Cuando trabajamos con geometría en el plano, es común encontrarse con objetos como la circunferencia. La ecuación de una circunferencia se define por su centro \((a,b)\) y su radio \(r\). Si ya tienes esto claro, seguro sabrás cómo representar una circunferencia en el plano; y, de manera inversa, si tienes una circunferencia representada en el plano, puedes determinar su centro y radio para definir la ecuación de la circunferencia. Pero ahora, además de poder hacer todo esto, añadirás más objetos; como, por ejemplo, una recta. Y no una recta cualquiera, sino la recta tangente a la circunferencia. Aquí encontrarás toda la información necesaria para calcular la ecuación de esta recta.
Introducción a la Circunferencia y la Recta Tangente
En general, una recta tangente es una recta que corta a cualquier otro objeto geométrico en un solo punto. Por tanto, una recta tangente a una circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en un único punto de esta, llamado punto de tangencia. En la geometría del plano euclídeo, una línea recta tangente a una circunferencia es aquella que toca la circunferencia exactamente en un punto, sin entrar nunca en su interior.
Por ejemplo, \(x=3\) es una recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=9\), porque toca al círculo una vez en el punto \((3, 0)\).
Una recta tangente se diferencia de una secante, porque una secante es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos; es decir, cruza la circunferencia, no solamente lo toca. Para representar una tangente a una circunferencia, simplemente debes hacer una recta que toque a la circunferencia en un punto, pero que no la cruce. Esto es contrario a la recta secante, que corta la circunferencia en dos puntos. A modo de comparación, las rectas secantes se cruzan con una circunferencia en dos puntos, mientras que otras rectas pueden no cruzarla.
Propiedad Fundamental de la Recta Tangente a una Circunferencia
Para encontrar la ecuación de la tangente de una circunferencia, es necesario entender cómo se relaciona la tangente con el radio de la circunferencia. En concreto, la principal característica de la recta tangente es que siempre es perpendicular al segmento del radio que va del centro al punto en el que la tangente corta la circunferencia. Gracias a esta característica, podemos hallar fácilmente la ecuación de la recta tangente a una circunferencia.
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Uno de los teoremas de la circunferencia es que la tangente de una circunferencia corta perpendicularmente con el radio de la circunferencia. El radio de una circunferencia es perpendicular a la recta tangente a través de su punto final en la circunferencia. Por el contrario, la perpendicular a un radio a través del mismo punto final es una recta tangente. Esta propiedad se conserva bajo muchas transformaciones geométricas, como el escalado, la rotación, las traslaciones, las inversiones y las proyecciones cartográficas. La figura geométrica resultante de la circunferencia y la recta tangente presenta simetría especular respecto a un eje coincidente con el radio.
Pasos para Deducir la Ecuación de la Recta Tangente
Para hallar la recta tangente de una circunferencia, hay que seguir los siguientes pasos:
1. Hallar la pendiente del radio
El primer paso para hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto concreto es encontrar la pendiente del radio de la circunferencia. Se necesita el radio entre el centro de la circunferencia y el punto de la circunferencia sobre el que se apoyará la recta tangente porque será perpendicular a la tangente. Esto se debe a que este radio de la circunferencia actuará como una línea normal a la tangente.
Para hallar la pendiente del radio de la circunferencia, en primer lugar, necesitamos conocer las coordenadas del centro \(C(c_1,c_2)\) y del punto de la circunferencia sobre el que se apoyará la recta tangente \(P(t_1,t_2)\). Entonces, para calcular la pendiente \(m_r\) del radio que va del centro a este punto \(P\), resolvemos:
\[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}\]
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Ejemplo de cálculo de la pendiente del radio:
Una circunferencia con ecuación \(x^2+y^2=9\) toca una tangente en \(P(3, 0)\). ¿Cuál es la pendiente del radio de la circunferencia que va del centro a este punto?
Solución:
Como en la ecuación de la circunferencia no hay términos en \(x\) o \(y\), podemos determinar que el centro de la circunferencia es el origen \(O(0,0)\).
Queremos encontrar la pendiente de la recta que pasa por el radio que va del centro al punto \(P(3,0)\). Por tanto, introduciendo las coordenadas del centro de la circunferencia y del punto en la fórmula de la pendiente, llegamos a:
\[m_r=\dfrac{0-0}{3-0}=\dfrac{0}{3}=0\]
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En consecuencia, la pendiente del radio de la circunferencia es \(m_r=0\).
2. Hallar la pendiente de la recta tangente
Para encontrar la pendiente de la tangente, hay que hacer el recíproco negativo de la pendiente del radio de la circunferencia. Si la pendiente del radio es \(m_r\), entonces la pendiente de la tangente \(m_t\) es:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}\]
Ejemplo de cálculo de la pendiente de la tangente:
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a una circunferencia, cuando la pendiente del radio de la misma circunferencia tiene un valor de \(m_r=\dfrac{1}{4}\)?
Solución:
Aplicamos la fórmula del recíproco negativo de la pendiente:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=-4\]
Por tanto, la pendiente de la tangente de la circunferencia es de \(m_t=-4\).
3. Hallar la ecuación de la tangente
Una vez que tenemos el punto de tangencia \(P(t_1, t_2)\) y la pendiente de la tangente \(m_t\), lo más sencillo es utilizar la ecuación punto-pendiente de la recta tangente:
\[y-t_2=m_t(x-t_1)\]
Ejemplo de cálculo de la ecuación de la tangente:
Una recta tangente toca a la circunferencia \(A\) en \(P(5, 6)\). ¿Cuál es la ecuación de una tangente a la circunferencia \(A\), cuando la pendiente del radio es \(m_r=-\dfrac{1}{5}\)?
Solución:
Para hallar la pendiente de la tangente, se hace el recíproco negativo; así que:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=5\]
Como ya tenemos la pendiente de la recta tangente, podemos usar la forma punto-pendiente para expresar la ecuación de esta recta, ya que sabemos que el punto por el que pasa es el \(P(5,6)\):
\[y-6=5(x-5)\]
Luego, podemos realizar operaciones y despejar \(y\) para llegar a la ecuación explícita de la recta:
\[y=5x-25+6\]
\[y=5x-19\]
Esta es la ecuación de la recta tangente.
Ejercicio Resuelto: Ecuación de la Recta Tangente
La circunferencia \(B\) tiene la ecuación \(x^2+y^2=25\). Calcula la ecuación de la recta tangente a esta circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\).
Solución:
Paso 1: Confirmar que el punto pertenezca a la circunferencia
Como no hay términos con las variables \(x\) o \(y\), determinamos que el centro de la circunferencia es \(O(0,0)\). Por la fórmula de la circunferencia, sabemos también que su radio es \(r=5\). Además, comprobamos que el punto que nos dicen que es tangente pertenece a la circunferencia:
\[(4)^2+(-3)^2=16+9=25\]
La igualdad se cumple, por lo que el punto pertenece a la circunferencia.
Paso 2: Hallar la pendiente del radio de la circunferencia
Para hacerlo, sustituimos las coordenadas del centro \(O(0,0)\) y del punto \(P(4, -3)\) en la fórmula de la pendiente:
\[m_r=\dfrac{t_2-c_2}{t_1-c_1}=\dfrac{-3-0}{4-0}=-\dfrac{3}{4}\]
Por tanto, la pendiente del radio de la circunferencia que pasa por el punto \(P(4, -3)\) es de \(m_r=-\dfrac{3}{4}\).
Paso 3: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia
Para hallarla, hacemos el recíproco inverso de la pendiente del radio de la circunferencia:
\[m_t=-\dfrac{1}{m_r}=-\dfrac{1}{-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}\]
Paso 4: Encontrar la ecuación de la tangente del círculo
Utilizamos la forma punto-pendiente con el punto \(P(4, -3)\) y la pendiente \(m_t=\dfrac{4}{3}\):
\[y-t_2=m_t(x-t_1)\]
\[y-(-3)=\dfrac{4}{3}(x-4)\]
\[y+3=\dfrac{4}{3}(x-4)\]
Simplificando, llegamos a:
\[3(y+3)=4(x-4)\]