La geometría tridimensional se basa en formas algebraicas que involucran, directa o indirectamente, tres variables llamadas por convención x, y y z. Las figuras que describen las ecuaciones algebraicas se ubican en el espacio tridimensional, que representa la idea inmediata de tridimensionalidad a partir de plano cartesiano. El plano xy es simplemente el plano cartesiano, que se observa acostado. El eje z sobre sale perpendicularmente de dicho plano y ofrece la idea de profundidad. Al graficar una figura tridimensional, se encuentran puntos en el espacio con coordenadas de tres componentes P (x, y, z). Lo ideal es ubicar al punto p(x ,y ) sobre el plano xy y luego su profundidad z correspondiente.
Existen dos primeras formas de geometría en el espacio: las rectas y los planos. Las rectas y los planos son figuras tridimensionales lineales, pues las variables x, y y z no se elevan a ningún exponente sino 1. El aspecto de estas figuras nunca será curvo. Los planos son superficies rectas en el espacio, poseen ecuaciones que involucran generalmente a las tres variables x, y y z.
Conceptos Fundamentales para Definir un Plano
Un plano es un objeto tridimensional que queda definido si conocemos un punto que pertenezca al plano y dos vectores directores que sean linealmente independientes. También puede ser determinado por tres puntos que no se encuentren todos en la misma línea, o por un punto del plano y un vector perpendicular a él. Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene. La ecuación de los planos se encuentra siguiendo un método específico.
Tipos de Ecuaciones del Plano en el Espacio
A continuación, estudiaremos las distintas representaciones en forma de ecuación que puede tener un plano en el espacio. Distinguiremos entre la ecuación vectorial, paramétrica, general (o implícita), normal y canónica (o segmentaria) del plano. Cada una de ellas resulta útil en distintas situaciones, puesto que en cada una se pueden observar distintas partes del plano más fácilmente que en otras, aunque todas representen el mismo plano.
Ecuación Vectorial del Plano
Si tenemos un plano \(\pi\) que pasa por el punto \(A(a_1,a_2,a_3)\) y tiene como vectores directores \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) y \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), entonces un punto cualquiera \(P(x,y,z)\), para que pertenezca al plano, debe cumplir con que el vector \(\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}\) (donde \(\vec{p}\) y \(\vec{a}\) son los vectores de posición de los puntos \(P\) y \(A\), respectivamente) sea una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\):
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\[\vec{p}=\vec{a}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}\]Donde \(\lambda\) y \(\mu\) son números reales cualesquiera. A esta expresión se le denomina ecuación vectorial del plano \(\pi\).
Hagamos un ejemplo:
Determina la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto \(A(1,3,-1)\) y tiene vectores directores \(\vec{u}=(-1,1,0)\) y \(\vec{v}=(2,-1,1)\).
Solución: Si seguimos la fórmula anterior, la ecuación vectorial de este plano sería:
\[(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (-1,1,0)+\mu (2,-1,1)\]Ecuaciones Paramétricas del Plano
A partir de la ecuación vectorial, es realmente sencillo sacar las ecuaciones paramétricas del plano en el espacio. Lo único que tenemos que hacer es separar cada coordenada:
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\[\left\{ \begin{array}\, x=a_1+\lambda u_1 + \mu v_1\\ y=a_2 +\lambda u_2 + \mu v_2 \\ z=a_3+\lambda u_3+ \mu v_3 \end{array}\right.\]Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas del plano nos dicen cómo es el plano -coordenada a coordenada-.
Calcula las ecuaciones paramétricas del plano del ejemplo anterior.
Solución: Como ya tenemos la ecuación vectorial del plano, lo único que tenemos que hacer es separar cada coordenada:
\[\left\{ \begin{align}\, x&=1-\lambda+2\mu \\ y&=3+\lambda -\mu \\ z&=-1+\mu \end{align}\right.\]Ecuación General o Implícita del Plano
La ecuación general del plano también se conoce como la ecuación implícita del plano. Esta ecuación surge a partir de las ecuaciones paramétricas, si las expresamos como un sistema de ecuaciones:
\[\left\{ \begin{array}\, \lambda u_1 + \mu v_1=x-a_1\\ \lambda u_2 + \mu v_2=y-a_2 \\ \lambda u_3+ \mu v_3=z-a_3 \end{array}\right.\]Como el plano contiene puntos, este sistema debe ser obligatoriamente compatible -siendo la matriz de coeficientes \(M\) y la matriz ampliada del sistema \(M^*\)-:
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\[M=\begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{pmatrix}\]\[M^*=\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & x-a_1 \\ u_2 & v_2 & y-a_2 \\ u_3 & v_3 & z-a_3 \end{pmatrix}\]Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el sistema es compatible, esto implica que el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada deben ser iguales: \[Rg(M)=Rg(M^*)\]
Como la matriz \(M\) está formada por vectores que deben ser linealmente independientes, sabemos que el rango de esta matriz es de 2. Por tanto, el rango de la matriz \(M^*\) también debe ser 2 para que el sistema sea compatible. Esto nos lleva a que el determinante de la matriz ampliada debe ser cero:
\[\det(M^*)=\begin{vmatrix} u_1 & v_1 & x-a_1 \\ u_2 & v_2 & y-a_2 \\ u_3 & v_3 & z-a_3 \end{vmatrix}=0\]Al resolver este determinante, llegamos a la ecuación general del plano de la forma \(Ax+By+Cz+D=0\).
Alternativamente, la ecuación general del plano puede deducirse a partir de un punto y un vector normal. La idea general es encontrar un vector perpendicular al plano. Supongamos que \(\vec{n}=\langle a,b,c \rangle\) es un vector normal o perpendicular al plano y \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) es un punto que pertenece al plano. Entonces, el conjunto de todos los puntos \(P=(x,y,z)\) tal que el vector \(\overrightarrow{P_0P}\) sea ortogonal a \(\vec{n}\) forma un plano. Recordemos que el producto escalar de vectores ortogonales es cero. Este hecho genera la ecuación vectorial de un plano:
\[\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0P}=0\]Desarrollando esta operación, se encuentra la ecuación general del plano:
\[\langle a,b,c \rangle \cdot \langle x-x_0, y-y_0, z-z_0 \rangle = 0\]\[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\]Esta es la ecuación general de un plano que contiene al punto \(P_0\) y es perpendicular al vector \(\vec{n}\). Para encontrar la ecuación reducida, distribuimos:
\[ax - ax_0 + by - by_0 + cz - cz_0 = 0\]\[ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cz_0\]Como \(ax_0\), \(by_0\) y \(cz_0\) son constantes, podemos agruparlas en una única constante \(d\):
\[ax + by + cz = d\]Donde \(d = ax_0 + by_0 + cz_0\). Esta es la forma más común de la ecuación general o implícita del plano, a menudo escrita como \(Ax+By+Cz+D=0\), donde \(D = -d\).
Veamos un ejemplo de deducción a partir de las ecuaciones paramétricas:
Determina la ecuación general del plano del ejemplo anterior.
Solución: Tenemos las ecuaciones paramétricas, que podemos reexpresar como:
\[\left\{ \begin{align}\, -\lambda+2\mu&=x-1 \\ \lambda -\mu&=y-3 \\ \mu&=z+1 \end{align}\right.\]Ahora, sacamos la matriz ampliada de este sistema e igualamos su determinante a cero:
\[\begin{vmatrix} -1 & 2 & x-1 \\ 1 & -1 & y-3 \\ 0 & 1 & z+1 \end{vmatrix}=0\]Resolvemos el determinante:
\[\begin{align} \begin{vmatrix} -1 & 2 & x-1 \\ 1 & -1 & y-3 \\ 0 & 1 & z+1 \end{vmatrix} &=-1((-1)(z+1) - (1)(y-3)) - 2((1)(z+1) - (0)(y-3)) + (x-1)((1)(1) - (0)(-1)) \\ &=-1(-z-1-y+3) - 2(z+1) + (x-1)(1) \\ &=z+1+y-3-2z-2+x-1 \\ &=x+y-z-5 \end{align}\]Igualando el determinante a cero, obtenemos la ecuación general del plano, que es:
\[x+y-z-5=0\]El procedimiento anterior es aplicable para cualquier plano. Por ejemplo, el plano que contiene al punto P(1,1,1) y es perpendicular al vector n = -2i + j - k:
\[-2 (x - 1) + (y - 1) + (-1)(z - 1) = 0\]\[-2x + 2 + y - 1 - z + 1 = 0\]\[-2x + y - z = -2\]Que es equivalente a:
\[2x - y + z = 2\]Esta es la ecuación implícita del plano. Además, se cumple que el vector es un vector perpendicular al plano que se denomina vector normal del plano.
Ecuación Normal del Plano
Una característica importante de la ecuación general del plano es que a partir de ella podemos obtener un vector normal al plano. Si la ecuación general del plano tiene la forma:
\[\pi:\space Ax+By+Cz+D=0\]Un vector normal al plano -es decir, perpendicular a todos los vectores contenidos en el plano- tiene la forma:
\[\vec{n}_\pi=(A,B,C)\]Por tanto, si tienes la ecuación general de un plano, con los coeficientes de las incógnitas puedes formar un vector normal al plano, sin necesidad de hacer ningún cálculo. Recuerda esto, puesto que te será muy útil en temas posteriores como el cálculo de ángulos y las distancias con planos y rectas.
Ecuación Canónica o Segmentaria del Plano
La ecuación canónica o segmentaria del plano se utiliza cuando conocemos las intersecciones del plano con los ejes coordenados. Sean \(a\), \(b\), y \(c\) los puntos donde el plano interseca a los ejes x, y, z respectivamente (es decir, \((a,0,0)\), \((0,b,0)\) y \((0,0,c)\)). Podemos construir la ecuación a partir de su forma general.
Supongamos que tenemos la ecuación en su forma general del plano: \(Ax+By+Cz+D=0\), donde \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) son todos números reales distintos de cero. De la ecuación general restamos \(D\) de ambos lados y posteriormente dividimos a ambos lados entre \(-D\), quedando así el proceso:
\[Ax+By+Cz = -D\]\[\frac{Ax}{-D} + \frac{By}{-D} + \frac{Cz}{-D} = 1\]Si ahora estructuramos las fracciones, queda:
\[\frac{x}{(-D/A)} + \frac{y}{(-D/B)} + \frac{z}{(-D/C)} = 1\]Donde los denominadores \((-D/A)\), \((-D/B)\) y \((-D/C)\) coinciden exactamente con los valores \(a\), \(b\) y \(c\) de las intersecciones con los ejes de referencia. Así, la ecuación de \(\pi\) en su forma canónica es:
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]Recuerda que \(a\), \(b\) y \(c\) deben ser todos distintos de cero para evitar la indeterminación.
Deducción de la Ecuación del Plano a partir de Tres Puntos
Otra posibilidad es que tengas tres puntos del espacio y quieras formar un plano a partir de ellos. Aunque parezca complicado, esto es realmente sencillo: solo tienes que convertir dos de los puntos en vectores, que utilizarás como vectores directores del plano.
Por tanto, si tenemos los puntos \(A(a_1,a_2,a_3)\), \(B(b_1,b_2,b_3)\) y \(C(c_1,c_2,c_3)\), podemos crear el plano que pasa por \(A\) y tiene vectores directores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\). A partir de estos, se puede utilizar el método del determinante para obtener la ecuación general.
Tabla Resumen de las Ecuaciones del Plano
| Tipo de Ecuación | Forma General | Elementos Necesarios |
|---|---|---|
| Vectorial | \(\vec{p}=\vec{a}+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}\) | Un punto \(A(a_1,a_2,a_3)\) y dos vectores directores linealmente independientes \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) |
| Paramétrica | \[\left\{ \begin{array}\, x=a_1+\lambda u_1 + \mu v_1\\ y=a_2 +\lambda u_2 + \mu v_2 \\ z=a_3+\lambda u_3+ \mu v_3 \end{array}\right.\] | Un punto \(A(a_1,a_2,a_3)\) y dos vectores directores linealmente independientes \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) |
| General (Implícita) | \(Ax+By+Cz+D=0\) | Un punto \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) y un vector normal \(\vec{n}=(A,B,C)\); o tres puntos no colineales; o un punto y dos vectores directores. |
| Normal | \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) | Un punto \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) y un vector normal \(\vec{n}=(A,B,C)\) |
| Canónica (Segmentaria) | \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) | Las intersecciones con los ejes coordenados \(a\), \(b\), \(c\) (donde \(a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0\)). |
Ejercicios Resueltos sobre la Deducción de la Ecuación del Plano
1. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto P(1,2,-1) y tiene como vectores directores a \(\vec{u}=(1,-1,0)\) y \(\vec{v}=(-2,1,-1)\).
Solución: Como tenemos un punto del plano y sus dos vectores directores, simplemente sustituimos los valores en las ecuaciones en su forma paramétrica del plano, quedando entonces:
\[\left\{ \begin{array}\, x=1+\lambda-2\mu\\ y=2-\lambda+\mu \\ z=-1-\mu \end{array}\right.\]Para que ahora conozcamos la ecuación del plano en forma implícita, proponemos la siguiente igualdad y resolvemos el determinante:
\[\begin{vmatrix} 1 & -2 & x-1 \\ -1 & 1 & y-2 \\ 0 & -1 & z+1 \end{vmatrix}=0\]Desarrollando el determinante, obtenemos:
\[1((1)(z+1) - (-1)(y-2)) - (-2)((-1)(z+1) - (0)(y-2)) + (x-1)((-1)(-1) - (1)(0)) = 0\]\[1(z+1+y-2) + 2(-z-1) + (x-1)(1) = 0\]\[y+z-1 -2z-2 + x-1 = 0\]\[x+y-z-4=0\]Quedando de esta manera la ecuación que buscamos: \(x+y-z-4=0\).
2. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos P(1,2,-1) y Q(0,-1,2) y contiene al vector \(\vec{u}=(1,0,-1)\).
Solución: Primero consideremos al punto P(1,2,-1) como el punto de referencia que pertenece al plano. Posteriormente, partiendo de P, construyamos un vector dirigido hacia Q con la operación \(\overrightarrow{PQ} = Q-P\), teniendo así:
\[\overrightarrow{PQ} = (0-1, -1-2, 2-(-1)) = (-1,-3,3)\]Este vector \(\overrightarrow{PQ}\) se puede usar como el otro vector director, junto con el vector \(\vec{u}=(1,0,-1)\) dado. De esta manera, podemos sustituir todo en las ecuaciones en su forma paramétrica del plano:
\[\left\{ \begin{array}\, x=1-\lambda+\mu\\ y=2-3\lambda \\ z=-1+3\lambda-\mu \end{array}\right.\]Las cuales podemos usar para plantear la siguiente igualdad, y si desarrollamos el determinante obtenemos la ecuación en su forma general:
\[\begin{vmatrix} -1 & 1 & x-1 \\ -3 & 0 & y-2 \\ 3 & -1 & z+1 \end{vmatrix}=0\]Desarrollando el determinante:
\[-1((0)(z+1) - (-1)(y-2)) - 1((-3)(z+1) - (3)(y-2)) + (x-1)((-3)(-1) - (0)(3)) = 0\]\[-1(y-2) - (-3z-3-3y+6) + (x-1)(3) = 0\]\[-y+2 + 3z+3+3y-6 + 3x-3 = 0\]\[3x+2y+3z-4=0\]La ecuación en su forma general es: \(3x+2y+3z-4=0\).