Los métodos numéricos son aplicaciones de algoritmos por las cuales es posible formular y solucionar problemas matemáticos usando operaciones aritméticas menos complejas. También se conocen como métodos indirectos. El análisis numérico idealiza y concibe métodos para «aprobar» de forma eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones «aproximadas» para problemas complejos.
Problemas de ingeniería se pueden resolver a través de distintas metodologías, siendo que la solución por métodos numéricos proporciona una serie de puntos positivos que colaboran para una mejor comprensión de los fenómenos con un buen balance entre tiempo, costo y calidad. El análisis numérico es el estudio de algoritmos que busca resultados numéricos de problemas de las más distintas áreas del conocimiento humano, modelados matemáticamente.
El análisis numérico se convierte en protagonista cuando la aplicación de las matemáticas en diversas áreas como la medicina, la economía y las ciencias sociales implica el planteamiento de problemas tan complejos que no pueden ser resueltos de manera exacta mediante métodos simples, los cuales resultan insuficientes y pueden inducir a errores. Gracias al poder computacional actual, el análisis numérico permite realizar cálculos complejos que serían imposibles de desarrollar manualmente, abordando los problemas de forma más efectiva y proponiendo soluciones precisas y fiables. Es una metodología interdisciplinaria que combina principios matemáticos con herramientas computacionales para resolver problemas de gran complejidad.
El método numérico se centra en el desarrollo y aplicación de algoritmos numéricos para abordar situaciones en las que las soluciones mediante fórmulas o teoremas no son viables o precisas debido a las características de la información implicada. Esto tiene aplicaciones variadas, como la simulación de nuevos productos antes de su producción, la predicción del clima, la estimación de tendencias en el mercado bursátil y el análisis de fórmulas para el desarrollo de nuevos medicamentos.
Algoritmos en Métodos Numéricos
Un algoritmo es un grupo finito de operaciones organizadas y ordenadas que permite solucionar un cierto problema. Se trata de una serie de instrucciones o reglas establecidas que, por medio de una sucesión de etapas, permiten acercar el resultado real. En general, los algoritmos de métodos numéricos se dividen en directos, recursivos e iterativos.
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Métodos Directos e Iterativos
Los métodos numéricos son procedimientos matemáticos cuyo objetivo es la resolución numérica de problemas que carecen de expresión analítica para su resolución exacta. En general, lo que caracteriza a los métodos directos es que el número máximo de operaciones que se requiere para obtener la solución es conocido a priori. Tal vez, el ejemplo más conocido de método directo sea el Método de Eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
La gran mayoría de los métodos numéricos que se estudian y aplican en la práctica, corresponden a procedimientos que proporcionan aproximaciones a la solución, pero cuya precisión se puede establecer arbitrariamente. A este tipo de métodos se les denomina métodos de aproximaciones sucesivas, o también métodos iterativos. Por ejemplo, los iterativos presentan una sucesión de pasos que converge o no hacia el valor aproximado de la solución exacta. A cada intento de obtener una nueva aproximación se le denomina “iteración”, y a la acción, “iterar”. Obviamente, no es posible calcular infinitos términos de la sucesión \(x_i\). Por tanto debemos establecer una condición de parada del método.
Tal como hemos definido los métodos iterativos, la solución aproximada en cada paso, \(x_i\), depende de la aproximación obtenida en el paso anterior, \(x_{i-1}\). Ello significa que para poner en marcha el método es necesario especificar una aproximación inicial \(x_0\). En muchos casos, el comportamiento del método iterativo depende fuertemente de la aproximación inicial \(x_0\), pudiendo llegar a darse en caso de que si dicha aproximación está mal elegida el método no converge a la solución del problema.
Análisis y Control de Errores en Métodos Numéricos
Dado que las soluciones numéricas son aproximadas, resulta fundamental estudiar y medir los errores que se generan. Los errores en métodos numéricos, aunque pequeños al inicio, pueden crecer y afectar gravemente los resultados. Comprenderlos es clave para evitar fallos.
Como son métodos de aproximación, entonces hay un error en el cual se define como la cantidad que debe ser sumada a la aproximación para llegar al valor exacto. Para cuantificar el error, se introducen los conceptos de error absoluto y error relativo. El error absoluto indica la desviación de una medición respecto al valor real, expresada en las mismas unidades. En la práctica suele ser mucho más interesante calcular el error relativo.
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Tipos de Errores
Es el error debido a la propia forma en que está concebido el método numérico. Por ejemplo, la imposibilidad material de calcular los infinitos términos del desarrollo exige truncarlo con un número finito de términos, lo cual genera un tipo de error del método que, por su naturaleza, se denomina Error de Truncamiento.
El ordenador también introduce errores. Aunque un número tiene infinitas cifras decimales, el ordenador sólo permite representarlo con un número finito de cifras significativas. Esto se conoce como Error de Redondeo. Por ejemplo, un número cuya representación sea admisible por el ordenador (un número máquina, es decir, una cadena finita de ceros y unos) no puede ser representado en forma exacta. En la práctica, aunque Octave/Matlab (u otros programas) guardan (y operan internamente con) números con mantisas de 16 cifras, normalmente los valores que se muestran por pantalla se muestran con menos dígitos.
Otro error que puede aparecer es el error por cancelación, donde al efectuar una resta de valores muy similares se pierden cifras significativas. El error numérico total será la suma de todos los errores cometidos.
Reducir el error del método, principalmente el error de truncamiento, es un objetivo. También se busca reducir el error de redondeo. Como medidas para reducirlo, se presta atención al orden y a la forma en que se realizan las operaciones, y se incrementa el número de cifras significativas con las que opera el ordenador (por ejemplo, empleando números de doble precisión). Sin embargo, el comportamiento de los errores de truncamiento y redondeo responde en general a curvas con tendencias contrarias, por lo que en muchas ocasiones el remedio para un tipo de error incrementa el otro.
Estabilidad y Condicionamiento
Un método iterativo es estable si pequeñas variaciones en los datos iniciales producen pequeñas variaciones en los resultados. Cuando los errores que surgen en el proceso van amortiguándose se dice que el proceso es estable. Por otro lado, un problema está mal condicionado si un pequeño cambio en los datos de entrada provoca grandes diferencias en los resultados.
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Errores Históricos Relevantes
Los errores en los cálculos numéricos han tenido consecuencias graves en la historia de la ingeniería:
- El 25 de febrero de 1991, durante la Guerra del Golfo, una batería de misiles Patriot falló al intentar interceptar un misil Scud. El misil impactó en un cuartel, causando la muerte de 28 soldados. El fallo se debió a un error de redondeo: el reloj interno del sistema medía el tiempo en décimas de segundo, y este valor se multiplicaba por 10 para obtener el tiempo en segundos. Como 1/10 tiene una expansión binaria infinita, se representó truncándolo a 24 bits después del punto decimal.
- El vuelo del Ariane 5 Flight 501, el primer lanzamiento de este cohete tras una década de desarrollo y una inversión de más de 7000 millones de euros, resultó en una explosión 37 segundos después del despegue. El fallo se produjo por una excepción al intentar convertir un número en punto flotante de 64 bits -relacionado con la velocidad horizontal del cohete- en un entero con signo de 16 bits.
- El 23 de agosto de 1991, la plataforma petrolífera Sleipner A se hundió en el mar del Norte. El accidente se debió a un error en el modelado numérico de la estructura mediante elementos finitos, que subestimó en un 47 % los esfuerzos que debían soportar las paredes de los tanques. Un análisis posterior al accidente, realizado con un método de elementos finitos más preciso, demostró que el diseño de la plataforma provocaría fugas.
Principales Métodos Numéricos
Método de los Elementos Finitos (FEM)
El método de los elementos finitos (FEM - Finite Element Method) es un método numérico para solucionar problemas de ingeniería y física matemática. Se aplica a distintas disciplinas de la ingeniería, como estructural, térmica y electromagnética. Es un método numérico que pasa los límites de los problemas que se resuelven con soluciones analíticas, siendo adecuado para tratar problemas con geometrías, cargas y propiedades de materiales complejos.
Considere un dominio, por ejemplo, la geometría del objeto de estudio. Este dominio se considerará continuo. Este continuo está dividido en un número discreto de pequeños cuerpos con formato específico denominados elementos finitos, e interconectados por puntos comunes denominados puntos nodales o nudos. La división de la geometría en elementos finitos permite solucionar un problema complejo, subdividiéndolo en problemas más simples, lo que posibilita que la computadora realice con eficiencia estas tareas.
El procedimiento de discretización (la división del continuo en partes más chicas), ecuacionamiento y cálculo es adecuado para la programación y posterior uso en computadoras, lo que hizo con que sea muy popular y útil para distintas industrias. A partir de los desplazamientos se obtienen las tensiones, deformaciones, reacciones de apoyo y otras repuestas que buscan los analistas.
Método de los Elementos Discretos (DEM)
Un método de los elementos discretos o método de los elementos distintos (DEM - Discrete Element Method or Distinct Element Method) es, de hecho, algún método de una familia de métodos para calcular el movimiento y el efecto de un gran número de partículas pequeñas (discretas). El método de los elementos discretos está relacionado a la dinámica molecular, pero se diferencia debido a la inclusión de grados de libertad (movimientos) de rotación, contacto entre los elementos discretos y, frecuentemente, geometrías complejas usadas para definirlos.
El método general lo desarrolló originalmente Peter Cundall en 1971 para solucionar problemas con geomecánica (rocas). En pocas palabras, una simulación con el DEM empieza con la generación de un modelo donde resultan en orientación espacial y velocidad inicial para todas las partículas. Las fuerzas que actúan en cada partícula se calculan a partir de las condiciones iniciales, y de las leyes de la física relevantes (mecánica Newtoniana) y contacto. Comúnmente, el DEM se acepta como un método de análisis eficaz para simular problemas de ingeniería que abarca granos y materiales discontinuos como escurrimiento granular y geomecánica.
La premisa fundamental del método es que el material consiste en partículas discretas, separadas. Estas partículas pueden tener distintas formas y propiedades, como, por ejemplo: granos, piedras, arena, tóner, comprimidos, azúcar. Las industrias que típicamente usan el DEM son: agrícola, alimentos, química, minería, farmacéutica, metalurgia del polvo, ingeniería civil, industria de aceite y gas, procesamiento de minerales.
Método de los Volúmenes Finitos (FVM)
El método de volúmenes finitos (Finite Volume Method - FVM en inglés) se introdujo en la década de 1970 e, históricamente, ha sido el método preferido por los científicos e ingenieros que trabajan con la mecánica de fluidos, aunque no se limite apenas a la solución de problemas de mecánica de fluidos. Comúnmente, el método de los volúmenes finitos se usa para solucionar problemas de la mecánica de los fluidos, algunos de ellos considerados complejos, como los que abarcan flujos multifásicos, reactivos o fuertemente turbulentos.
En el método de volúmenes finitos está la descomposición (discretización) del dominio continuo en pequeños volúmenes, llamados volúmenes de control (VCs), donde las variables se calculan y almacenan en los nudos o en el centro del volumen. Estos volúmenes de control están conectados por estos nudos y definen una reja numérica llamada malla. El FVM abarca los siguientes pasos:
- Descomponer el dominio en volúmenes de control.
- Formular las ecuaciones integrales de conservación para cada volumen de control.
- Aproximar numéricamente las integrales.
- Aproximar los valores de las variables en las faces y las derivadas con la información de las variables nodales.
- Montar y resolver el sistema algebraico obtenido.
El sistema de ecuaciones se resuelve y, como resultado, se obtienen respuestas como presión, temperatura y velocidad. Obsérvese que es una solución numérica aproximada.
Método de los Elementos de Contorno (BEM)
El método de los elementos de contorno (en inglés: boundary element method (BEM)) es un método computacional para la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales, formuladas en forma integral. Se aplica en diversas áreas de la ingeniería, como, por ejemplo, en mecánica de los fluidos, acústica, electromagnetismo y mecánica de fracturas. En el BEM, el contorno del dominio en estudio es discretizado (dividido en elementos).
Esto, en muchos casos, reduce drásticamente el tamaño del problema, además de ser más simple la implementación de pre procesadores (generadores de geometría y de malla). Una vez encontrada la solución en el contorno, en la etapa de post procesamiento, las ecuaciones integrales nuevamente se usan para calcular numéricamente la solución en cualquier punto en el interior del dominio involucrado por el contorno.
Método de las Diferencias Finitas (FDM)
En matemática, los métodos de diferencia finita (FDM - Finite Difference Method en inglés) son métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, aproximándolos con ecuaciones de diferencia, en las cuales las diferencias finitas se aproximan de las derivadas. Los FDMs son, por lo tanto, métodos de discretización. El método de diferencias finitas depende de la discretización de una función en una reja (“grid”).
Método de Lattice-Boltzmann
Lattice Boltzmann es frecuentemente considerado como un solver numérico de la ecuación de Boltzmann. La ecuación de Boltzmann es el análogo de la ecuación de Navier-Stokes en nivel molecular, donde describe la dinámica espacio-temporal de una cantidad estadística llamada función de distribución de probabilidad, que se define en espacio de fase de 6 dimensiones.
Herramientas Computacionales para Métodos Numéricos
Los métodos numéricos se implementan usualmente mediante lenguajes de programación para su ejecución en un sistema computacional. Para estos retos se emplean diversas herramientas de software de cómputo numérico, como MATLAB, Python con NumPy y SciPy, R y SciLab, que consisten en entornos de desarrollo y colecciones de funciones específicamente diseñadas para el análisis numérico.
MATLAB/Octave
Para la resolución de problemas, se utilizará como herramienta principal de cálculo el programa Matlab. Es una potente herramienta diseñada para trabajar principalmente con matrices. Aunque Matlab es un software de pago, también se puede utilizar el software libre y gratuito Octave, que es compatible en muchos de sus comandos. Matlab y Octave van más allá de simples calculadoras, incorporan un lenguaje propio de programación con el que se puede crear scripts y funciones, automatizar procesos, manejar bucles y condicionales entre otras posibilidades.
MATLAB/Octave permite realizar operaciones aritméticas básicas de manera directa, crear variables y operar con números, vectores, matrices, gráficos y procesamiento de datos. Una matriz es una colección de valores en filas y columnas. Permite definir vectores fila y columna, así como generar matrices de números aleatorios.
Ejemplos de Aplicación con MATLAB/Octave
La resolución de un problema de valor inicial (PVI) que busca encontrar la curva solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma \(\frac{dy}{dt} = f(t, y)\) con una condición inicial \(y(t_0)=y_0\) es una aplicación común. El método de Euler propone aproximar esta curva avanzando paso a paso a través de pequeños saltos en el eje \(x\).
En las integrales, métodos como el del punto medio y el del trapecio se utilizan para aproximar la integral que deseemos. Para lograr una mejor aproximación, en general, se utiliza lenguajes de programación como Python, C++, R, o software especializados como Mathematica o MatLab para mejorar la precisión de estos métodos facilitando el trabajo y obteniendo una aproximación que se quiera.
Las sumas de Riemann como aproximación de integrales definidas son parte de las actividades formativas en ingeniería. La actividad tiene el fin de exponer a los y las estudiantes el tema de sumas de Riemann como aproximación de integrales definidas, y de manera ideal puede formar parte de las actividades en clase de los planes formativos en Ingeniería. En la dinámica se abordan los conceptos tanto de la integral definida, así como el de convergencia de un método numérico. El ejercicio en clase está basado en cuatro metodologías de cálculo que proponen diferentes elementos de superficie cuadrangulares, los cuales se distinguen entre ellos por la definición de sus alturas, conocidos como métodos de puntos a la izquierda, puntos a la derecha, puntos medios y de trapecio.