De manera general, una sucesión es un conjunto de números o figuras que se encuentran de forma ordenada. La manera en la que ordenamos los números y contamos de dos en dos, son algunos de los ejemplos de sucesiones matemáticas. Ten presente que una sucesión es una correspondencia en la que a cada número natural se le asigna un número. Muchas veces el número de términos de una sucesión es infinito, y los puntos suspensivos indican que la sucesión continúa.
El término general de una sucesión es una fórmula que nos permite obtener cualquier término de la misma a partir de su posición en la secuencia, representada comúnmente por \(a_n\). Es un criterio que permite determinar cualquier término de la sucesión. Las sucesiones matemáticas pueden expresarse en un término o forma general para el caso en el que sus elementos queden determinados por la regla de formación. Cada elemento de esta sucesión puede obtenerse al sustituir el valor \(n\) por el número de posición del término que se desea hallar.
El término general de una sucesión sirve, principalmente, para calcular cualquier término sin tener que conocer los anteriores. Debido a lo práctico que resulta expresar en forma general una secuencia ordenada de números, las sucesiones matemáticas han sido aplicadas en muchas disciplinas además de la matemática.
Métodos para Deducir el Término General
Para deducir el término general de una sucesión, lo que tienes que hacer es ver qué operación aplicas al número que representa a la posición (\(n\)) para obtener el término de la sucesión. Puedes utilizar cualquier operación, pero es fundamental identificar el patrón subyacente.
1. Sucesiones Aritméticas
Una sucesión es una progresión aritmética si la diferencia entre términos consecutivos es constante. Esta diferencia se conoce como razón aritmética o diferencia común (\(d\)).
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- Para calcular el término general de la sucesión dada 3, 8, 13, 18, 23, …, primero observamos la diferencia entre términos consecutivos. Si sumamos 5 a cada término de la sucesión mostrada se tiene como resultado el valor del término siguiente. Aquí, \(a_1\) es el primer término y \(d\) es la diferencia común.
- En la secuencia -3, -1, 1, 3, 5, 7, … comenzamos analizando las diferencias entre términos consecutivos, donde \(a_1\) es el primer término y \(d\) es la diferencia común. En este caso, la diferencia es 2.
- En la sucesión: 9, 7, 5, 3…, la sucesión va disminuyendo de 2 en 2, entonces al último término le restas 2 y da 1. Ésta es una sucesión decreciente, porque los valores numéricos son más pequeños a medida que aumenta la cantidad de términos, y tienen una relación numérica entre ellos.
- Un ejemplo de aplicación es el sueldo mensual de una persona que en el primer año es de 950€, en el segundo año es de 1000€ y en el tercero, 1050€. Se trata de una progresión aritmética con diferencia \(d = 50\).
- Otro ejemplo es 3, 5, 7, 9, 11, donde la diferencia es 2. O también podría ser 12, 9, 6, 3, con una diferencia de -3.
2. Sucesiones Geométricas
Una sucesión es una progresión geométrica si la razón entre un término y su predecesor es constante. Esta constante se denomina razón geométrica (\(r\)).
- La sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … muestra que cada término es el doble del anterior (\(r=2\)).
- La sucesión 5, 15, 45, 135, … evidencia que cada término se multiplica por 3 respecto al anterior (\(r=3\)).
- Una sucesión geométrica de razón \(r = 0.5\) es decreciente, puesto que \(r < 1\). Por ejemplo, 20, 10, 5,...
3. Sucesiones Cuadráticas y Potencias
Cuando la diferencia entre términos consecutivos no es constante, pero la diferencia de esas diferencias sí lo es, estamos ante una sucesión cuadrática.
- Puedes comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos. Por ejemplo, la sucesión dada es 1, 4, 9, 16,... donde cada término es el cuadrado de su posición (\(n^2\)).
- También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos. Por ejemplo, si hallamos el término general como \(n^2\) y le sumamos 1, obtenemos una secuencia como 2, 5, 10, 17, 26, ... (que corresponde a \(n^2+1\)).
- Para encontrar el primer término de la sucesión \(n^2+1\), sustituimos \(n=1\), lo que da \(1^2+1 = 2\). Para el segundo término, \(2^2+1 = 5\). Para el tercer término, \(3^2+1 = 10\). Para el cuarto, \(4^2+1 = 17\). Para el quinto, \(5^2+1 = 26\).
- Otro ejemplo es \(3n^2-1\): para \(n=1\), \(3 \cdot 1^2 - 1 = 2\). Para \(n=2\), \(3 \cdot 2^2 - 1 = 11\).
- La sucesión 0, 3, 8, 15,... presenta diferencias de 3, 5, 7,..., lo que es una sucesión aritmética de diferencia 2. Esto sugiere una relación cuadrática.
- La sucesión 5, 10, 17, 26, 37,... tiene diferencias de 5, 7, 9, 11,..., que aumentan en 2, indicando un comportamiento cuadrático.
- La sucesión 3, 6, 11, 18,... tiene diferencias de 3, 5, 7,..., que son impares consecutivos, lo que sugiere una relación cuadrática.
- La sucesión 1, 2, 4, 7, 11,... tiene diferencias que aumentan en 1, lo que sugiere una relación cuadrática.
- La sucesión 1, 8, 27, 64,... es un ejemplo de potencias cúbicas (\(n^3\)).
4. Sucesiones con Signos Alternos
Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo, se puede incluir un factor que alterne entre positivo y negativo.
- Si los términos impares son negativos y los pares positivos, multiplicamos por \((-1)^{n+1}\) o similar.
- Si los términos impares son positivos y los pares negativos, multiplicamos por \((-1)^{n-1}\) o \((-1)^{n+2}\) o similar.
- La sucesión 1, -1, 1, -1, … alterna entre 1 y -1, lo cual se puede expresar con \((-1)^{n+1}\) si empieza en 1 o \((-1)^n\) si empieza en -1.
- La sucesión -2, 4, -8, 16, … combina un cambio de signo alternado con una duplicación en valor absoluto. Notamos que los valores absolutos aumentan y el signo alterna.
5. Sucesiones Fraccionarias
Si los términos de la sucesión son fraccionarios (y no son una progresión simple), se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
- Los numeradores de una sucesión pueden ser 1, 3, 5, 7, ..., que corresponden a los números impares (\(2n-1\)).
- Los numeradores de otra sucesión pueden ser 0, 1, 2, 3, ..., que pueden expresarse como \(n-1\) (para \(n \geq 1\)).
6. Otros Patrones Comunes
- La sucesión de Fibonacci lleva su nombre en honor al matemático italiano Leonardo Fibonacci y se caracteriza por el hecho de que cada número resulta de sumar los dos números anteriores a este.
- La sucesión 1, 3, 6, 10,... presenta diferencias consecutivas no constantes pero con un patrón reconocible. Las diferencias aumentan en 1 cada vez, lo que sugiere una relación con los números triangulares.
- La sucesión 2, 6, 12, 20,... presenta el producto de números enteros consecutivos (\(n(n+1)\)).
- Es importante recordar que, para algunas sucesiones, no se puede encontrar una fórmula del término general de manera sencilla.
Verificación del Término General
Una vez que se ha deducido un posible término general, es recomendable probar si el término general hallado es correcto. Esto se hace calculando con él los primeros términos de la sucesión y viendo si coinciden con los dados por el problema. Esto ayuda a confirmar que la fórmula obtenida es la correcta para la secuencia dada.
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