En una entrada previa, reflexionamos sobre la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es el número π (pi). Para todos los círculos, si divides la longitud de la circunferencia entre la longitud del diámetro obtienes el valor de π. Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Estos teoremas de la geometría, que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles.
Historia y métodos de deducción
Desde tiempos remotos se ha estudiado el círculo, una figura geométrica básica. En el siglo III antes de nuestra era, es reconocido el interés del matemático griego Arquímedes por el círculo. Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a.C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo. Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π r² se debe a Arquímedes, quien utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido, un antecedente del cálculo integral.
Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Arquímedes razonó que si el área del círculo no coincide con la del triángulo, se llega a una contradicción al inscribir polígonos de n lados hasta que el área del polígono sea menor que el exceso calculado.
Elementos y cálculos fundamentales
Para comprender estas relaciones, es indispensable la observación. La circunferencia es la línea que está alrededor del círculo, mientras que el diámetro es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro. El círculo es una figura geométrica redonda y plana.
Tabla de relación entre circunferencia y diámetro
Para verificar que la relación es constante, se pueden realizar mediciones prácticas utilizando hilo o cuerda en objetos circulares:
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| Objeto | Medida de la circunferencia | Medida del diámetro | Cociente (π) |
|---|---|---|---|
| Aro chico | C1 | D1 | C1/D1 ≈ 3.1416 |
| Reloj | C2 | D2 | C2/D2 ≈ 3.1416 |
Aplicación de la fórmula del área
Para encontrar el área de los círculos, se utiliza la fórmula A = π r². El área es medida en unidades cuadradas. Es vital recordar que para encontrar el área de un círculo usando esta fórmula, debes tener el radio; si solo tienes el diámetro, puedes dividirlo entre 2. A continuación, se presentan ejemplos de aplicación comunes:
- Radio dado: Si un círculo tiene un radio de 5 cm, el área es 25π cm².
- Círculo con radio de 18 m: El área, expresada en términos de π, es 324π m².
- Círculo con diámetro de 210 km: El radio es 105 km, por lo que el área es 11025π km².
- Semicírculo: Un semicírculo tiene la mitad del área de un círculo completo.
En el estudio de las formas geométricas es indispensable la imaginación. Como se señaló, estas son solo palabras, lo que importa son las conexiones que implican.
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