Introducción a las Ondas
En la sección anterior describimos ondas periódicas por sus características de longitud de onda, periodo, amplitud y rapidez de onda. Las ondas también se pueden describir mediante el movimiento de las partículas del medio por el que se mueven.
Un pulso se puede describir como una onda que consiste en una única alteración que se desplaza por el medio con una amplitud constante. El pulso se mueve como un patrón que mantiene su forma mientras se propaga con una rapidez de onda constante. La velocidad es constante y el pulso se mueve a una distancia Δx=vΔt en un tiempo Δt. La distancia recorrida se mide con cualquier punto conveniente del pulso.
Observe que la rapidez de onda es la velocidad de la onda en la dirección paralela al movimiento de la onda. En este ejemplo, la onda es transversal, se mueve horizontalmente mientras el medio oscila hacia arriba y hacia abajo perpendicularmente a la dirección del movimiento.
Las partículas del medio oscilan en torno a una posición de equilibrio a medida que la onda se propaga por el medio. La velocidad de las partículas del medio no es constante, lo que significa que hay una aceleración.
Descripción Matemática de una Onda Armónica
Para describir matemáticamente una onda, es útil recordar que si f(x) es alguna función, entonces f(x-d) es la misma función trasladada en la dirección x positiva una distancia d. La función f(x+d) es la misma función trasladada en la dirección x negativa una distancia d.
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Al observar la primera representación, la posición y de la cuerda entre x=0 y x=λ se puede modelar como una función seno. Esta onda se propaga por la cuerda una longitud de onda en un periodo. Una función seno es una función del ángulo θ, que oscila entre +1 y −1, y se repite cada 2π radianes.
La onda en la cuerda se desplaza en la dirección x positiva con una velocidad constante v, y se mueve una distancia vt en un tiempo t. A menudo, es conveniente reescribir esta función de onda de una forma más compacta:
- El valor 2πλ se define como el número de onda (k=2πλ).
- La frecuencia angular se define como ω≡2πT.
Una función de onda armónica simple se puede representar, por ejemplo, como A sen(kx - ωt + ϕ), donde A es la amplitud, k es el número de onda, ω es la frecuencia angular, y ϕ es la fase inicial. Piense en una masa en un resorte, cuando la posición de la masa se modeló como x(t)=Acos(ωt+ϕ). El ángulo ϕ es un deslizamiento de fase, añadido para tener en cuenta que la masa puede tener condiciones iniciales distintas de x=+A y v=0. Por motivos similares, la fase inicial se añade a la función de onda y(x,t). La expresión (kx - ωt + ϕ) se conoce como la fase de la onda.
Si el término temporal ωt es negativo o positivo depende de la dirección de la onda. En primer lugar, considere el signo menos para una onda con una fase inicial igual a cero (ϕ=0). La fase de la onda sería (kx-ωt). Considere la posibilidad de seguir un punto de una onda, como una cresta. Se producirá una cresta cuando sen(kx-ωt)=1,00, es decir, cuando kx-ωt=nπ+π/2, para cualquier valor integral de n. Por ejemplo, una cresta particular se produce en kx-ωt=π/2. A medida que la onda se mueve, el tiempo aumenta y x también debe aumentar para mantener la fase igual a π/2. Por lo tanto, el signo menos es para una onda que se mueve en la dirección x positiva.
Al usar el signo más, kx+ωt=π/2. Al aumentar el tiempo, x debe disminuir para mantener la fase igual a π/2. El signo más se utiliza para ondas que se mueven en la dirección x negativa. La Ecuación 16.4 se conoce como función de onda armónica simple. En la sección anterior afirmamos que una función coseno también se podría usar para modelar una onda mecánica armónica simple.
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Una función de onda es cualquier función tal que f(x,t)=f(x-vt). La velocidad de la onda se puede calcular mediante el número de onda y la frecuencia angular. Todas las características de la onda están contenidas en la función de onda.
Movimiento de Partículas y Derivadas Parciales
La velocidad del medio, la cual es perpendicular a la velocidad de la onda en una onda transversal, se puede calcular mediante la derivada parcial de la ecuación de posición con respecto al tiempo. La derivada parcial se calcula con la derivada de la función, y se tratan todas las variables como constantes, excepto la variable en cuestión. En el caso de la derivada parcial con respecto al tiempo t, la posición x se trata como una constante. Aunque esto puede sonar extraño si no lo ha visto antes, el objetivo de este ejercicio es calcular la velocidad transversal en un punto, así que en este sentido la posición x no está cambiando.
Acabamos de determinar la velocidad del medio en una posición x tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la posición y. Para una onda transversal, esta velocidad es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
La magnitud de la velocidad máxima del medio es |vy,máx.|=Aω. La magnitud de la aceleración máxima es |ay,máx.|=Aω2.
La aceleración vertical ay(x,t) de las partículas del medio se expresa como:
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ay(x,t)=∂2y(x,t)/∂t2=∂2/∂t2(Asen(kx-ωt+ϕ))=-Aω2sen(kx-ωt+ϕ).
Considere ahora las derivadas parciales con respecto a la otra variable, la posición x, y mantenga el tiempo constante. La curvatura de la cuerda se expresa como:
curvatura=∂2y(x,t)/∂x2=∂2/∂x2(Asen(kx-ωt+ϕ))=-Ak2sen(kx-ωt+ϕ).
Deducción General de la Ecuación de Onda Lineal
La relación entre la aceleración y la curvatura conduce a una relación muy importante en física conocida como ecuación lineal de onda. La Ecuación 16.6 es la ecuación lineal de onda, que es una de las ecuaciones más importantes de la física y la ingeniería. Nuestro objetivo es hallar la ecuación diferencial que deben verificar las soluciones para las ondas en una dimensión. En este curso, nos centraremos en las oscilaciones en una dimensión.
Lo derivamos aquí para una onda transversal, pero es igualmente importante cuando se investigan ondas longitudinales. Esta relación también se derivó mediante una onda sinusoidal, pero describe con éxito cualquier onda o pulso que tenga la forma y(x,t)=f(x∓vt). Estas ondas resultan debido a una fuerza restauradora lineal del medio, de ahí el nombre de ecuación lineal de onda.
La forma general de la ecuación de onda es:
∂2y(x,t)/∂x2 = (1/v2) ∂2y(x,t)/∂t2
Esta ecuación es extremadamente útil. Funciona igualmente bien para ondas en una cuerda, ondas sonoras y ondas electromagnéticas. Cualquier alteración que cumpla con la ecuación de onda se puede propagar como una onda que se mueve a lo largo del eje x con una rapidez de onda v.
La solución general es una función de dos variables, x y t, siendo la velocidad de las ondas una constante. Esto es, y depende de x y t no de cualquier forma, sino a través de la combinación definida por s (por ejemplo, x-vt o x+vt). Esta ecuación en derivadas parciales la verifican todas las soluciones de la forma y = f(x − vt). A partir de la ecuación anterior, una onda se define matemáticamente como una solución de la ecuación de onda. Hay que señalar que, al ser f y g funciones arbitrarias (en la forma y(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)), la forma de la solución y(x,t) puede ser muy diversa. En particular, no tiene por qué resultar una onda viajera.
Deducción para Ondas Transversales en una Cuerda Tensa
Considere una cuerda que se mantiene a una tensión constante FT donde un extremo está fijo y el extremo libre oscila entre y=+A y y=-A a través de un dispositivo mecánico a una frecuencia constante. Los puntos de color se utilizan para resaltar puntos en la cuerda. Observe que cada punto seleccionado en la cuerda (marcado con puntos de color) oscila hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, entre y=+A y y=-A, con un periodo (T).
Para la deducción de la ecuación diferencial de una onda transversal en una cuerda tensa, se representa un elemento infinitesimal de longitud de una cuerda elástica sometida a una tensión T por el que pasa una onda transversal suave. El elemento de cuerda tiene una longitud inicial dx y masa dm, deformándose al paso de la onda.
En este desarrollo, la variable y (desplazamiento transversal) depende de las variables x (posición) y t (tiempo), por lo que se utilizan derivadas parciales. Aplicando la Ley de Newton al elemento de cuerda, y considerando que para una onda transversal suave se cumplen ciertas condiciones, se llega a una relación que, al reconocer la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda, permite obtener la ecuación de onda.
La velocidad de una onda armónica simple en una cuerda depende de la tensión en la cuerda y de la masa por unidad de longitud de la cuerda.
Deducción para Ondas de Presión en un Gas
Para la deducción de la ecuación diferencial de las ondas de presión en un gas, supongamos una masa de gas encerrada en un tubo de sección A. Sean d0, p0 y T0 los valores iniciales de la densidad, presión y temperatura del gas. Un émbolo cierra el tubo por la izquierda y se desplaza bruscamente hacia la derecha.
Un elemento de volumen del gas de coordenada x1 y anchura dx pasará a tener coordenada x1+Ψ y anchura dx+dΨ, siendo d y p las nuevas magnitudes de densidad y presión. Dado que se mantiene constante la masa de gas, se cumplirá la conservación de la masa.
Se supone que las perturbaciones son suaves, de manera que la variación de anchura dΨ de la capa de gas de anchura inicial dx es pequeña respecto de ésta. El proceso de la propagación de la perturbación en el gas producido por el desplazamiento del émbolo es rápido, no teniendo tiempo de propagarse calor a través del mismo, luego el proceso es adiabático. Suponiendo que es un gas ideal, se cumple una relación adiabática entre presión y volumen.
La variación infinitesimal dp de la presión entre ambas caras de la capa de gas es la base para calcular la fuerza neta experimentada por la capa. Aplicando la Segunda Ley de Newton a la capa de gas y arreglando esta expresión, se obtiene la ecuación de las ondas que no se deforman. De la ecuación anterior se deduce que la velocidad de las ondas de presión en un gas.
Deducción para Ondas Longitudinales en una Varilla
Para la deducción de la ecuación diferencial de las ondas longitudinales en una varilla, se considera un elemento de longitud Δx de una varilla elástica, de coordenada x y densidad d, sometido por la izquierda a una fuerza F(x) y por la derecha a una fuerza F(x+Δx).
Si a una varilla de sección A se le somete a una fuerza F longitudinalmente, un elemento de longitud Δx sufre una deformación ΔΨ. La relación entre fuerza, área, deformación y longitud original se rige por el módulo de Young de la varilla. La unidad del módulo de Young en el S.I. es Pascal (Pa).
Mediante la aplicación de las leyes de la elasticidad (basadas en el módulo de Young) y la Segunda Ley de Newton a este elemento infinitesimal de la varilla, se puede derivar la ecuación de onda para las ondas longitudinales.
Propiedades de la Ecuación de Onda Lineal: Superposición
La ecuación resultante debe admitir que sobre la misma cuerda vibrante se propaguen simultáneamente dos o más señales, sin afectarse mutuamente. Un aspecto interesante de la ecuación lineal de onda es que si dos funciones de onda son soluciones individuales de la ecuación lineal de onda, entonces la suma de las dos funciones de onda lineal es también una solución de la ecuación de onda. Esta propiedad se conoce como el principio de superposición.
Considere dos ondas transversales que se propagan a lo largo del eje x y ocupan el mismo medio. Suponga que las ondas individuales se pueden modelar con las funciones de onda y1(x,t)=f(x∓vt) y y2(x,t)=g(x∓vt), que son soluciones a las ecuaciones lineales de onda y, por tanto, son funciones de onda lineales.
Esto ha demostrado que si se suman algebraicamente dos funciones de onda lineales, la función de onda resultante también es lineal. Esta función de onda modela el desplazamiento del medio de la onda resultante en cada posición a lo largo del eje x. Si dos ondas lineales ocupan el mismo medio, se dice que interfieren.
Si estas ondas se pueden modelar con una función de onda lineal, estas funciones de onda se suman para formar la ecuación de onda de la onda resultante de la interferencia de las ondas individuales. Llevando este análisis un paso más allá, si las funciones de onda y1(x,t)=f(x∓vt) y y2(x,t)=g(x∓vt) son soluciones de la ecuación lineal de onda, entonces Ay1(x,t)+By2(x,t), donde A y B son constantes, es también una solución a la ecuación lineal de onda.
Por ejemplo, considere que hay dos estudiantes que sostienen una cuerda muy larga estirada; cada uno sostiene un extremo. El estudiante A hace oscilar el extremo de la cuerda y se produce una onda modelada con la función de onda y1(x,t)=Asen(kx-ωt) y el estudiante B hace oscilar la cuerda y se produce el doble de la frecuencia, lo que hace que se mueva en dirección opuesta. Ambas ondas se mueven a la misma velocidad v=ω/k. Las dos ondas interfieren para formar una onda resultante cuya función de onda es yR(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t). Para determinar la onda resultante, primero se escribiría la función de onda para la onda creada por el segundo estudiante, observando que la frecuencia angular de la segunda onda es el doble de la frecuencia de la primera onda (2ω), y como la velocidad de las dos ondas es la misma, el número de onda de la segunda onda es el doble que el de la primera (2k). A continuación, se escribe la ecuación de onda para la función de onda resultante, que es la suma de las dos funciones de onda individuales. Luego, se calculan la segunda derivada parcial con respecto a la posición y la segunda derivada parcial con respecto al tiempo. La velocidad de la onda resultante es igual a la velocidad de las ondas originales (v=ω/k).
Solución de la Ecuación de Onda para Cuerdas Vibrantes (Modos Normales)
Consideremos una cadena delgada de longitud l que se fija en sus dos puntos finales, y llamemos al desplazamiento de la cadena desde su posición horizontal u(x,t). El lado izquierdo de la ecuación de onda es una función de x solo, y el lado derecho es una función de t solo. La constante de separación (K) será determinada por las condiciones de límite. Aún no sabemos si K es positivo, negativo o cero, por lo que no sabemos si se trata de exponenciales reales o complejos.
Si K=0, o si se eligen ciertas constantes de integración como cero, se obtendría una solución trivial f(x)=0, lo que físicamente significa que la cuerda no está vibrando en absoluto. Esta es sin duda una solución matemáticamente aceptable, pero no es una solución que represente el comportamiento físico de nuestra cadena.
Utilizamos las condiciones de límite que nos dieron (u(0,t)=0 y u(l,t)=0), por lo que la ecuación es válida independientemente de las condiciones iniciales siempre y cuando la cadena se mantiene fija en ambos extremos. Los subíndices enfatizan el hecho de que estas constantes dependen de n. La cantidad nπv/l tiene unidades de tiempo recíproco, esto es cierto porque necesita dar un número adimensional cuando se multiplica por t.
Cada solución un(x,t) se llama modo normal. Por ejemplo, el modo fundamental o primer armónico, o el primer armónico o segundo armónico, o el segundo armónico o tercer armónico. Si la forma inicial de la cadena (es decir, la función u(x,t) en el tiempo cero) es un seno, entonces la cuerda vibrará simplemente cambiando la amplitud pero no la forma general.
En términos más generales, si u(x,0) es uno de los modos normales, la cuerda vibrará de acuerdo a ese modo normal, sin mezclarse con el resto. Sin embargo, en general, la forma de la cadena se describirá mediante una combinación lineal de modos normales. Si recuerdas, una serie de Fourier te dice cómo expresar una función como una combinación lineal de senos y cosenos.
Para hacer eso, necesitamos información sobre la forma inicial: u(x,0). También necesitamos información sobre la velocidad inicial de todos los puntos de la cadena: ∂u(x,0)/∂t. La forma inicial es el desplazamiento de todos los puntos en el tiempo cero, y es una función de x. Ambas funciones juntas representan las condiciones iniciales, y serán utilizadas para calcular todos los coeficientes an y bn.
Esta ecuación nos dice que la forma inicial, y1(x), puede describirse como una suma infinita de funciones sinusoidales. Si averiguamos qué suma, tendremos los coeficientes bn que necesitamos para anotar la expresión de u(x,t) que estamos buscando. Nuestro último paso es calcular los coeficientes an. Utilizaremos la última condición inicial: ∂u(x,0)/∂t=y2(x). La función y2(x) puede expresarse como una suma infinita de funciones sinusoidales. Necesitamos crear una extensión impar de y2(x) y obtener su serie de Fourier. Los coeficientes bn de la serie de Fourier son iguales a anωn.
¡Éxito! Tenemos una descripción completa del movimiento de la cuerda. Solo necesitamos conocer la longitud de la cadena (l), el desplazamiento inicial del punto medio (A) y el parámetro v, y podemos comenzar a trazar la forma de la cadena en diferentes momentos. Como es habitual, cuantos más términos incluyas mejor será la aproximación.
El parámetro v tiene unidades de longitud a lo largo del tiempo (por ejemplo, m/s), y depende de factores como el material de la cuerda, su tensión y su grosor. Un instrumento de cuerda como una guitarra, por ejemplo, tiene cuerdas hechas de diferentes materiales y sostenidas a diferentes tensiones. Al ser arrancados, producen vibraciones de diferentes frecuencias, que percibimos como diferentes notas musicales. En general, la vibración de la cuerda será una combinación lineal de los modos normales de los que hablamos anteriormente en esta sección. Cada modo normal tiene una frecuencia única, y si esta frecuencia está dentro de nuestro rango audible, la percibiremos como una nota musical pura.
Las aplicaciones de los modos normales se extienden a la química, donde las vibraciones moleculares siguen movimientos aproximadamente armónicos. De la misma manera que la vibración de una cuerda se puede expresar como una combinación lineal de todos los modos normales, podemos expresar las vibraciones de una molécula poliatómica como una combinación lineal de modos normales. Una molécula poliatómica no lineal tiene 3n-6 modos vibracionales normales, donde n es el número de átomos. Cualquier otro tipo de vibración se puede expresar como una combinación lineal de estos modos normales. Estos movimientos ocurren muy rápido, normalmente del orden de 1012 vibraciones por segundo.
Soluciones Generales y Dominio de Dependencia
Consideremos una cuerda de longitud infinita, con unas características tales que las ondas se propagan en este medio con velocidad c. No es una tarea fácil encontrar las funciones u y v que satisfacen las condiciones iniciales. La solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales es la suma de dos ondas que se propagan a lo largo del eje X en sentidos contrarios.