Conocer la fórmula de la anualidad creciente puede revolucionar tu comprensión de las finanzas empresariales, concretamente cómo valorar una serie de flujos de caja futuros que crecen a un ritmo constante. Una anualidad de crecimiento constante es una anualidad en la que cada pago de anualidad se incrementa en un porcentaje fijo. Este tipo de anualidades se utiliza en los casos en los que alguien solicita un crédito, y de alguna forma sabe que en el futuro sus ingresos mejorarán, condición que les permitirá poder cada vez dar mayores cantidades para pagar dicho crédito.
La administración de las finanzas personales y corporativas puede ser todo un reto. Afortunadamente, las fórmulas financieras y las plantillas de presupuesto de Excel pueden ayudarle a calcular el valor futuro de sus deudas e inversiones, lo que facilita la determinación del tiempo que tardará en alcanzar sus objetivos.
¿Qué es una anualidad creciente?
Se define como anualidad creciente al tipo de anualidad que se caracteriza por ir incrementando los pagos en cada periodo, es decir; cada pago se realiza con una cantidad mayor, de manera que los pagos crecerán de forma constante. La fórmula tiene en cuenta tanto el aumento potencial del valor del pago (por la tasa de crecimiento g o ∆%) como el factor de descuento (por la tasa de interés r o i) de cada periodo.
Por el contrario, un tipo de interés más alto disminuye el valor actual de la renta vitalicia. Esto se debe a que un tipo de interés más alto aumenta el tipo al que descontamos los pagos futuros, haciéndolos relativamente menos valiosos hoy. Si la tasa de crecimiento se le asigna un valor de 0%, entonces estas fórmulas vuelven a las fórmulas de anualidades simples de pago fijo.
Fórmulas para el cálculo de anualidades crecientes
A continuación se presentan las fórmulas clave para calcular tanto el valor presente (VP) como el valor futuro (VF) de una anualidad con crecimiento constante:
Lea también: Información clave de la anualidad de tarjetas Banorte
- Valor Presente (VP) de una anualidad creciente:
VP = PVA * ((1 - (1 + g)^n) / (r - g))
- Valor Futuro (VF) de una anualidad creciente:
FV = PVA * (((1 + g)^n - (1 + r)^n) / (g - r))
- Valor Presente con capitalización continua:
En algunos escenarios financieros, el interés se compone continuamente en lugar de a intervalos fijos. La fórmula correspondiente es:
PV = C * ((1 - e^(n * (r - g))) / (r - g))
Donde:
Lea también: ¿Cuánto cuesta la anualidad de la Gold Elite Mastercard? Consulta aquí
- C o PMT: Es el flujo de caja o primer pago por periodo.
- r o i: Es la tasa de interés o tipo de descuento.
- g o ∆%: Es la tasa de crecimiento constante de los pagos.
- n o N: Es el número total de periodos.
- e: Es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
Implementación en Excel y metodologías
En Excel, la función VA devuelve el valor actual de una inversión y la función VF devuelve el valor futuro. El argumento "Tasa" es la tasa de interés por período del préstamo, "pago" es la cuota pagada cada período, "vf" es el valor futuro y "tipo" es el valor lógico que indica cuándo se realiza el pago (1 para el comienzo del período y 0 para el final).
La mayoría de las calculadoras financieras, incluyendo el Texas Instruments BAII Plus, no están preprogramadas con anualidades de crecimiento constante, ya que están diseñadas para manejar anualidades de pago fijo únicamente. Por ello, este cálculo se resuelve de manera más eficiente utilizando fórmulas directas o a través de una plantilla personalizada de Excel, donde se puede modelar paso a paso el incremento de cada flujo de caja.
Ejemplos prácticos de anualidades crecientes
Para comprender mejor la aplicación de estos conceptos, analicemos los siguientes casos prácticos:
Ejemplo 1: Planificación de jubilación (RRSP)
Bradford tiene 27 años y comienza a invertir $3,000 anuales en su RRSP ganando un 9% compuesto anualmente. Decide que cada año aumentará sus contribuciones en un 2.5%. Como cada pago aumenta en un porcentaje fijo, esta es una anualidad de crecimiento constante. Al aplicar la fórmula de valor futuro correspondiente para los 38 periodos restantes hasta su jubilación, las 38 contribuciones acumuladas ascienden a una aportación principal total de $186,681.89.
Ejemplo 2: Financiamiento con pagos crecientes
¿Cuánto dinero se requiere hoy para financiar una anualidad de 10 años ganando 5.6% compuesta trimestralmente donde el primer pago mensual será de $2,000 y cada pago crecerá 0.2%? En este escenario, existen pagos mensuales con una tasa de interés compuesta trimestral. Los 120 pagos, cada uno incrementado en un 0.2%, equivalen a un desembolso total proyectado de $270,944.49, cuyo valor presente debe ser calculado ajustando la tasa de interés al periodo correspondiente.
Lea también: cómo obtener tu membresía de Sam’s Club
Resumen de variables de los ejemplos
- Caso Bradford: Pago inicial (PMT) = $3,000 | Crecimiento (g) = 2.5% | Tasa de interés (r) = 9% anual.
- Caso Financiamiento: Pago inicial (PMT) = $2,000 | Crecimiento (g) = 0.2% mensual | Tasa de interés (r) = 5.6% compuesta trimestralmente.