En este estudio, nos adentraremos en una clase particularmente importante de ecuaciones de segundo orden. Debido a sus múltiples aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, las ecuaciones diferenciales de segundo orden han sido históricamente la clase de ecuaciones diferenciales más estudiadas, y la investigación sobre su teoría continúa hasta nuestros días.
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen varias características importantes que pueden ayudarnos a determinar qué método de solución utilizar. Este estudio está dedicado a las ecuaciones de segundo orden que se pueden escribir en la forma:
$$ P_0 (x) y''+P_1 (x) y'+P_2 (x) y=F (x). $$
Se dice que tales ecuaciones son lineales. Observe que y y sus derivadas aparecen en una forma relativamente sencilla. Se multiplican por funciones de x, pero no se elevan a ninguna potencia por sí mismas, ni se multiplican juntas. Lo mismo ocurre con las ecuaciones de segundo orden.
En las ecuaciones diferenciales lineales, y y sus derivadas solo pueden elevarse a la primera potencia y no pueden multiplicarse entre sí. Los términos que implican y2 o (y')2 hacen que la ecuación no sea lineal. Observe también que las ecuaciones no siempre se dan en forma estándar.
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Además, no todas las ecuaciones diferenciales son homogéneas. Observe que todos los términos de esta ecuación diferencial implican a y o a una de sus derivadas. Si los valores de F(x)≡0, en otras palabras, si F(x)=0 para cada valor de x, se dice que la ecuación es una ecuación lineal homogénea. En el caso contrario, cuando F(x)≠0, se denominan ecuaciones lineales no homogéneas.
La Solución General y la Independencia Lineal
Cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales, normalmente, la meta es hallar una solución. En otras palabras, queremos encontrar una función (o funciones) que satisfaga la ecuación diferencial. La técnica que utilizamos para hallar estas soluciones varía según la forma de la ecuación diferencial con la que estamos trabajando.
Aunque simplemente hallar cualquier solución a una ecuación diferencial es importante, los matemáticos e ingenieros a menudo quieren ir más allá de hallar una solución a una ecuación diferencial para hallar todas las soluciones de una ecuación diferencial. En otras palabras, queremos hallar una solución general. Al igual que con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general (o familia de soluciones) da el conjunto completo de soluciones de una ecuación diferencial.
Una diferencia importante entre las ecuaciones de primer orden y las de segundo orden es que, con las ecuaciones de segundo orden, normalmente necesitamos hallar dos soluciones diferentes de la ecuación para hallar la solución general. Si hallamos dos soluciones, entonces cualquier combinación lineal de estas soluciones es también una solución. Desafortunadamente, para hallar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden, no basta con hallar dos soluciones cualesquiera y luego combinarlas. Resulta que para hallar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden, debemos hallar dos soluciones linealmente independientes.
Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), ..., fn(x) se dice que es linealmente dependiente si hay constantes c1, c2, ..., cn, sin que sean todos cero, de modo que c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x)=0 para todo x en el intervalo de interés.
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Para simplificar esta definición en el contexto de dos funciones, f1(x) y f2(x) se dice que son linealmente dependientes si una de ellas es idéntica a cero o si f1(x)=Cf2(x) para alguna constante C y para todo x en el intervalo de interés.
Si somos capaces de hallar dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden, entonces podemos combinarlas para hallar la solución general. Cuando decimos que una familia de funciones es la solución general de una ecuación diferencial, queremos decir que (1) toda expresión de esa forma es una solución y (2) toda solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma, lo que hace que este teorema sea extremadamente potente. Si podemos hallar dos soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial, habremos hallado todas las soluciones de la ecuación diferencial.
Método de Reducción de Orden
Una técnica poderosa es el método de reducción de orden, cuyo propósito es hacer un cambio de variable o una sustitución adecuada que permita que la ecuación de segundo orden pase a ser una ecuación de primer orden. De esta manera, es posible aplicar alguno de los métodos vistos anteriormente para resolver la ecuación.
Hay cierto tipo de ecuaciones de segundo orden que pueden reducirse a una ecuación de primer orden y ser resueltas por los métodos que ya conocemos. Este método se aplica en ecuaciones tanto lineales como no lineales, pero deben satisfacer algunas condiciones.
Un primer tipo de ecuación son las ecuaciones lineales en las que la variable dependiente y no aparece explícitamente. Es posible aplicar un método similar en ecuaciones de segundo orden que pueden ser tanto lineales como no lineales. En este caso, a diferencia del anterior, la variable dependiente y puede aparecer en la ecuación, sin embargo, es necesario que la variable independiente x sea la que no aparezca explícitamente.
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También es posible reducir una ecuación diferencial de segundo orden a una de primer orden si previamente conocemos una solución de la ecuación. Comenzaremos con el conocimiento previo de una solución no trivial y1(x) de la ecuación homogénea definida en un intervalo δ. Lo que buscamos es una segunda solución y2(x), tal que y1 y y2 formen un conjunto fundamental de soluciones en δ, es decir, que sean soluciones linealmente independientes entre sí.
En resumen, se ha desarrollado un método de reducción de orden basado en un cambio de variable para ecuaciones lineales y no lineales de segundo orden que satisfacen algunas condiciones, y se ha explorado el método de reducción de orden para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en el caso en el que previamente conocemos una solución no trivial.
Resolución de Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
Una clase de ecuaciones particularmente importante y resoluble son las ecuaciones homogéneas de la forma especial ay″+by′+cy=0, donde a, b y c son constantes (a≠0).
Como todos los coeficientes son constantes, las soluciones probablemente serán funciones con derivadas que son múltiplos constantes de sí mismas. Si los valores de y(x)=eλx, entonces y'(x)=λeλx y y''(x)=λ2eλx.
Al sustituir estas derivadas en la ecuación, se obtiene la ecuación característica aλ2+bλ+c=0, la cual es muy importante para hallar soluciones a las ecuaciones diferenciales de esta forma. Esto da lugar a tres casos, dependiendo de la naturaleza de las raíces de la ecuación característica:
- Raíces reales distintas
- Una única raíz real repetida
- Raíces complejas conjugadas
Raíces Reales Distintas
Cuando la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas, λ1 y λ2, la solución general de la ecuación diferencial es y(x) = c1eλ1x + c2eλ2x. Por ejemplo, la ecuación diferencial y″+9y′+14y=0 tiene la ecuación característica asociada λ2+9λ+14=0. Esto se factoriza en (λ+2)(λ+7)=0, que tiene raíces λ1=−2 y λ2=−7.
Raíz Real Repetida
Las cosas son un poco más complicadas si la ecuación característica tiene una raíz real repetida, λ. En este caso, sabemos que eλx es una solución, pero es solo una solución y necesitamos dos soluciones linealmente independientes para determinar la solución general. Por lo tanto, vamos a intentar xeλx como la segunda solución. Por ejemplo, la ecuación diferencial y″+12y′+36y=0 tiene la ecuación característica asociada λ2+12λ+36=0. Esto se factoriza en (λ+6)2=0, que tiene una raíz repetida λ=−6.
Raíces Complejas Conjugadas
El tercer caso que debemos considerar es cuando b2−4ac<0. En este caso, cuando aplicamos la fórmula cuadrática, estamos sacando la raíz cuadrada de un número negativo. Debemos utilizar el número imaginario i=−1 para hallar las raíces, que tienen la forma λ1=α+βi y λ2=α−βi. El número complejo α+βi se llama el conjugado de α−βi. Así que, si es posible, nos gustaría hallar dos soluciones de valor real linealmente independientes para la ecuación diferencial. La solución general toma la forma y(x) = eαx(c1 cos(βx) + c2 sin(βx)). Por ejemplo, la ecuación diferencial y″−2y′+5y=0 tiene la ecuación característica asociada λ2−2λ+5=0. Por la fórmula cuadrática, las raíces de la ecuación característica son 1±2i.
Resumen de Soluciones para Ecuaciones Homogéneas con Coeficientes Constantes
Podemos resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales y homogéneas, con coeficientes constantes, hallando las raíces de la ecuación característica asociada. La forma de la solución general varía, dependiendo de si la ecuación característica tiene raíces reales distintas; una única raíz real repetida; o raíces complejas conjugadas.
| Tipo de Raíces de la Ecuación Característica | Forma de la Solución General |
|---|---|
| Raíces reales distintas: λ1, λ2 | y(x) = c1eλ1x + c2eλ2x |
| Raíz real repetida: λ | y(x) = c1eλx + c2xeλx |
| Raíces complejas conjugadas: α ± βi | y(x) = eαx(c1 cos(βx) + c2 sin(βx)) |
Problemas de Valor Inicial (PVI)
Hasta ahora, hemos encontrado soluciones generales a ecuaciones diferenciales. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales se utilizan a menudo para describir sistemas físicos, y la persona que estudia ese sistema físico suele saber algo sobre el estado de ese sistema en uno o varios momentos.
Con estas dos condiciones iniciales y la solución general de la ecuación diferencial, podemos hallar la solución específica de la ecuación diferencial que satisface ambas condiciones iniciales. Este proceso se conoce como resolución de un problema de valor inicial.
Es útil saber que, en el contexto de las ecuaciones de segundo orden de coeficiente constante, se garantiza que los problemas de valor inicial tienen una solución única, siempre que se proporcionen dos condiciones iniciales.