En el año 1920, el ingeniero mecánico alemán Ludwig Prandtl, con el objetivo de evaluar la dureza de un material sólido mediante la determinación del esfuerzo que produce su plastificación total, analizó teóricamente su respuesta ante la solicitación impuesta por un material rígido. A partir de ello, propuso un mecanismo de falla, conocido como Cuña de Prandtl. Después de más de un siglo de su formulación, sus principios siguen siendo usados para el análisis geotécnico de cimentaciones superficiales.
Se debe a Heinrich Hertz la Teoría del Contacto de los Cuerpos Elásticos, donde se deduce una magnitud de la dureza correspondiente al esfuerzo de compresión, aplicado en el centro de la superficie de contacto, que excede el límite elástico. Debido a la imposibilidad de establecer este esfuerzo límite en cuerpos no frágiles, se convino para la medición práctica de la dureza, provocar un hundimiento permanente en el material a estudiar, y adoptar como magnitud de la dureza, el esfuerzo de compresión medio aplicado en la superficie de contacto. Se busca ampliar el concepto de cuerpo plástico, más allá de como se lo comprende generalmente según el método de St. Venant y Lévy. Conforme al enfoque de ambos, en aquellas regiones de un cuerpo donde se ha excedido el límite elástico, el mayor esfuerzo cortante debe tener un valor constante C, es decir, la diferencia entre el esfuerzo principal mayor y menor debe ser constante e igual a 2C.
Condiciones del estado plástico y mecanismo de deslizamiento
En la hipótesis formulada por Mohr, el “cuerpo plástico ideal” de de Saint-Venant está incluido como un caso especial. Sin embargo, la formulación también comprende aquellos casos en que el esfuerzo cortante límite es incrementado por la presión ejercida en toda dirección. Dado que las deformaciones elásticas de los elementos compactos que componen los materiales de construcción habituales son muy pequeñas, y que las deformaciones plásticas las superan con creces en muchos casos, es posible, como una primera aproximación, simplificar el análisis ignorando las trayectorias de deformación elástica. Asimismo, se tratará en adelante también la región plástica como incompresible, y los desplazamientos son considerados como menores.
Ahora se busca un mecanismo de deslizamiento, en el cual una región AB de la superficie libre plana es sometida a presión desde el exterior hacia el interior. Una revisión más detallada muestra que se ha encontrado esta solución mediante la división en las zonas donde en el triángulo ABC, domina un estado tensional uniforme, y la presión mayor se produce en dirección vertical, con una contrapresión horizontal de magnitud algo inferior. Si se puede demostrar que un estado tensional homogéneo presente en cada segmento radial, iniciando desde A o B, conduce a un equilibrio compatible con la condición del estado plástico, entonces es posible unir las zonas ACD y BCE con una transición continua de los esfuerzos, hacia a los triángulos ADF y BEG y, con ello, satisfacer completamente las condiciones del problema.
Análisis de esfuerzos y geometría de deslizamiento
Para el caso lineal, la relación entre el esfuerzo principal mayor, σ1, esfuerzo de compresión, y menor, σ2, se puede expresar de la forma de la ecuación correspondiente. Conforme a lo propuesto por Mohr, si se consideran como ordenadas los esfuerzos cortantes, σ, que actúan sobre las superficies de corte trazadas en las diferentes orientaciones, y como abscisas los correspondientes esfuerzos normales, entonces todos los estados tensionales están representados con puntos de una región delimitada exteriormente por un círculo de diámetro σ1 - σ2 y centro en el eje σ. Si se introduce a través de las relaciones una función de esfuerzos F, función de esfuerzo Airy, entonces resulta una ecuación diferencial de segundo orden de tipo hiperbólico, dado que siempre k < 1. Por este hecho, se justifica matemáticamente la posibilidad de llegar a la solución a partir de componentes individuales.
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| Variable | Descripción |
|---|---|
| k | Ley de plasticidad (fricción de granos) |
| σh/σd | Relación de esfuerzos (horizontal/compresión) |
Para los sectores ACD y BCE, es necesario encontrar ahora un estado tensional que satisfaga la ecuación, generando en cada radio un estado límite de esfuerzos constantes, pero de diferente magnitud entre ellos, lo cual se debe cumplir para todos los radios. Dada la concordancia de los valores de σt y τ con los valores calculados, las superficies radiales son superficies de deslizamiento. Con ello se desprende inmediatamente, a partir de los estados tensionales dominantes en las zonas triangulares, donde los esfuerzos principales son perpendiculares y paralelos a la superficie, que los ángulos son iguales a α.
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