El desarrollo del cálculo ha sido un proceso evolutivo de varios siglos, con matemáticos que realizaron contribuciones significativas antes de sus figuras más reconocidas. Es importante tener en cuenta que el cálculo diferencial no se desarrolló independientemente del álgebra y las funciones.
Orígenes en la Grecia Antigua
Los cimientos del cálculo se remontan a los griegos, quienes abordaron diferentes problemas matemáticos. En la antigua Grecia, matemáticos como Eudoxo de Cnido, Arquímedes y Apolonio trabajaron en problemas geométricos que involucraban la idea de encontrar la tasa de cambio de ciertas magnitudes.
Zenón de Elea (c. 450 a. C.)
Alrededor de 450 a. C., Zenón planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Un ejemplo clásico es: "Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1."
Eudoxo y Arquímedes (c. 370 a. C. y 225 a. C.)
Eudoxo dio una base científica al método exhaustivo griego alrededor de 370 a. C. Alrededor de 225 a. C., Arquímedes hizo una de las contribuciones griegas más significativas. El más famoso de ellos fue Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.), particularmente en la Mecánica, Geometría Diferencial y Fluidos.
Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.
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Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas. Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita.
Precursores del Cálculo en los Siglos XVI y XVII
Durante los siglos previos al establecimiento formal del cálculo, diversos matemáticos abordaron problemas fundamentales como el cálculo de áreas y el trazo de tangentes.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
Cavalieri llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método.
Gilles de Roberval (1602-1675)
Roberval consideró problemas del mismo tipo que Cavalieri pero fue mucho más riguroso. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados.
Pierre de Fermat (1607-1665)
Fermat también fue más riguroso en su acercamiento, aunque no dio demostraciones. Investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0.
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René Descartes (1596-1650)
En el área de las Matemáticas, la contribución más notable que hizo Descartes fue la sistematización de la Geometría Analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen. Descartes produjo un importante método para determinar normales en La Géométrie en 1637 basado en la doble intersección.
Florimond De Beaune (1601-1652) y Johann Hudde (1628-1704)
De Beaune extendió los métodos de Descartes y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intersección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada.
Evangelista Torricelli (1608-1647) e Isaac Barrow (1630-1677)
Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia.
Barrow dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro, y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo. El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli.
El Establecimiento del Cálculo: Newton y Leibniz
Los avances fundamentales en el cálculo diferencial e integral se realizaron en los siglos XVII y XVIII con las contribuciones de matemáticos como Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.
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Isaac Newton (1643-1727)
Isaac Newton (1643-1727) realizó importantes contribuciones al cálculo. Newton compartió con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. Newton desarrolló el cálculo de forma paralela a Leibniz, aunque su notación era diferente.
Escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.
En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto, la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación.
Suyo es el término “derivada” y la notación x’ que utilizamos actualmente para designar la derivada de una función. Una de las principales aportaciones de Newton al cálculo es el método de las diferencias, que utiliza diferencias finitas para aproximar las derivadas de una función. Además, Newton formuló las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, que son fundamentales en la física clásica.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) es conocido por haber desarrollado el cálculo diferencial e integral de forma independiente a Isaac Newton. Leibniz introdujo la notación moderna que utilizamos en cálculo, como el uso de la letra d para representar la diferenciación y el símbolo de la integral ∫.
Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante, escrita exactamente como se hace hoy.
Una de las aportaciones más importantes de Leibniz fue la regla del producto para derivar funciones compuestas. Esta regla establece cómo encontrar la derivada de la composición de dos funciones. Leibniz también desarrolló la regla del cociente, que permite encontrar la derivada de una función dividida por otra.
Además, Leibniz trabajó en el desarrollo del cálculo integral. Introdujo el concepto de integral definida y desarrolló el teorema fundamental del cálculo, que establece la conexión entre las operaciones de derivación e integración.
Desarrollos Posteriores
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Agustin Louis Cauchy (1789-1857) resolvió el problema de Poinsot en 1811, generalización del teorema de Euler sobre los poliedros.
Karl Weierstrass (1815-1897)
Weierstrass estaba interesado en la solidez del cálculo.
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