:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)\]
El diagrama que se muestra a continuación ilustra lo que representan los ángulos en la ecuación (como en la Fig. 3 del material). La línea perpendicular a la superficie del nuevo medio se llama normal. El ángulo entre el rayo luminoso incidente y la normal se denomina ángulo de incidencia. El ángulo entre el rayo saliente y la normal en el lado opuesto del límite se conoce como ángulo de refracción. El rayo se curva hacia la normal entre dos medios (cuando su velocidad disminuye) o se aleja de ella (cuando su velocidad aumenta).
Cuando una onda de luz incide en la superficie que separa dos medios con propiedades ópticas distintas, una parte de la onda se refleja, regresando al medio original, mientras que la otra parte se refracta, es decir, penetra en el segundo medio cambiando su dirección. Cuando la luz pasa de un medio a otro con un índice de refracción mayor (por ejemplo, de aire a agua), el ángulo de refracción es menor que el ángulo de incidencia. Esto significa que la luz se dobla hacia la normal. Cuando la luz pasa de un medio a otro con un índice de refracción menor (por ejemplo, de agua a aire), el ángulo de refracción es mayor que el ángulo de incidencia. En este caso, la luz se dobla alejándose de la normal.
En las situaciones mostradas, el medio 2 tiene un mayor índice de refracción que el medio 1. Tenga en cuenta que, como se muestra en la Figura 1.13(a), la dirección del rayo se acerca a la perpendicular cuando pasa de un medio con un índice de refracción menor a otro con un índice de refracción mayor. Por el contrario, como se muestra en la Figura 1.13(b), la dirección del rayo se aleja de la perpendicular cuando progresa desde un medio con un índice de refracción más alto a otro con un índice de refracción más bajo.
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Derivación de la Ley de Snell
Veamos cómo se obtiene esta ecuación. El principio fundamental detrás de la Ley de Snell es el principio de Fermat, también conocido como el principio del camino óptico mínimo. La Ley de Snell se deriva aplicando el Principio de Fermat.
El diagrama anterior (referente a la Fig. 1 en el material original) muestra la trayectoria de un rayo de luz que se desplaza desde un medio con índice de refracción \(n_1\) a otro con índice de refracción \(n_2\), donde \(n_2>n_1\), por lo que el rayo se curva hacia la normal (lo contrario pasaría si \(n_1>n_2\)). Es posible que ya hayas visto la ecuación que relaciona la velocidad de la luz con la longitud de onda y la frecuencia de una onda:
\[c=v\cdot \lambda ,\]
Donde: \(c\) y \(v\) representan las mismas cantidades que en la primera ecuación, y \(\lambda\) es la longitud de onda de la luz medida en metros. Cuando un rayo de luz se desplaza de un material a otro, su frecuencia no cambia, pero sí su velocidad; lo que significa que su longitud de onda debe cambiar. En la situación mostrada anteriormente, a medida que la luz se desplaza del primer medio al siguiente, su velocidad disminuye, por lo que la longitud de onda también disminuye. El diagrama muestra los frentes de onda de los rayos de luz entrante y saliente. Puedes ver que están más espaciados después de cruzar la frontera. Podemos utilizar la trigonometría junto con las ecuaciones expuestas anteriormente para demostrar la Ley de Snell.
Algunas de las distancias y ángulos útiles están marcados en el diagrama \(A\) y \(B\); representan las distancias que recorren los rayos entrantes y salientes en un determinado período de tiempo (podrían representar las longitudes de onda, y se obtendría el mismo resultado). Se relacionan con las velocidades de la luz en los distintos medios como:
\[\begin{align} A&=v_1T \\ \\ B&=v_2T \end{align} \]
En estas ecuaciones \(v_1\) y \(v_2\) representan las velocidades de la luz en los medios \(1\) y \(2\), respectivamente, y \(T\) es un período de tiempo arbitrario medido en segundos. Podemos identificar dos triángulos rectángulos en el límite (como en la Fig. 2 del material). Luego, utilizando trigonometría, podemos relacionar los ángulos \(\theta_1\) y \(\theta_2\) con los lados conocidos:
\[\begin{align} \sin(\theta_1)&=\dfrac{A}{C} \\ \\ \sin(\theta_2)&=\dfrac{B}{C} \end{align} \]
Por tanto:
\[\begin{align} \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}&=\dfrac{A}{B} \\ \\ \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}&=\dfrac{v_1T}{v_2T} \\ \\ \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}&=\dfrac{v_1}{v_2} \end{align} \]
A continuación, podemos expresar las velocidades en cada medio, en función de su índice de refracción, utilizando la definición del índice de refracción:
\[v=\frac{c}{n}\rightarrow \dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{c/n_1}{c/n_2}=\dfrac{n_2}{n_1}\]
Esto nos lleva a la expresión:
\[\dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\dfrac{n_2}{n_1}\]
que puede reordenarse para obtener la Ley de Snell:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)\]
Ejemplos Prácticos y Aplicaciones de la Ley de Snell
La Ley de Snell puede utilizarse en muchos problemas para averiguar cómo se comportará un rayo de luz al incidir sobre un límite entre dos medios de diferente índice de refracción. Por ejemplo, es posible que a menudo observe cosas extrañas al mirar dentro de una pecera. Por ejemplo, puede ver que el mismo pez aparece en dos lugares diferentes (Figura 1.12). Esto ocurre porque la luz que viene del pez hacia usted cambia de dirección cuando sale de la pecera, y en este caso, puede recorrer dos caminos diferentes para llegar a los ojos de la persona que mira. El cambio de dirección de un rayo de luz (llamado de manera general curvatura) cuando pasa a través de sustancias de diferentes índices de refracción se llama refracción y se relaciona con los cambios en la velocidad de la luz, v=c/nv=c/n.
Al mirar la pecera como se muestra, podemos ver el mismo pez en dos lugares diferentes, porque la luz cambia de dirección cuando pasa del agua al aire. En este caso, la luz puede llegar al observador por dos caminos diferentes, por lo que el pez parece estar en dos lugares distintos. Esta curvatura de la luz se llama refracción y es responsable de muchos fenómenos ópticos. Hay una forma útil de comprobar tus cálculos cuando trabajas con la Ley de Snell. Piensa en un coche que pasa de una carretera lisa, a través de un límite, a un campo embarrado. El coche se moverá más despacio en el campo que en la carretera. Si el coche se adentrara en el campo en ángulo, el lado del coche que entrara primero en el campo se movería más despacio que el lado que aún está en la carretera. Esto haría que el coche girara en la dirección del lado que se mueve más despacio hasta que ambos lados se movieran a la misma velocidad.
Del mismo modo, si un rayo de luz pasa de un medio con un índice de refracción menor a otro mayor, la trayectoria del rayo se inclinará hacia la normal. Esto, porque el rayo de luz se mueve más despacio en el medio con mayor índice de refracción, igual que el coche se mueve más despacio en el campo. Si un rayo de luz pasa de un medio con un índice de refracción mayor a otro menor, la trayectoria del rayo se desviará de la normal. La ley de Snell es muy útil en muchas aplicaciones modernas, como el diseño de lentes e, incluso, de cables de Internet de alta velocidad.
Cálculos de Ángulos de Refracción
Hagamos un ejercicio de ejemplo: Un rayo de luz incide sobre un bloque de cristal. El ángulo de incidencia es \(45^{\circ}\). Teniendo en cuenta que la refracción del aire y del vidrio son \(n_1=1\) y \(n_2=1,5\), respectivamente, ¿cuál es el ángulo de refracción? Antes de hacer el cálculo, piensa si el rayo de luz se inclinará hacia la normal o se alejará de ella (como se indica en la Fig. 4 del material).
Solución: En este problema utilizamos la ley de Snell:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)\]
Podemos introducir los valores marcados en la figura así:
\[1\cdot\sin(45^{\circ})=1,5\cdot\sin(x)\]
Luego, esta expresión puede reordenarse para hallar:
\[\begin{align} x&=\arcsin\left(\dfrac{\sin(45)}{1,5}\right) \\ x&=28^{\circ} \end{align}\]
Veamos otro ejemplo de la ley de Snell: Un rayo de luz incide sobre un prisma de forma triangular (como en la Fig. 5 del material). El ángulo de incidencia en la primera cara es \(45^{\circ}\) y el ángulo en la parte superior del prisma es \(40^{\circ}\). ¿Cuál es el ángulo de refracción desde la segunda cara del prisma (cuando el rayo sale del prisma al aire)? Considera que el prisma está hecho del mismo cristal que en el ejemplo anterior.
Solución: Este problema puede parecer complicado al principio, pero basta con utilizar la trigonometría y dos aplicaciones de la Ley de Snell. Es útil etiquetar los ángulos que creas necesarios, como en la figura anterior. El ángulo que queremos encontrar es el ángulo de refracción de la segunda cara, que está marcado con la letra \(y\). El ángulo \(x\) es, de hecho, el mismo que en el primer ejemplo. Se puede hallar mediante el uso de la Ley de Snell para el rayo de luz que incide en la primera frontera entre el cristal y el prisma:
\[\begin{align} \sin(45^{\circ})&=1,5\cdot\sin(x) \\ x&=\arcsin\left(\dfrac{\sin(45^{\circ})}{1,5}\right)=28^{\circ} \end{align}\]
Los ángulos \(x\) y \(a\) forman el ángulo recto entre la normal y el límite, por lo que suman \(90\) grados. Por tanto, el ángulo \(a\) es:
\[a=90^{\circ}-x=62^{\circ}\]
El ángulo en el vértice superior del triángulo, A, es \(40^{\circ}\). Se puede ver que este vértice también forma un triángulo con los puntos donde los rayos de luz se encuentran con los dos límites. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman \(180^{\circ}\) y, como el ángulo \(a\) lo acabamos de encontrar, ahora se puede calcular el ángulo \(b\):
\[b=180^{\circ}-40^{\circ}-a=140^{\circ}-62^{\circ}=78^{\circ}\]
Una vez más, los ángulos \(b\) y \(c\) se suman para formar el ángulo recto entre la normal y el límite del lado derecho del prisma, por lo que:
\[90^{\circ}-b=c=12^{\circ}\]
Por último, hay que aplicar de nuevo la Ley de Snell para hallar el ángulo \(y\), que es el ángulo de refracción cuando el rayo de luz sale del prisma: