¡Que bueno es encontrarte nuevamente! Te doy la bienvenida. En este post, te sumergiremos en el mundo de las finanzas y te mostraremos qué es una anualidad vencida y cómo esta herramienta puede convertirse en tu mejor amiga para alcanzar tus metas económicas. Así que prepárate para aprender sobre los beneficios, el funcionamiento y las aplicaciones de la anualidad vencida, así como para descubrir ejemplos de anualidades vencidas. ¿Estás listo para descubrir los secretos detrás de esta fórmula financiera?
Las anualidades, son una herramienta de vital importancia dentro de las matemáticas financieras, ya que su uso está presente en la gran mayoría de operaciones o transacciones económicas, financieras y/o comerciales. Siempre que se quiera adquirir algún producto, algún bien como lo es una casa, y se quiera hacer dicha compra a crédito, va a ser necesario un contrato en el que quedaran especificados una serie de pagos, con cierta temporalidad, a una cierta tasa de interés, mediante los cuales se irá pagando dicha deuda, o dicho crédito. Las anualidades son una serie de pagos comúnmente de la misma cantidad realizados a intervalos de tiempo iguales. Intuitivamente podemos pensar que estas cuotas se realizan cada año ya que se llaman anualidades, pero no es así, también se conocen como rentas, ya que se pueden realizar pagos de manera mensual, semestral o cada cierto tiempo definido entre el acreedor y deudor.
Las anualidades o rentas se utilizan de manera frecuente en operaciones financieras donde existen financiamientos y formación de capitales, esto con el motivo de reducir las deudas mediante cuotas periódicas, series de pagos o depósitos. Es muy común emplear las rentas o anualidades para cálculos de compras a plazo, préstamos a largo plazo, préstamos hipotecarios, pólizas de seguros entre otras cuotas de pago, por eso su importancia de estudio dentro de las matemáticas financieras.
Con lo anterior, podemos concluir que una anualidad o renta es el valor de cada pago periódico que consiste en el depósito de una suma de dinero a la cual se le reconoce una tasa de interés por periodo. Por lo tanto, las anualidades o rentas constituyen serie de depósitos o sucesión de pagos periódicos, generalmente iguales, con sus respectivos intereses por periodo. Se entenderá por anualidad, al conjunto de pagos que se realizarán de forma periódica durante un cierto tiempo, que tendrá la misma periodicidad que los pagos, haciendo el uso del modelo de interés compuesto. Es un conjunto o serie de pagos iguales o uniformes realizados a intervalos iguales de tiempo con un horizonte temporal finito. El término anualidad también se aplica a periodicidades de tiempo diferente a un año como bimensual, mensual, quincenal, etc.
Conceptos Clave de las Anualidades
Es importante definir algunos conceptos antes de adentrarnos por completo en el tema de anualidades, ya que será un antecedente que nos ayudará a tener un mejor contexto y permitirá comprender mejor el tema:
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- Periodo de la anualidad o de pago: Cuando se habla de periodos dentro de las anualidades, se refiere al tiempo que se fija entre dos pagos o depósitos sucesivos, y se puede presentar de manera continua diaria, semanal, quincenal, mensual, semestral, anual o cualquier periodo de tiempo definido entre el deudor y el acreedor.
- Tiempo o plazo de una anualidad: Se conoce como plazo de anualidad al intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pagos y el final del último.
- Tasa de una anualidad: Es la tasa de interés que se fija para el pago de las rentas o anualidades, esta puede presentarse con o sin capitalizaciones, es decir, puede ser nominal o efectiva. Recordemos que, la tasa nominal es cuando todavía no se capitaliza, es decir, cuando falta dividirla entre m. La tasa efectiva es cuando ya se dividió entre el número de capitalizaciones en un año, o no es necesaria esta división ya que se capitaliza una vez al año.
- Renta: Cuándo hablemos de renta, esta será el valor del pago periódico, por lo que, la renta anual será la suma de todas las rentas efectuadas en un año.
En las anualidades o rentas se distinguen los siguientes elementos: 1) Renta o pago, 2) Período, 3) Plazo y 4) Tasa de interés. Para ser denominada como anualidad o renta debe cumplir cuatro (4) condiciones a saber: 1. Las rentas o pagos deben tener igual valor. 2. Las rentas o pagos se deben realizar a intervalos de tiempo iguales. 3. Se le aplica la misma tasa de interés a las rentas o pagos.
El Concepto de Crédito
Las anualidades o rentas se generan debido a todas las compras a crédito. Es importante tener en cuenta al trabajar con intereses y rentas, que el crédito es aquel préstamo de dinero donde un deudor se compromete a devolver un capital solicitado a un tiempo o plazo definido más los intereses generados por este crédito, y se puede liquidar mediante rentas o un solo pago llamado monto. De acuerdo con la Real Academia Española (2022), la palabra crédito es la cantidad de dinero u otro medio de pago que una persona o entidad, especialmente bancaria, presta a otro bajo determinadas condiciones de devolución. Proviene del latín credĭtum, sustantivación del verbo credere, que significa creer. Así, la palabra crédito es prácticamente confiar, creer o fiar de que alguien te pagará. En otras palabras, el crédito es el cambio de una riqueza presente o actual por una futura, basado en la confianza y solvencia que se le concede a la parte deudora.
Clasificación de las Anualidades
De acuerdo con Justin H. Moore y Lincoyán Portus Govinden (1973), las maneras más comunes de clasificar las anualidades son de acuerdo con el tiempo y según la forma de pago, y se presentan de la siguiente manera:
Anualidades de acuerdo al tiempo:
- Anualidades ciertas: Aquellas en las que sus fechas inicial y terminal se conocen por estar establecidas en forma concreta, como son las cuotas de préstamos hipotecarios o quirografarios, pago de intereses de bonos, etcétera. Son aquellas en las que los pagos no tienen ningún tipo de restricción, condición u ocurrencia de evento para que se lleven a cabo los pagos.
- Anualidades eventuales o contingentes: Aquellas en las que el comienzo y el fin de la serie de pagos o depósitos son imprevistos y dependen de algunos acontecimientos externos, tales como, los seguros de vida, de accidentes, incendios, robo, etcétera.
Anualidades según la forma de pago:
- Anualidades anticipadas: Son aquellas en las que el depósito, el pago y la liquidación de los intereses se hacen al principio de cada período: pago de cuotas por adelantado.
- Anualidades diferidas: Son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido determinado intervalo del tiempo establecido, es decir, préstamos con períodos de gracia.
- Anualidades simples: Son aquellas cuyo período de pago o depósito coincide con el período de capitalización. Por ejemplo, si la capitalización es semestral, los pagos o depósitos serán semestrales.
- Anualidades generales: Son aquellas cuyos períodos de pago o de depósito y de capitalización no coinciden, son lo contrario a anualidades simples. Por ejemplo, cuando se hace una serie de depósitos trimestrales y la capitalización de los intereses es semestral. Para resolver este tipo de anualidad se utiliza la ecuación de equivalencia. Notemos que la expresión anterior es muy similar a la fórmula del monto con tasa nominal, solo que adaptada a anualidades generales.
- Anualidades vencidas u ordinarias: Son aquellas en las que el depósito, pago o renta y la liquidación de intereses se realizan al final de cada período. Ejemplo: pago de cuotas mensuales por deudas a plazo. Es aquel pago que se desembolsa al final del período (año, trimestre, mes, etc).
- Perpetuidad: Es aquella anualidad en donde el plazo no tiene fin, podemos decir que una anualidad es perpetua cuando la cantidad de pagos tiende a infinito, como por ejemplo, el pago de arriendo para quien nunca podrá comprar la propiedad, etc.
- Anualidades crecientes: Su principal característica es que los pagos van incrementando una determinada cantidad cada periodo. Es una serie de flujos de caja (ingresos o egresos) periódicos que aumentan o disminuyen en términos monetarios ($) o en términos relativos (%), para saldar una deuda o para acumular un fondo de ahorro a corto, mediano, largo plazo o a perpetuidad.
- Anualidad decreciente: Es una serie de flujos de caja que decrecen periódicamente en un porcentaje constante (Gg).
Es importante mencionar, que las anualidades ciertas y las eventuales pueden ser vencidas o anticipadas; y éstas a su vez pueden ser diferidas. Las anualidades que más se presentan dentro del mundo financiero, son las anualidades ciertas vencidas simples, es decir, las que se vencen al final de cada periodo, y el periodo de pago coincide con el de capitalización. Por lo que serán el foco de estudio de esta unidad.
A continuación, una tabla para resumir la clasificación de las anualidades:
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| Tipo de Anualidad | Descripción General |
|---|---|
| Anualidad vencida u ordinaria | Pagos al final de cada período. |
| Anualidad anticipada | Pagos al principio de cada período. |
| Anualidad diferida | El plazo comienza después de un período de gracia. |
| Perpetuidad | El plazo no tiene fin, los pagos tienden al infinito. |
| Anualidad creciente | Los pagos aumentan periódicamente (aritmética o geométricamente). |
| Anualidad decreciente | Los pagos disminuyen periódicamente (aritmética o geométricamente). |
| Anualidad pagadera p-veces al año | Este tipo de anualidad se menciona en la clasificación, pero su descripción detallada no está incluida en el material provisto. |
| Anualidad continua | Este tipo de anualidad se menciona en la clasificación, pero su descripción detallada no está incluida en el material provisto. |
Elaboración propia, basado en Cánovas T. Fundamentos de Matemáticas Financieras, Ed. Trillas, pag. 116.
Monto y Valor Actual de una Anualidad Vencida
Ahora que ya conoces el concepto de anualidades vencidas y algunas características de las anualidades vencidas, es el momento de indagar en los elementos de una anualidad vencida. De acuerdo con Mora Zambrano (2009), “el valor de una anualidad calculada a su terminación es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o presente.” Otra definición que complementa la anterior es la siguiente: “El monto de una anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos depósitos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. El valor actual de una anualidad es la suma de los valores actuales de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo.”
En las definiciones anteriores, radica bastante los términos de valor actual y monto, que serán nuestro siguiente subtema de estudio dentro de las anualidades. Al igual que en interés simple y compuesto, será de interés para las matemáticas financieras conocer el monto o valor actual, en este caso de una anualidad.
Volveremos a utilizar los conocimientos de fecha focal dentro de las anualidades, ya que para la deducción de la fórmula del monto de una anualidad, se toma como fecha focal el término de la anualidad. Ahora, para deducir la fórmula del valor actual de una anualidad, se tomará como fecha focal el día cero o fecha de inicio de la anualidad. Dicha expresión, es la que se va a estar utilizando para hacer el cálculo del valor presente de una anualidad vencida. Un valor presente es un valor, ubicado en un período anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos iguales o periódicos. Por otro lado, un monto o valor futuro es un valor ubicado en la última fecha de pago, equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos.
El Despeje de la Tasa de Interés (i) y la Opción de los Logaritmos
Para realizar el despeje de i de la fórmula del monto, recordemos las fórmulas revisadas en la clase pasada. Usando la primera fórmula, existen múltiples métodos para despejar i de esta, una opción sería el uso de logaritmos, otro método es la interpolación de tablas, pero el más adecuado por lo revisado en el curso y los conocimientos de álgebra adquiridos durante tu recorrido y trayectoria académica, utilizaremos exponentes o radicales. El valor A, se conoce como la base o anualidad y se encuentra localizada un periodo después del cero de la serie gradiente aritmética. Mientras que en el período cero (0) del diagrama, se ubica el Valor Presente Total de la serie Gradiente aritmética (VPTAGa), conformada por la sumatoria de valores presente de anualidades (VPA) y valores presente de los gradientes aritméticos (VPGa).
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Es necesario notar que, cuando en el modelo el valor de $n=1$ se tiene el caso de una anualidad de un sólo pago, y al ser sólo un pago, no podría ser considerada como una anualidad, sin embargo, se sigue cumpliendo que el valor presente sea igual a $v$.
Herramientas Digitales para el Cálculo de Anualidades
En cuanto a las herramientas digitales y electrónicas que se utilizan en materia de las anualidades, el mercado ofrece tablas financieras electrónicas, las cuales simplifican los cálculos matemáticos, ya que proporcionan los valores de varias expresiones que se utilizan en finanzas, según el tiempo y tasas de interés. El valor presente de una anualidad se puede obtener mediante la fórmula pre programada VP de la hoja de cálculo de Excel, la cual representa el valor actual de una inversión. Es cuando el pago periódico se realiza al inicio de cada intervalo de pago.
Para calcular la tasa de interés, utilizando la función TASA de Excel es posible calcular la tasa de interés del problema planteado. Debe ingresar mínimo 3 variables dentro de la función TASA para obtener un resultado: 1. NPER: corresponde al número de cuotas, 2. PAGO: corresponde al monto de las cuotas por pagar, 3. VA: corresponde al valor actual o valor presente del saldo pendiente por pagar o crédito. Puede obtener el resultado simplemente agregando en la barra de tareas de Excel el siguiente código: =TASA(48;-1266112,73;45000000) o utilizando el asistente.
Ejemplos de Anualidades Vencidas
Cálculo del Monto de una Anualidad Vencida
Hacer ejercicios de anualidades vencidas es una forma ideal de comprender qué es una anualidad vencida. María está planeando su futuro financiero y decide invertir en una anualidad vencida. Ella deposita $10,000 cada trimestre en una cuenta con una tasa de interés del 12%, capitalizable trimestralmente. María tiene la intención de dejar su dinero invertido durante 10 años.
Otro ejemplo: Ricardo invierte $250.000 pesos cada fin de mes, durante un año en fondos mutuos que generan un rendimiento del 2,5% mensual. Datos: i= 2,5% mensual vencido, t= 12 meses, R= $250.000 pesos, S= ?
Cálculo de la Renta o Pago
Conocido el valor presente (VP), la tasa de interés (i) y el número de pagos (t), podemos calcular el valor de la cuota o pago o renta (R). Ejemplo: Un préstamo bancario por valor de $10.000.000 de pesos se desea amortizar en 8 pagos trimestrales iguales. Datos: P= $10.000.000 pesos, i= 36% anual / 4 trimestres (un año) = 9% trimestral, t= 8 trimestres.
Cálculo de la Tasa de Interés
Los agentes que venden a crédito electrodomésticos, vehículos y otros activos, por medio de cuotas fijas periódicas y uniformes, generalmente no le informan a los clientes su costo financiero, que corresponde a la tasa de interés cobrada. Ejemplo: Pedro desea comprar una camioneta Nissan por valor de $60.000.000 de pesos. El concesionario le exige una cuota inicial del 25% del valor total y para pagar el saldo le exige 48 cuotas mensuales de $1.266.112,73 pesos. Datos: i= ?, P= $60.000.000 pesos * 75% = $45.000.000 pesos, t= 48 cuotas mensuales, R= $1.266.112,73 pesos. Solución: utilizando la función TASA de Excel es posible calcular la tasa de interés del problema planteado.
Cálculo del Número de Cuotas
Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Para las anualidades vencidas, el tiempo de la operación contado en número de períodos, algunas veces coincide con el número de pagos, lo cual no siempre se cumple. Ejemplo: Una deuda de $10.000.000 de pesos se debe saldar mediante cuotas mensuales iguales de $200.000 pesos cada una.
El señor Arce adquirió un vehículo por el cual se hará un pago único de ₵30.000 al final de los próximos 6 meses.
Don Raúl, desea adquirir un vehículo último modelo, motivo por el cual solicita un autofinanciamiento, el cual requiere que realice un pago del 30% de enganche. El valor total de la unidad cuesta $400,000. La forma en que Don Raúl desea pagarlo es cubrir el enganche, sacarlo a 60 mensualidades con una tasa del 20% pagadera mensualmente. Además, quiere aportar la cantidad de $20,000 cada cinco años de forma vencida. Modelo de la ecuación de valor en un problema práctico. Luego, para calcular $\prescript{}{5}{\mathbf{A}}_{i}$, es necesario obtener la tasa efectiva anual denotada por $i’$, que al mismo tiempo es una tasa equivalente a la tasa equivalente efectiva mensual que se acaba de calcular. Es muy común, en la práctica tener casos en los que combinen mensualidades con pagos anuales. Lo anterior es una práctica común que tiene la intención de reducir la cantidad de intereses que se está pagando.
Ejercicio: Una empresa de hilos, compró maquinaria a crédito con un valor de $500,000, los pagos los va a realizar de forma mensual, con un valor de $4,000, la duración de la deuda fue de 18 meses, la tasa que están manejando es de 1.35% efectiva mensual. La empresa quiere liquidar dicha deuda lo antes posible. Dado que tiene en puerta un negocio de gran importancia, pretende pagar la totalidad del adeudo dentro de un mes, situación que comunica el vendedor de la maquinaria, para poder renegociar el monto que le resta y que no tenga que estar pagando tanto interés.
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