En el estudio de la ingeniería, la transferencia de calor es un tema clave que sustenta diversas aplicaciones prácticas. Entre los distintos tipos de transferencia de calor, la Transferencia de Calor en Estado Estacionario ocupa un lugar importante. La condición de estado estacionario es primordial en el funcionamiento y diseño de los sistemas de transferencia de calor.
Comprensión del Régimen Estacionario
En el ámbito de la transferencia de calor, se dice que un sistema está en estado estacionario cuando la temperatura y la velocidad de transferencia de calor en su interior no cambian con el tiempo. Esto significa que todas las temperaturas son constantes en cualquier punto fijo, y que el flujo de calor a través del sistema sigue siendo el mismo a lo largo del tiempo. Aunque el calor siga entrando y saliendo del sistema, no hay acumulación ni agotamiento de energía calorífica en ninguna parte del sistema.
Por ejemplo, considera una barra de metal, uno de cuyos extremos se calienta y el otro se mantiene frío. Inicialmente, el calor pasará del extremo caliente al extremo frío, haciendo que la temperatura de la barra cambie con el tiempo. Sin embargo, al cabo de cierto tiempo, la temperatura en cada punto de la barra dejará de cambiar, alcanzando un estado estacionario. El estado estacionario se refiere a las condiciones que no cambian con el tiempo.
En condiciones de estado estacionario, dado que la tasa de transferencia de calor por conducción a través de la pared plana es constante y la conductividad de la temperatura no varía, dT/dx también es una constante. Por lo tanto, existen distribuciones lineales de temperatura dentro de la pared. El cálculo de la transferencia de calor en estado estacionario es sencillo en comparación con la transferencia de calor inestable o transitoria. Esto se debe a que, una vez que el sistema ha alcanzado la condición de estado estacionario, la temperatura y la tasa de transferencia de calor se vuelven constantes a lo largo del tiempo.
Fundamentos de la Transferencia de Calor
La Temperatura y el Calor
La termodinámica, como rama fundamental de la física, ha evolucionado a lo largo de los siglos gracias a los esfuerzos de numerosos científicos y pensadores que sentaron las bases para comprender el comportamiento de la energía y su transferencia. La temperatura es una magnitud fundamental en el campo de la termodinámica, y es la magnitud que la diferencia del resto de ciencias. La temperatura nos permite comprender cómo la energía térmica se transfiere y se transforma en diferentes sistemas.
Lea también: Ejemplos de Distribución Contable
La temperatura es una medida cuantitativa de la energía cinética promedio de las partículas que componen dicho sistema. A nivel microscópico, la temperatura se relaciona con la velocidad promedio de las partículas en un sistema. Cuando las partículas se mueven más rápidamente, la temperatura aumenta, lo que indica que hay una mayor energía térmica presente. Por el contrario, cuando las partículas se mueven más lentamente, la temperatura disminuye, lo que indica una menor energía térmica. Es por ello por lo que la temperatura es una representación macroscópica de los elementos microscópicos que componen nuestro sistema termodinámico.
Es importante destacar que la temperatura no es lo mismo que el calor. En la termodinámica la temperatura se refiere a la energía térmica promedio de un sistema; el calor es la transferencia de energía térmica entre dos sistemas a diferentes temperaturas. En Termodinámica, cuando dos sistemas se encuentran a diferente temperatura, se da entre ellos un proceso natural, en el que el sistema a mayor temperatura cede calor al de menor temperatura. Es la forma de energía en tránsito debido a una diferencia de temperatura. Se transfiere desde un cuerpo o sistema con mayor temperatura a otro con menor temperatura.
A lo largo de la historia, se han desarrollado varias escalas de temperatura para medir y comparar los niveles de calor. Actualmente, distinguimos tres principales escalas de temperatura: Fahrenheit, Celsius y Kelvin. La escala de temperatura Fahrenheit se utiliza predominantemente en los Estados Unidos, Belice, las Islas Caimán y algunas otras naciones del Caribe. La escala Celsius es ampliamente utilizada en la mayoría de los países alrededor del mundo, incluyendo la Unión Europea y gran parte de Asia y América Latina. La escala Kelvin es una escala de temperatura absoluta, desarrollada por el físico escocés William Thomson, más conocido como Lord Kelvin, en 1848. Las escalas de temperatura Fahrenheit, Celsius y Kelvin están relacionadas entre sí mediante fórmulas matemáticas simples.
La Ley Zeroth de la termodinámica afirma que si dos sistemas están en equilibrio térmico con un tercero, están en equilibrio térmico entre sí. La Primera Ley de la Termodinámica, a menudo denominada ley de la conservación de la energía, sustenta el principio de que el calor es una forma de energía, y la energía no puede crearse ni destruirse, sólo transferirse o cambiar de forma.
Modos de Transferencia de Calor
Hay tres métodos principales de transferencia de calor que predominan en distintos escenarios: conducción, convección y radiación. Todos estos modos de transferencia de calor pueden coexistir, pero en proporciones diferentes según la situación. Por ejemplo, en un sistema como un edificio caldeado que pierde calor en un día frío, predomina la conducción a través de las paredes, pero la convección transporta el calor fuera del edificio, mientras que la radiación también se produce a través de las ventanas.
Lea también: Distribución de Utilidades a Socios
- Conducción: Es un mecanismo de transferencia de energía en el que la energía térmica se transfiere de las partículas más energéticos a las vecinas menos energéticas. La conducción ocurre en sólidos, líquidos y gases. En los sólidos, la transferencia de energía se produce debido a la red vibraciones moleculares, así como el movimiento de electrones libres. La conducción se produce entre sustancias en contacto directo, normalmente sólidos. El metal, por ejemplo, es un buen conductor del calor porque permite transportar fácilmente la energía debido a la vibración de sus partículas.
- Convección: Describe la transferencia de calor en los fluidos (líquidos y gases) debido al movimiento de sus partículas. Este método entra en juego cuando hierves agua en un hornillo.
- Radiación: Es la única forma de transferencia de calor que puede producirse en el vacío. A diferencia de la conducción y la convección, que requieren un medio físico, la radiación implica la transmisión directa de energía en forma de ondas electromagnéticas.
Ley de Fourier y Conducción en Estado Estacionario
Profundicemos en las características únicas de la Transferencia de Calor por Conducción en Estado Estacionario. La ley rectora de la conducción, más conocida como ley de Fourier, establece que la velocidad de transferencia de calor a través de un material es proporcional al gradiente negativo de la temperatura y al área a través de la cual fluye el calor.
\[ q = -kA\frac{dT}{dx} \]
En esta ecuación, \( q \) representa la velocidad de transferencia de calor, \( k \) es la conductividad térmica del material, \( A \) es el área normal a la dirección del flujo de calor, y \( \frac{dT}{dx} \) es el gradiente de temperatura a través del material. Es importante observar el signo negativo de la fórmula. Es indicativo de que el calor fluye de las zonas de mayor temperatura a las de menor temperatura, reduciendo la primera y elevando la segunda hasta alcanzar el equilibrio.
Las características clave de la transferencia de calor por conducción en estado estacionario incluyen:
- Material homogéneo: Las propiedades térmicas del material no cambian con la posición dentro del material.
- Estado de equilibrio: El sistema alcanza un estado de equilibrio, por el que la temperatura no cambia con el tiempo. Esto puede ser increíblemente útil en aplicaciones de ingeniería por su previsibilidad y control.
- Sin almacenamiento de energía: A diferencia de otros tipos de transferencia de calor, no hay almacenamiento de energía. Esto implica que no se acumula energía en el sistema ni se agota a lo largo del tiempo.
En resumen, el proceso fundamental de la transferencia de calor por conducción en estado estacionario se basa en la Ley de Fourier. Se trata de un proceso aplicable principalmente a los sólidos, cuyas principales aplicaciones en el mundo real se centran en conseguir un diseño energéticamente eficiente.
Lea también: Servicio de Administración Tributaria
Formulación Matemática: Ecuación del Calor y Ecuación de Laplace
Realmente estamos buscando una solución a la ecuación del calor que no dependa del tiempo. La ecuación del calor se escribe comúnmente como \( u_t=k \Delta u \) o \( u_t=k \nabla^2 u \). Aquí los símbolos \( \Delta \) y \( \nabla^2 \) significan \( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\). Vamos a utilizar \( \Delta \) a partir de ahora. La razón para usar tal notación es que se puede definir \( \Delta \) como lo correcto para cualquier número de dimensiones espaciales y luego la ecuación de calor es siempre \(u_t=k \Delta u\).
Para la solución de estado estacionario, estamos buscando una solución a la ecuación del calor que no dependa de \(t\), o en otras palabras \(u_t=0\). Esto simplifica la ecuación a:
\[ \Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0. \]
Esta ecuación se llama la ecuación de Laplace \(^{1}\). Se puede clasificar en unidimensional, bidimensional o tridimensional. La clasificación depende de la variación de temperatura dentro del medio.
Solución en Una Dimensión Espacial
Primero resolvamos el problema en una variable de espacio, tal que \(u_t=0\) para todos \(x\) y \(t\). De ahí que estemos buscando una función de \(x\) solo que satisfaga \(u_{xx}=0\). Supongamos que tenemos un cable aislado, y aplicamos \(T_1\) temperatura constante en un extremo (digamos dónde \(x=0\)) y \(T_2\) en el otro extremo (en \(x=L\) donde \(L\) está la longitud del cable).
\[u(x)= \dfrac{T_2-T_1}{L}x+T_1. \]
Esta solución concuerda con nuestra intuición de sentido común con cómo se debe distribuir el calor en el alambre. En condiciones de estado estacionario, dado que la tasa de transferencia de calor por conducción a través de la pared plana es constante y la conductividad no varía, dT/dx también es una constante. Por lo tanto, existen distribuciones lineales de temperatura dentro de la pared.
Solución en Dos Dimensiones Espaciales
Las cosas son más complicadas en dos o más dimensiones espaciales. Vamos a restringirnos a dos dimensiones espaciales por simplicidad. Las funciones armónicas en dos variables ya no son solo lineales (gráficos planos). Por ejemplo, se puede comprobar que las funciones \(x^2-y^2\) y \(xy\) son armónicas. No obstante, si recuerdas tu cálculo multivariable observamos que si \(u_{xx}\) es positivo, \(u\) es cóncavo hacia arriba en la \(x\) dirección, entonces \(u_{yy}\) debe ser negativo y \(u\) debe ser cóncavo hacia abajo en la \(y\) dirección. Por lo tanto, una función armónica nunca puede tener ninguna “cima de colina” o “valle” en la gráfica.
Comúnmente, la ecuación de Laplace es parte de un llamado problema de Dirichlet \(^{2}\). Es decir, tenemos una región en el plano \(xy\) y especificamos ciertos valores a lo largo de los límites de la región. Por simplicidad, consideramos una región rectangular. También por simplicidad especificamos que los valores de límite sean cero en 3 de los cuatro bordes y solo especificamos una función arbitraria en un borde. Como todavía tenemos el principio de superposición, podemos usar esta solución más simple para derivar la solución general para valores de límite arbitrarios resolviendo 4 problemas diferentes, uno para cada borde, y sumando esas soluciones juntas.
El método que aplicamos es la separación de variables. Nuevamente, encontraremos suficientes soluciones de bloques de construcción que satisfagan todas las condiciones de contorno homogéneas (todas las condiciones excepto la condición no homogénea). Observamos que la superposición aún funciona para la ecuación y todas las condiciones homogéneas. Lo intentamos \(u(x,y)=X(x)Y(y)\).
\[X''Y+XY''=0. \]
Reorganizando, obtenemos:
\[ - \dfrac{X''}{X}= \dfrac{Y''}{Y}. \]
El lado izquierdo solo depende de \(x\) y el lado derecho solo depende de \(y\). Por lo tanto, hay alguna constante \( \lambda \) tal que \( \lambda = \dfrac{-X''}{X}= \dfrac{Y''}{Y}\). Esto nos lleva a un par de ecuaciones diferenciales ordinarias:
\[ X'' + \lambda X = 0, \\ Y'' - \lambda Y=0. \]
Además, las condiciones de límite homogéneas implican que \(X(0)=X(w)=0\) y \(Y(h)=0\). Una solución para \(X(x)\) es:
\[ X_n(x) = \sin \left( \dfrac{n \pi}{w}x \right). \]
Y para \(Y(y)\):
\[ Y_n(y)=A_n \cosh \left( \dfrac{n \pi}{w}y \right) + B_n \sinh \left( \dfrac{n \pi}{w}y \right). \]
Solo tenemos una condición para \(Y_n\) y por lo tanto podemos elegir uno de \(A_n\) o \(B_n\) para ser algo conveniente. Será útil tener \(Y_n(0)=1\), así que dejamos \(A_n=1\). Aplicando las condiciones de contorno y simplificando, obtenemos:
\[ B_n = \dfrac{ - \cosh \left( \dfrac{n \pi h}{w} \right)}{ \sinh \left( \dfrac{n \pi h}{w} \right)}. \]
Esto permite expresar \(Y_n(y)\) como:
\[ Y_n(y) = \dfrac{ \sinh \left( \dfrac{n \pi (h-y)}{w} \right)}{ \sinh \left( \dfrac{n \pi h}{w} \right)}. \]
Definimos \(u_n(x,y)=X_n(x)Y_n(y)\).
\[ u_n(x,0)= X_n(x)Y_n(0) = \sin \left( \dfrac{n \pi}{w}x \right). \]
La condición de contorno no homogénea \(f(x)\) se expresa como una serie de Fourier sinusoidal:
\[ f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty}b_n \sin \left( \dfrac{n \pi x}{w} \right). \]
La solución general para la distribución de temperatura \(u(x,y)\) es entonces:
\[ u(x,y)= \sum_{n=1}^{ \infty}b_n u_n(x,y) = \sum_{n=1}^{ \infty}b_n \sin \left( \dfrac{n \pi }{w}x \right) \left( \dfrac{ \sinh \left( \dfrac{n \pi (h-y)}{w} \right)}{ \sinh \left( \dfrac{n \pi h}{w} \right)} \right). \]
Como \(u_n\) satisface las condiciones de contorno homogéneas, cualquier combinación lineal (finita o infinita) de \(u_n\) también debe satisfacerlas. Si tenemos datos iniciales arbitrarios en todos los lados, entonces resolvemos cuatro problemas, cada uno usando una pieza de datos no homogéneos.
Supongamos que tomamos \(w=h= \pi\) y dejamos \(f(x)= \pi\). Calculamos la serie sinusoidal para la función \( \pi\) (obtendremos la onda cuadrada).
\[ f(x)= \sum_ {\underset{n~ {\rm{odd}} }{n=1}}^{ \infty} \dfrac{4}{n} \sin(n x). \]
La solución para este caso específico es:
\[ u(x,y)= \sum_ {\underset{n~ {\rm{odd}} }{n=1}}^{ \infty} \dfrac{4}{n} \sin(n x) \left( \dfrac{ \sinh(n( \pi-y)) }{ \sinh(n \pi) } \right). \]
Este escenario corresponde a la temperatura de estado estacionario sobre una placa cuadrada de ancho \( \pi\) con 3 lados mantenidos a 0 grados y un lado mantenido a \( \pi\) grados. Una forma diferente de visualizar soluciones de la ecuación de Laplace es tomar un cable y doblarlo para que corresponda a la gráfica de la temperatura por encima del límite de su región. Corte una lámina de goma en la forma de su región, un cuadrado en nuestro caso, y estírela fijando los bordes de la lámina al alambre.
El Concepto de Resistencia Térmica
En aplicaciones de transferencia de calor, el concepto de resistencia térmica es útil para analizar problemas de estado estable. Este concepto es similar al concepto de resistencia eléctrica, donde la tasa de flujo de calor Q es análoga al flujo de corriente a través de una resistencia eléctrica. En los circuitos eléctricos, la corriente fluye entre dos puntos en virtud de una diferencia de potencial entre ellos. Del mismo modo, en circuitos térmicos, una diferencia de temperatura se asemeja al voltaje y la tasa de transferencia de calor se asemeja a la intensidad de corriente eléctrica. De ahora en adelante, la tasa de transferencia de calor por conducción hacia la pared es igual a la tasa de transferencia de calor dentro de la pared, que es igual a la tasa de transferencia de calor fuera de la pared.
tags: #distribución #de #temperatura #en #régimen #estacionario