En geometría euclidiana, la recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de infinitos segmentos. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares.
En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. La ordenada al origen indica en qué valor y cruza la gráfica de la fórmula con el eje y.
La Pendiente de una Recta (m)
En la fórmula lineal de la forma y=a·x+b, donde a y b son números, a se llama pendiente. La pendiente indica la dirección de la recta. La pendiente se puede calcular en una gráfica dividiendo el cambio vertical Δy por el cambio horizontal Δx: a = Δy / Δx. Si Δx = 1, luego Δy = a. En otras palabras, si nos movemos 1 a la derecha en la gráfica, aumentamos en a.
Imagina que la fórmula lineal se mueve a través de los puntos (1, 3) y (3,7). Entonces la pendiente será igual al cambio vertical dividido por el cambio horizontal. En el eje horizontal, el valor x cambia de 1 a 3, mientras que en el eje vertical el valor y cambia de 3 a 7. Esto da: (Δy / Δx) = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2. En general, si una fórmula lineal se mueve a través de los puntos A con coordenadas (xA, yA) y B con coordenadas (xB,yB), entonces la pendiente es igual a: (Δy / Δx) = (yB-yA)/(xB-xA).
La pendiente de la línea de la fórmula y=a·x+b, donde a y b son números, es igual a a. La pendiente de la línea dada por la fórmula y=2/35 es: 0.
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La Ordenada al Origen (b)
La ordenada al origen (intersección con el eje "y"). En la fórmula lineal de la forma y=a·x+b con números a y b, el número b es la ordenada al origen. La ordenada al origen indica en qué valor y cruza la gráfica de la fórmula con el eje y. Por lo tanto, el punto (0, b) se encuentra en la gráfica de la fórmula.
Dado que la ordenada al origen indica para qué valor y cruza la fórmula con el eje y, la ordenada al origen es igual al valor de la fórmula en x=0. Por lo tanto, en una tabla podemos leer en x=0 cuál es la ordenada al origen.
Ejemplo de Determinación de la Ordenada al Origen a partir de una tabla
La siguiente tabla pertenece a una fórmula lineal. x: -2, -1, 0, 1, 2. y: -6, -8, -10, -12, -14. La ordenada al origen se puede encontrar observando el valor de x=0. En este caso, tenemos y=-10. Esto significa que la ordenada al origen de esta fórmula es igual a -10.
Deducción de la Ecuación de la Recta en su Forma Pendiente-Ordenada al Origen
Dentro de nuestro estudio de Geometría Analítica, una vez que entendemos que la ecuación de la recta la podemos encontrar mediante un punto y pendiente, o cuando pasa por dos puntos. También tenemos el caso de la ecuación de la recta con los datos de la pendiente y la ordenada al origen (intersección con el eje "y"), se da por la siguiente ecuación:
Es muy fácil obtener dicha ecuación, si consideramos que existe una recta L , cuya pendiente es "m" y pasa a través del punto B (0, b). Asumiendo que la ecuación de la recta, teniendo un punto y pendiente es de la siguiente forma: y-y1=m(x-x1). Si tenemos solamente un punto que es el punto B, cuyas coordenadas son (0,b); entonces podemos decir que: x1=0 y y1=b.
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De aquí sustituimos en la fórmula anterior y decimos que: y-b=m(x-0). Multiplicando en el segundo miembro: y-b=mx. Despejando a "y", tenemos y=mx+b. Qué es prácticamente, la forma reducida o simplificada de la recta. Ahora veamos algunos ejemplos para poner en práctica la ecuación de la recta pendiente - ordenada al origen.
Ejemplos de Aplicación: Ecuación de la Recta con Pendiente y Ordenada al Origen
Ejemplo 1: Hallar la Ecuación de la Recta
Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente (-2/7) y su intersección con el eje y es 3.
Solución: Los datos que tenemos del problema, es tanto la pendiente: m= -2/7 y la ordenada al origen es b = 3. Al sustituir nuestros datos, obtenemos: y=mx+b. De aquí: y=-(2/7)x+3.
Multiplicando toda la ecuación por 7, para hacer más cómoda las operaciones. Obtenemos: 7(y)=7(-(2/7)x+3). Tenemos que: 7y=-2x+21. Igualando la ecuación a cero, obtenemos: Resultado: 2x+7y-21=0. Qué gráficamente, la podemos observar de la siguiente forma:
Ejemplo 2: Encontrar la Ecuación de la Recta
Encuentra la ecuación de la recta, cuya intersección con el eje Y es 5 y su pendiente -3.
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Solución: Para este caso, hacemos los pasos similares al ejemplo anterior. Buscamos nuestros datos, que suelen ser muy claro. Nuestra pendiente es m = -3, y nuestra ordenada al origen es b = 5. Pasamos estos datos a nuestra fórmula, y tenemos: y=mx+b. Entonces: y=-3x+5. Igualando a cero: y+3x-5=0. Ordenando, obtenemos. Nuestro resultado: Resultado: 3x+y-5=0. Qué gráficamente, lo podemos observar como:
Ejemplo 3: Determinar la Ecuación de la Recta
Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 2 y su intersección con el eje y es (-5/2).
Solución: Retomando los datos dados por el problema, sabemos que m = 2 y que b = -5/2. Sustituyendo estos valores en nuestra fórmula. Tenemos entonces que: y=mx+b. Dónde: y=2x+(-5/2). Eliminando el paréntesis: y=2x-5/2.
Multiplicando toda la ecuación por 2: 2(y)=2(2x-5/2). Quedando así: 2y=4x-5. Igualando la ecuación a cero. Resultado: 4x-2y-5=0. Qué gráficamente, esto es.
La Ecuación General de la Recta
Es la expresión Ax + By + C = 0. En esta forma, -A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen cuando B sea diferente a cero. Dentro de nuestro estudio de Geometría Analítica, una vez que entendemos que la ecuación de la recta la podemos encontrar mediante un punto y pendiente, o cuando pasa por dos puntos. Las rectas serán paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.