El Teorema de Ehrenfest posee una importancia fundamental en el mundo de la mecánica cuántica, ya que tiende un puente entre la teoría cuántica y la física clásica. La mecánica cuántica es fundamentalmente distinta de la física clásica; pero el mundo cuántico de los números no anula el mundo "real" de la física clásica. En términos más sencillos, el Teorema de Ehrenfest proporciona una justificación mecánica cuántica de la mecánica clásica. Aclara cómo la física clásica puede considerarse una aproximación a la física cuántica.
El concepto de valores de expectativa
El Teorema de Ehrenfest gira en torno al concepto de valores de expectativa. En mecánica cuántica, un valor de expectativa representa la media estadística de una determinada cantidad observable. Se podría visualizar el valor de expectativa como el resultado probable de una medición, dado un número de sistemas idénticamente preparados. El teorema emplea estos valores de expectativa para caracterizar la evolución temporal de los sistemas cuánticos.
Para un observable general descrito por el operador A en un sistema cuántico con el operador hamiltoniano H, la tasa de cambio del valor de expectativa viene dada por la ecuación general:\[ \frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat{A}, H]\rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle \]Aquí, \( \langle\hat{A}\rangle \) denota el valor de expectativa del observable \( \hat{A} \), \( \hbar \) es la constante de Planck reducida, y \( [\hat{A}, H] \) representa el conmutador de \( \hat{A} \) y \( H \).
Deducción de la primera ecuación de Ehrenfest
Para examinar más de cerca los aspectos técnicos y matemáticos de la derivación del teorema, comencemos considerando un sistema cuántico con el operador hamiltoniano \( H \). El proceso para deducir el teorema de Ehrenfest implica utilizar la ecuación de Schrödinger y emplea cálculos matemáticos precisos para establecer el teorema. En la descripción de Heisenberg, la evolución temporal de los operadores nos permite realizar este análisis directamente.
Para derivar la primera ecuación de Ehrenfest, que relaciona la derivada temporal de la posición esperada con el momento esperado, consideremos el caso más simple de movimiento orbital 1D. Calculemos el conmutador entre la posición \( \hat{x} \) y el cuadrado del operador de momento \( \hat{p}_x^2 \):\[\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}^{2}\right] \equiv \hat{x} \hat{p}_{x} \hat{p}_{x}-\hat{p}_{x} \hat{p}_{x} \hat{x} \]Apliquemos la relación de conmutación fundamental de la siguiente forma:\[\hat{x} \hat{p}_{x}=\hat{p}_{x} \hat{x}+i \hbar \hat{I},\]al primer término del lado derecho de la ecuación anterior dos veces, con el objetivo de mover el operador de coordenadas a la posición más a la derecha:\[\hat{x} \hat{p}_{x} \hat{p}_{x}=\left(\hat{p}_{x} \hat{x}+i \hbar \hat{I}\right) \hat{p}_{x} \equiv \hat{p}_{x} \hat{x} \hat{p}_{x}+i \hbar \hat{p}_{x}=\hat{p}_{x}\left(\hat{p}_{x} \hat{x}+i \hbar \hat{I}\right)+i \hbar \hat{p}_{x} \equiv \hat{p}_{x} \hat{p}_{x} \hat{x}+2 i \hbar \hat{p}_{x} \]El primer término de este resultado se cancela con el último término, de manera que el conmutador se vuelve bastante simple:\[\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}^{2}\right]=2 i \hbar \hat{p}_{x} \]
Lea también: Deducción IVA: Guía Paso a Paso
Usemos esta igualdad para calcular la ecuación de movimiento del operador \(\hat{x}\), aplicando la ecuación general de Heisenberg al movimiento orbital 1D descrito por el hamiltoniano:\[\frac{d \hat{x}}{d t}=\frac{1}{i \hbar}[\hat{x}, \hat{H}]=\frac{1}{i \hbar}\left[\hat{x}, \frac{\hat{p}_{x}^{2}}{2 m}+U(\hat{x}, t)\right] \]El operador de energía potencial \(U(\hat{x}, t)\) es una función del operador de coordenadas y por lo tanto, como sabemos, viaja con ello (es decir, su conmutador con \(\hat{x}\) es cero). Al sustituir el conmutador que calculamos previamente, obtenemos:\[\frac{d\hat{x}}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \frac{2i\hbar\hat{p}_x}{2m} = \frac{\hat{p}_x}{m}\]
Finalmente, promediando la ecuación anterior sobre el estado inicial, obtenemos el resultado para los valores de expectativa correspondientes:\[\frac{d\langle x\rangle}{d t}=\frac{\left\langle p_{x}\right\rangle}{m}\]Esta es la primera ecuación de Ehrenfest. Como podemos ver, esta ecuación cuántico-mecánica coincide de manera idéntica con la definición clásica de la velocidad en términos del momento lineal, lo que demuestra formalmente la correspondencia con las leyes clásicas del movimiento.
Deducción de la segunda ecuación de Ehrenfest
Para complementar la dinámica del sistema, veamos qué da un procedimiento similar para la derivada del impulso:\[\frac{d \hat{p}_{x}}{d t}=\frac{1}{i \hbar}\left[\hat{p}_{x}, \hat{H}\right]=\frac{1}{i \hbar}\left[\hat{p}_{x}, \frac{\hat{p}_{x}^{2}}{2 m}+U(\hat{x}, t)\right] \]El operador de energía cinética viaja con el operador de impulso y, por lo tanto, cae desde el lado derecho de esta ecuación. Para calcular el conmutador restante de la energía potencial, representemos la función suave de energía potencial \( U(\hat{x}, t) \) a través de su expansión de Taylor:\[U(\hat{x}, t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}} \hat{x}^{k}\]donde las derivadas de \(U\) pueden entenderse como c-números. A partir de esto podemos desarrollar el conmutador:\[\left[\hat{p}_{x}, U(\hat{x}, t)\right]=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}}\left[\hat{p}_{x}, \hat{x}^{k}\right]\]Aplicando la relación fundamental de conmutación de forma sucesiva, se llega a:\[\left[\hat{p}_{x}, U(\hat{x}, t)\right]=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \hat{x}} U(\hat{x}, t)\]Sustituyendo esta igualdad en la derivada del operador de impulso, obtenemos la relación:\[\frac{d \hat{p}_{x}}{d t}=-\frac{\partial}{\partial \hat{x}} U(\hat{x}, t)\]Promediando sobre el estado inicial de igual manera que para la primera ecuación, el resultado para el valor de expectativa es:\[\frac{d\left\langle p_{x}\right\rangle}{d t}=-\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle\]Esta relación describe cómo la tasa de cambio del momento esperado es igual al valor medio de la fuerza clásica, completando la formulación clásica del teorema.
Implicaciones físicas y el Principio de Correspondencia
El teorema de Ehrenfest da testimonio del principio de correspondencia, estableciendo firmemente que la mecánica cuántica se transforma en mecánica clásica cuando se aplica a sistemas macroscópicos. Sin embargo, es importante recordar que la equivalencia entre estas ecuaciones cuántico-mecánicas y las ecuaciones similares de la mecánica clásica es superficial, y el grado de similitud entre las dos mecánicas depende mucho de las condiciones del problema.
Consideremos el caso cuando el estado de una partícula puede ser representado con precisión por un paquete de onda relativamente estrecho. En tales condiciones, podemos interpretar las ecuaciones del teorema como las ecuaciones del movimiento clásico del centro del paquete de ondas. No obstante, en sistemas altamente no lineales o en situaciones con fuerte dispersión, los efectos puramente cuánticos de la propagación del paquete impiden una correspondencia directa, marcando los límites entre ambas teorías físicas.
Lea también: Guía para la deducción del ISR
Lea también: Consideraciones sobre la Deducción de IVA en México