Todas las personas hemos estudiado en la escuela la sencilla fórmula para calcular el área de un triángulo, que no es otra que la mitad de la base por la altura del triángulo: Área = (base x altura) / 2.
A pesar de la sencillez de esta fórmula, podemos plantear algunas objeciones a la misma. Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, la primera objeción es que la información que solemos tener de este polígono es la longitud de sus lados, es decir, a, b y c, luego no es posible calcular el área directamente con esa información.
Además, dada la mencionada fórmula (base por altura dividido por dos) disponemos de tres opciones distintas para la base -obviamente, cada uno de los tres lados a, b o c- y, por lo tanto, también para la correspondiente altura. Por ejemplo, si en el anterior triángulo ABC tomamos como base el lado b, tendremos la altura h.
Pero no disponemos, a priori, de la información del valor de la altura h, por lo tanto, debemos de calcularlo (en la educación primaria normalmente nos daban el valor de la altura o era un triángulo rectángulo de manera que la base y la altura eran los catetos del mismo).
Deducción de la Altura en Función de los Lados del Triángulo
¿Cómo calcular la altura h, a partir de los valores de los lados a, b y c?
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Este es el típico problema de aplicación del teorema de Pitágoras en educación secundaria (aunque para valores concretos de los lados). Veamos cómo se solucionaría de forma genérica.
Llamamos u a una parte de la base determinada por la intersección de esta con la altura, de forma que la otra será b - u. Entonces, se aplicaría el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos determinados por la altura (h, u, c) y (h, b - u, a), obteniéndose las expresiones:
- h2 + u2 = c2
- h2 + (b - u)2 = a2
Restando ambas expresiones se tiene que a2 - c2 = b2 - 2bu y despejando u podemos obtener su valor en función de los lados a, b y c:
- u = (b2 + c2 - a2) / 2b
Una vez obtenido el valor de u podemos calcular h2 con la primera de las fórmulas anteriores, h2 = c2 - u2, obteniéndose la siguiente expresión (con un pequeño cálculo intermedio, que obviamos para no abusar de las fórmulas):
- h = (1 / 2b) * √((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))
De esta forma hemos obtenido una expresión general para la altura h, si la base es b, en función de los lados a, b y c, haciendo uso del teorema de Pitágoras.
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La Fórmula de Herón
Ahora, si llamamos s al semi-perímetro, es decir, s = (a + b + c) / 2, e introducimos el valor de h en la fórmula del área del triángulo, base b por altura h dividido por 2, se obtiene la expresión:
- Área = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y A será el área del mismo. De esta forma, hemos obtenido una expresión para el área del triángulo en función, directamente, de los lados del mismo, a, b y c.
Esta es la conocida como fórmula de Herón para el área del triángulo. Hay que asegurarse de que los datos a, b y c que se proveen cumplan con la desigualdad triangular, de lo contrario no se trataría de un triángulo y en ese caso daría resultados positivos o cero pero erróneos. La expresión se reduce a al sustituir 2s = (a + b + c) y simplificando en cada factor teniendo presente que a+b+c = 2s.
Así, si consideramos un triángulo de lados 13, 14 y 15, tendríamos que el semi-perímetro sería s = 21 y el área, por la fórmula de Herón, sería la raíz cuadrada del producto de 21, 8, 7 y 6, luego de 7.056, que es 84.
Origen Histórico de la Fórmula de Herón
La anterior fórmula del área del triángulo debe su nombre al matemático e ingeniero griego Herón de Alejandría (aprox. 10 - 70 a.n.e.), que la incluyó en su libro Metrica (alrededor de 60 a.n.e., aunque este manuscrito estuvo perdido hasta 1896). El hallazgo de la fórmula se ha atribuido a Herón de Alejandría, y se puede encontrar una prueba en su libro, Métrica, escrito en el año 60 d. C.
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Esta fórmula podría ser conocida ya por el matemático e ingeniero griego Arquímedes de Siracusa (aprox. 287 - 212 a.n.e.), según aparece recogido en las obras del científico persa Al-Biruni (973 - después de 1.050). Cabe destacar que fue conseguida por matemáticos chinos, independientemente de los griegos.
La prueba original de Herón hace uso de los cuadriláteros cíclicos, mientras que otros argumentos apelan a la trigonometría, como el anterior, o para el incentro y un excentro del triángulo.
Demostración de la Fórmula de Herón sin Palabras (usando el Incentro)
Existen diferentes demostraciones de la fórmula de Herón, además de la mostrada en esta entrada haciendo uso del teorema de Pitágoras. Vamos a mostrar la demostración que el matemático Roger B. Nelsen publicó en la revista College Mathematics Journal, en 2001, utilizando los argumentos de las demostraciones sin palabras.
Dado un triángulo ABC, las rectas que bisecan los ángulos en los vértices A, B y C (llamadas bisectrices) se intersecan en un punto P, que no es otro que el incentro I del triángulo ABC (el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC).
Efectivamente, si trazamos desde el punto P los tres segmentos perpendiculares a los lados a, b y c se generan tres pares de triángulos semejantes (dos triángulos semejantes en cada vértice del triángulo ABC), de manera que esos tres segmentos tienen la misma longitud r, el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. Por lo tanto, efectivamente P es el incentro I del triángulo.
Además, llamando x, y y z como en la anterior imagen, tenemos que los lados son a = y + z, b = x + z y c = x + y, que el semi-perímetro es s = x + y + z y que entonces x = s - a, y = s - b y z = s - c.
Para demostrar la fórmula de Herón vamos a demostrar primero (sin palabras) dos pequeños resultados técnicos previos (lo que en matemáticas llamamos “lemas”).
Lema 1: Área del Triángulo en Función del Semiperímetro y el Radio Inscrito
El Lema 1 establece que el área del triángulo ABC es igual al producto del semiperímetro s y el radio r de la circunferencia inscrita en el mismo (de centro I).
La demostración de este resultado consiste en una reordenación de los tres pares de triángulos semejantes.
Lema 2: Relación Trigonométrica para Ángulos Complementarios
El siguiente lema es un resultado un poco técnico sobre trigonometría que describe una relación entre tres ángulos alpha α, beta β y gamma γ cuya suma sea un ángulo recto, es decir, 90 grados.
Por lo tanto, luego podremos aplicar este lema a los tres ángulos alpha α, beta β y gamma γ, que son la mitad de los ángulos en los vértices A, B y C del triángulo ABC, como hemos mostrado en una imagen anterior, y que suman, por tanto, 90 grados.
El Lema 2 establece que si alpha α, beta β y gamma γ son tres ángulos positivos cuya suma es 90 grados, entonces se cumple una identidad trigonométrica específica.
Para demostrar (sin palabras) este segundo lema técnico se construye un rectángulo, jugando un poco con la trigonometría, y se iguala el valor de la longitud de los dos lados paralelos, de la izquierda y la derecha, del rectángulo.
Por este motivo, si el triángulo de la definición del seno y el coseno, lo redimensionamos dividiendo sus lados por b, de forma que ese cateto tendrá una longitud de 1, queda un triángulo que es uno de los que aparecen en el rectángulo de la prueba visual del lema 2.
Aplicación de los Lemas para Deducir la Fórmula de Herón
Si ahora se aplica el lema 2 al diagrama anterior en el que se descomponía el triángulo ABC en tres pares de pequeños triángulos rectángulos de ángulos alpha α, beta β y gamma γ, entonces se tiene una relación fundamental.
Ahora, teniendo en cuenta el lema 1, se tiene que demuestra la fórmula de Herón.