Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan. Una sucesión es un conjunto de números ordenados a través de la regla que los origina. Generalmente se denotan de la siguiente forma. Una sucesión se suele expresar entre llaves, o entre paréntesis.
Elementos Fundamentales de una Sucesión
Una sucesión tiene los siguiente elementos:
- Los números se llaman términos de la sucesión.
- El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
- El término general es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Métodos para Determinar los Términos de una Sucesión
Existen varias maneras de hallar cuales son los términos de una sucesión. Los términos que constituyen una sucesión pueden calcularse a través de una regla o patrón que puede describirse por medio de una expresión algebraica o regla general. Dos de los más importantes son a través del término general de la sucesión y a través de una recurrencia entre los términos de la sucesión.
Determinación por el Término General
El método del término general consiste en hallar un fórmula en función del valor que indica la posición del término, al reemplazar una posición especifica obtendremos el valor exacto de dicho término.
Como primer ejemplo tenemos la siguiente sucesión con término general. Consideremos la siguiente sucesión de números naturales, el término general de esta sucesión esta dado por la siguiente formula, , es decir, para obtener cualquier valor de la sucesión solo debemos reemplazar el valor de la posición que deseamos y listo. El valor en el posición esta dado por . Podemos notar que esta sucesión es la sucesión de números naturales impares.
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Cabe notar que no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos. Hallar un término general para los números primos constituye uno de los problemas más difíciles en matemáticas aún sin resolver.
Determinación por una Ley de Recurrencia
El método de recurrencia consiste en obtener el valor de un término de la sucesión a través de operar con los anteriores términos. Para esclarecer esta idea veamos el siguiente ejemplo:
Escribir una sucesión cuyo primer término es , sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior. De esta descripción podemos obtener la siguiente formula .
Un ejemplo notable de una sucesión por recurrencia es la Sucesión de Fibonacci, la cual esta dada por Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores. Es decir, .
Procedimiento para Encontrar la Regla General de una Sucesión Numérica
Para encontrar la regla general de una sucesión, se identifica la diferencia entre un término y su consecutivo. Se relaciona con el número de término, es decir, con el número de posición.
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Por ejemplo, si una sucesión numérica aumenta de tres en tres, para escribir la regla general de esa sucesión, se anota el número 3, porque ya sabes que aumenta de tres en tres. De tal manera, que la regla que genera la sucesión numérica es (3n).
Para descomponer una expresión algebraica es muy importante saber leerlas y entender su significado. El significado de 3n es tres veces el valor de “n”.
Identificación y Verificación de Expresiones Equivalentes
Con los ejemplos de sucesiones, aprendiste que se pueden identificar diferentes reglas que generan la misma sucesión numérica y a verificar su equivalencia con otras expresiones. Una de las formas para comprobar la equivalencia de expresiones algebraicas consiste en resolver las operaciones algebraicas indicadas; otra es construir la sucesión numérica que representan.
Para comprobar que las expresiones algebraicas que se escribieron son equivalentes, lo que debes hacer es sustituir el valor de “n” por la posición del término deseado. Como recordarás, “n” representa el valor del término que se está buscando, en este caso, representa el primer término de la sucesión.
Ejemplo de Equivalencia de Expresiones
Consideremos la regla general 6n + 4. Sustituyendo “n” por los números del uno al cinco, obtenemos:
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- Para el primer término (n=1): 6(1) + 4 = 10
- Para el segundo término (n=2): 6(2) + 4 = 16
- Para el tercer término (n=3): 6(3) + 4 = 22
- Para el cuarto término (n=4): 6(4) + 4 = 28
- Para el quinto término (n=5): 6(5) + 4 = 34
Eso quiere decir que la sucesión que genera la regla 6n + 4, está formada por los términos 10, 16, 22, 28 y 34. Ahora ya sabes cuáles son los primeros términos de la sucesión.
Comprobemos la equivalencia con la expresión 2 (3n + 2). Para ello, sustituye “n” en esta expresión por los números del uno al cinco:
- Para el primer término (n=1): 2(3(1) + 2) = 2(5) = 10
- Para el segundo término (n=2): 2(3(2) + 2) = 2(8) = 16
- Para el tercer término (n=3): 2(3(3) + 2) = 2(11) = 22
- Para el cuarto término (n=4): 2(3(4) + 2) = 2(14) = 28
- Para el quinto término (n=5): 2(3(5) + 2) = 2(17) = 34
Esto quiere decir que la sucesión que genera la regla “2 (3n + 2)”, está formada por los términos 10, 16, 22, 28 y 34. Como puedes observar, los términos de esta sucesión son idénticos a la sucesión anterior.
Finalmente, comprobemos con la expresión (2n + 2n + 2n + 4). Al calcular los primeros 5 términos de la sucesión que genera esta regla:
- Para el primer término (n=1): 2(1) + 2(1) + 2(1) + 4 = 2+2+2+4 = 10
- Para el segundo término (n=2): 2(2) + 2(2) + 2(2) + 4 = 4+4+4+4 = 16
- Para el tercer término (n=3): 2(3) + 2(3) + 2(3) + 4 = 6+6+6+4 = 22
- Para el cuarto término (n=4): 2(4) + 2(4) + 2(4) + 4 = 8+8+8+4 = 28
- Para el quinto término (n=5): 2(5) + 2(5) + 2(5) + 4 = 10+10+10+4 = 34
Los términos de esta sucesión son idénticos a los términos de las dos sucesiones anteriores. Con estos ejemplos aprendiste que se pueden identificar diferentes reglas que generan la misma sucesión numérica y a verificar su equivalencia con otras expresiones.