Cuando una carga de gravedad actúa en una estructura, se produce un desplazamiento lateral. A su vez, se genera un momento de vuelco secundario a medida que la carga de gravedad continúa actuando sobre los elementos en la posición desplazada lateralmente. Este efecto también se conoce como "P-Delta (Δ)". Los efectos de 2do orden, conocidos como efecto Carga-Desplazamiento o también como P-Δ, son efectos de magnificación de solicitaciones ocasionados por la interacción entre las cargas compresivas de la estructura con sus desplazamientos o imperfecciones geométricas. Esto se debe a las excentricidades generadas entre la posición deformada y la posición original no deformada de la estructura. Las cargas compresivas generan solicitaciones adicionales debido a estas excentricidades, de ahí viene el nombre de efectos Carga-Desplazamiento. Este efecto es considerado un efecto geométricamente no-lineal, ya que depende principalmente de la capacidad de deformación de la estructura, es decir, de su rigidez.
Todos los sistemas estructurales son afectados por estos efectos, sin embargo, aquellos de poca rigidez o esbeltos son especialmente susceptibles a los mismos, ya que son capaces de desarrollar mayores desplazamientos y deformaciones, lo cual produce una magnificación considerable de las solicitaciones iniciales. Es en este sentido que se conocen los efectos de 2do orden o efectos P-Delta. En esta era moderna del siglo XXI, se debe diseñar una estructura alta para resistir la carga lateral como la fuerza del terremoto dentro de los límites permisibles establecidos por las normas. Para estructuras altas es necesario considerar la no linealidad, que generalmente se observa en geometría y materiales. El efecto P-delta es un efecto secundario sobre la estructura y también se conoce como "efecto de no linealidad geométrica". Como se observó, los efectos P-Delta en estructuras pueden ser muy significativos en el análisis y diseño de elementos estructurales, por eso en todas las normativas de concreto se contemplan y se tratan.
Tipos de Efectos de Segundo Orden: P-Δ y P-δ
Los efectos de 2do orden mencionados hasta ahora, han sido aquellos generados por la excentricidad de la carga P debido al desplazamiento de la estructura Δ. Sin embargo, la curvatura de los elementos de la estructura (δ), también generará una excentricidad con respecto a donde quiere pasar la carga y por donde realmente transcurrirá. Este efecto se le conoce como efecto Carga-Deformación o también denominado como P-δ, siendo δ las deformaciones locales de cada elemento estructural. Por lo cual, los efectos de segundo orden, serán la suma de la interacción de las cargas compresivas con los desplazamientos y deformaciones de la estructura, es decir los efectos P-Δ y P-δ. En general, aquellos sistemas estructurales donde el desplazamiento lateral es permitido, los efectos P-Δ tenderán a prevalecer sobre los efectos P-δ, mientras que en aquellos sistemas estructurales donde el desplazamiento lateral es restringido o controlado, los efectos P-δ gobernarán sobre los efectos P-Δ.
Consideración en Normativas y Criterios de Estabilidad
El apartado 12.9.1.6 de la norma ASCE 7-16 [1] aclara cuándo se deben tener en cuenta los efectos P-Delta al calcular un análisis de espectro de respuesta modal para el cálculo sísmico. En la parte 4.1.8.3.8.c de la norma NBC 2015 [2], solo se da un breve requisito de que se deben considerar los efectos de verticalidad debidos a la interacción de las cargas de gravedad con la estructura deformada. Cuando estamos en presencia de amenaza sísmica, los códigos de diseño ponen especial atención en los efectos de 2do orden, indistintamente del material de construcción.
El Factor de Estabilidad (θx o Q)
El valor del factor de estabilidad se debe calcular en las direcciones horizontales y ortogonales para determinar si P-Delta es problemático. Este índice expresa la relación entre los momentos de 2do orden y la rigidez lateral del sistema. Los desplazamientos Δ son aquellos generados por las fuerzas laterales F, lo que deja en evidencia que el parámetro fundamental en la evaluación y control de los efectos de 2do orden es la rigidez lateral del sistema. Este coeficiente de estabilidad está dado por el cálculo de la carga axial de diseño en el respectivo nivel, la altura de piso y la rigidez del mismo. Donde β es la relación entre la demanda de cortante de diseño entre la capacidad que siempre debe ser menor a 1, sin embargo, se puede tomar el valor 1 de forma conservadora. El valor Cd es el factor de amplificación de deflexiones.
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Criterios para su Consideración
- Según ASCE 7-22 sección 12.9.1.6, no es necesario considerar los efectos P-Delta en los cortantes y momentos de los elementos estructurales cuando el coeficiente de estabilidad θ es menor que 0.10. Cuando θx es menor que 0,10, se pueden ignorar los efectos P-Delta.
- Para 0,10 ≤ θx ≤ 0,40, los esfuerzos y momentos sísmicos inducidos se pueden multiplicar por un factor de amplificación de (1+θx) para considerar P-Delta.
- Cuando θx es mayor que 0,40, la estructura se debe rediseñar, ya que se considera insegura durante los terremotos extremos.
- En un análisis sísmico no es necesario realizar un análisis de segundo orden, solo se realice cuando el índice de estabilidad es mayor al 0.1.
Metodologías de Análisis para Efectos P-Delta
Existen diversas metodologías de estimación de los efectos de segundo orden, aunque la mayoría parten y terminan en un proceso de evaluación paso a paso de la reducción de la rigidez del sistema estructural debido a las cargas compresivas. Un control efectivo se realiza mediante el aumento de rigidez del sistema estructural, lo cual incide directamente en la reducción de los desplazamientos y por ende su interacción con las cargas compresivas.
Análisis Iterativo No Lineal
Cada interacción entre las cargas y los desplazamientos generará desplazamientos adicionales, y como consecuencia, una nueva interacción entre la carga y los nuevos desplazamientos, por lo que el proceso de resolución se convierte en un proceso iterativo entre la carga y las deformaciones generadas para cada paso (step) analizado. Dicho proceso iterativo tiende a detenerse cuando la estructura consigue un punto de equilibrio entre las deformaciones totales y las cargas. Por tratarse de un problema de no-linealidad, la metodología general de resolución es mediante un análisis paso a paso, donde los valores iniciales son los desplazamientos y deformaciones obtenidos por el análisis elástico de primer orden, con los cuales posteriormente se realiza el producto de las cargas compresivas con dichos desplazamientos, y así obtener las deformaciones iniciales del próximo paso de análisis. Este proceso se realiza hasta obtener una convergencia entre los valores de desplazamientos iniciales y desplazamientos finales en un mismo paso de análisis. El problema "iterativo" se resuelve en una sola iteración, planteando el sumatorio de los términos de una progresión geométrica en la cual la razón es la relación entre el momento debido a la excentricidad de la carga vertical y el momento debido a la acción horizontal. Si tienes una sola planta, el método es exacto.
La Matriz de Rigidez Geométrica
Cuando se ejecuta un análisis dinámico, los cálculos iterativos no lineales típicos para los efectos de segundo orden ya no se pueden aplicar si se considera un análisis estático. En estos casos, el problema se debe linealizar, lo que se lleva a cabo activando la matriz de rigidez geométrica durante el análisis. El concepto detrás de la matriz de rigidez geométrica es el efecto de refuerzo de la tensión. Los esfuerzos axiles de tracción conducirán a una mayor rigidez a flexión de una barra, mientras que los esfuerzos axiles de compresión conducirán a una rigidez a flexión reducida. Esto se puede transmitir fácilmente con el ejemplo de un cable o una varilla delgada. Cuando la barra experimenta un esfuerzo de tracción, la rigidez a flexión es considerablemente mayor que cuando la barra se somete a un esfuerzo de compresión. La matriz de rigidez geométrica Kg se puede derivar de las condiciones de equilibrio estático. Se puede obtener una determinación más precisa de la matriz de rigidez geométrica para las barras de flexión utilizando la aproximación del desplazamiento cúbico o la solución analítica de la ecuación diferencial de la línea de flexión. La incidencia de las fuerzas compresivas en la rigidez de la estructura puede ser considerada por medio de la ecuación diferencial de un elemento barra elástica. Aplicando teoría de elasticidad, se pueden determinar funciones de forma que dependen del nivel de carga compresiva para ser luego ser aplicados en la matriz de rigidez del sistema estructural, y así considerar su reducción ante los efectos de segundo orden. Procedimientos como este, requieren de cálculos bastante rigurosos y complejos, incluso para sistemas estructurales convencionales.
Método Simplificado: Factores de Magnificación de Carga
Otra alternativa para la estimación de los efectos de segundo orden es mediante el método simplificado usando factores de magnificación de carga, el cual es práctico desde el punto de vista manual, siendo este el más referenciado por los códigos de diseño estructural. Esta metodología consiste en usar factores que magnifican las solicitaciones que se asocian a los efectos P-Δ y P-δ, respectivamente, es decir, aquellos diagramas de momento que son producto de los desplazamientos laterales y aquellos que solo generan deformación en los elementos estructurales. Donde, B1 es el factor de magnificación para solicitaciones que no se asocian a traslación lateral, mientras que los factores de magnificación δs y B2 multiplican las solicitaciones asociadas a los efectos traslacionales. Para 0,10 ≤ θx ≤ 0,40, los esfuerzos y momentos sísmicos inducidos se pueden multiplicar por un factor de amplificación de (1+θx) para considerar P-Delta. Si una o ambas direcciones requieren que se consideren los efectos de segundo orden dentro de los intervalos dados, el factor 1,0/(1-θ#) de ASCE 7-16 [1] o (1 + θx ) de NBC 2015 [3] se puede considerar fácilmente en RF-/DYNAM Pro - Equivalent Loads. Todos los esfuerzos y/o deformaciones resultantes se multiplican por el valor establecido. Aunque los efectos secundarios se pueden estimar de la manera anterior, esta es una aproximación más conservadora.
Implementación en Software de Análisis Estructural
El cálculo de los efectos P-Delta es un aspecto crucial en el diseño estructural, y los programas de análisis como ETABS y CYPECAD ofrecen diversas opciones para su consideración.
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Consideraciones en ETABS
En el caso de no seleccionar ninguna opción para el cálculo P-Delta en ETABS, el programa no calcula automáticamente los efectos de segundo orden por el método de magnificación de momentos (con los coeficientes k, Cm, etc...). El programa siempre toma el coeficiente Delta_s = 1 partiendo de la premisa de que el usuario va a hacer un análisis P-Delta. Sin embargo, el programa permite editar este valor y el resto de los coeficientes (cm, K, etc.). El factor cm y el coeficiente Delta_ns los calcula el programa, mientras que el factor de longitud efectiva K siempre lo asume igual a 1. Para editar estos coeficientes se debe ejecutar el diseño, luego hacer clic derecho sobre una columna y seleccionar "overwrites".
Es importante destacar que, cuando ETABS calcula los esfuerzos por efecto P-Delta, no amplifica los momentos por efecto de la esbeltez, a menos que el usuario configure un análisis P-Delta y luego ingrese los coeficientes Delta_s con overwrite, lo cual sería un error. Lo que sí podría estar considerando dos veces el programa son los efectos de segundo orden locales debidos a la deflexión de los miembros (que se toman en cuenta con el coeficiente Delta_ns). Es recomendable dejar que el programa calcule este factor para tomar en cuenta estos efectos de segundo orden locales y hacer el análisis P-Delta para considerar los efectos de segundo orden producto de la desplazabilidad de la estructura. Esto se debe a que para poder capturar los efectos de segundo orden locales con un análisis P-Delta hay que discretizar las columnas de la estructura.
Para la asignación de P-Delta, se debe asignar Iterative-Based on Loads en el menú P-Delta options. Las cargas que se seleccionan deben ser una combinación de carga a nivel de resistencia última que se crea representativa o que pueda ser conservadora en la mayoría de los casos. Por ejemplo 1.2DL+1.6LL, ó 1.2DL+1LL. El análisis P-Delta se hace con el mismo nivel de fuerzas sísmicas con el que se calculan las solicitaciones de diseño, es decir, con aquellas afectadas por el factor de reducción de respuesta "R". En consecuencia, se debe ingresar el espectro de diseño ya reducido por el factor R.
Consideraciones en CYPECAD
En CYPECAD, el factor de amplificación que el programa solicita no se refiere a la amplificación directa de los esfuerzos, sino a un factor de amplificación de las deformaciones calculadas por el programa. Esto se debe a que los desplazamientos se calculan con inercias brutas, y realmente existe una cierta fisuración de las secciones. El coeficiente, sin embargo, debería ser de reducción de las rigideces. Por ejemplo, en Brasil es habitual considerar un coeficiente reductor del módulo de elasticidad longitudinal de 0.90 y suponer un coeficiente reductor de la inercia fisurada respecto de la bruta de 0.70. Surge la pregunta de por qué el valor por omisión en Cypecad es no considerar los efectos de segundo orden, si la inmensa mayoría de las obras de hormigón, y parte de las de pilares metálicos con forjados, es decir, para aquellas para las que está pensado Cypecad, son traslacionales, y toda estructura traslacional tiene efectos de segundo orden (relevantes o no, pero los tiene).
Comparación de Métodos y Recomendaciones
Comparando las diferentes aproximaciones, algunos expertos se inclinan por el método P-Delta, ya que el otro, basado en formulaciones como la de Jackson y Moreland adoptada por muchas normas internacionales en forma de ábacos, no es siempre aplicable y resulta difícil asimilar la estructura a pórticos planos, despreciar las rigideces a torsión de los elementos transversales al pórtico, y estimar las rigideces en el propio plano cuando hay cambios de sección, huecos, etc. El Eurocódigo 3 revisión del 2005 trae un interesante método para incorporar imperfecciones locales y globales por medio de un escalado de la primera forma modal positiva de la estructura. Se construye un modelo basado en esas imperfecciones, se le aplica las cargas de la hipótesis y se resuelve el problema en segundo orden (aunque, se teme que no es conveniente aplicar el apaño del P-delta) como resultado se obtienen tensiones que, sin considerar para nada el pandeo ni los coeficientes beta, coincide con una muy buena aproximación (95%-99%) con los resultados de primer orden con la consideración de los betas y el pandeo.
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