La capacidad de deducir fórmulas simbólicas es fundamental en diversas ramas del conocimiento, desde las matemáticas y la lógica hasta la física. Una fórmula se entiende comúnmente como una expresión que permite calcular o describir una relación. Cuando la gente piensa en una fórmula, piensa en una expresión que tiene sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y otras operaciones reconocibles. Lo que queremos remarcar es que una fórmula útil debe tener una expresión similar a la de los polinomios: algo formado por sumas, restas, multiplicaciones y potencias. No queremos una fórmula que se pueda describir con palabras, sino una representación compacta y operativa.
La Deducción en Sistemas Lógicos Formales
En el ámbito de la lógica, la deducción de una fórmula simbólica se enmarca dentro de sistemas formales bien definidos. Comenzamos por fijar un idioma \( \mathcal{L} \). También supongamos que se nos ha dado un conjunto fijo de \( \mathcal{L} \)-fórmulas \( \Lambda \), llamado el conjunto de axiomas lógicos, y un conjunto de pares ordenados \( \left( \Gamma, \phi \right) \), llamados las reglas de inferencia. Supongamos que \( \Sigma \) es una colección de \( \mathcal{L} \)-fórmulas y \( D \) es una secuencia finita \( \left( \phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n \right) \) de \( \mathcal{L} \)-fórmulas.
En una deducción se nos permite anotar cualquier \( \mathcal{L} \) fórmula que nos guste, siempre y cuando esa fórmula sea un axioma lógico o esté listada explícitamente en una colección \( \Sigma \) de axiomas no lógicos. Es posible que existan muchos sistemas deductivos diferentes, dependiendo de las elecciones para las que se tomen \( \Lambda \) y las reglas de inferencia. Como regla general, un sistema deductivo o bien tendrá muchas reglas de inferencia y pocos axiomas lógicos, o no demasiadas reglas y muchos axiomas.
Lo que se busca en este contexto es tener una definición de deducción que sea enteramente sintáctica, que no dependa de los significados de los símbolos. Esta definición nos da deducciones que son fácilmente verificables: ante una supuesta deducción de \( \Sigma \), siempre y cuando podamos decidir en qué fórmulas se encuentran \( \Sigma \), podemos decidir si la supuesta deducción es correcta. De hecho, podríamos programar fácilmente una computadora para verificar la deducción por nosotros. Este enfoque define una deducción en términos de sus partes, de "abajo hacia arriba".
Por ejemplo, si \( \sigma \in \Sigma \), hay una deducción de \( \Sigma \) de \( \sigma \), por ejemplo esta deducción unifilar: \( \sigma \). Para producir una deducción de \( \Sigma \) de \( \theta \), todo lo que tenemos que hacer es anotar deducciones de cada uno de los \( \gamma \)'s en \( \Gamma \), seguido de la fórmula \( \theta \). Se trata de una deducción válida, como \( \theta \) se desprende de \( \Gamma \) de la regla de inferencia \( \left( \Gamma, \theta \right) \).
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La Búsqueda de Fórmulas Generadoras de Números Primos
En matemáticas, la búsqueda de fórmulas para patrones específicos ha sido una constante. Los números primos son escurridizos; fáciles de definir y difíciles de encontrar. Entender cómo se distribuyen, qué patrones siguen o cómo distinguirlos del resto de números son problemas que han traído de cabeza a los matemáticos durante milenios. Dicen que encontrar una fórmula eficiente capaz de generar todos los números primos sería el mayor éxito de la teoría de números, pues resolveríamos de un plumazo todas las incógnitas que los envuelven. Un número primo es aquel que solo se puede dividir por uno o por sí mismo.
Al buscar una "fórmula generaprimos", es fundamental matizar sus detalles. El primero es básico, pero importante: no solo nos interesa que la fórmula genere todos los primos, sino que genere solo números primos. Durante siglos, los matemáticos han encontrado fórmulas parecidas a la de Euler. Por desgracia, la fórmula de Euler no tiene mucho más que ofrecer; al probar con \(n=40\) devuelve un número compuesto, no solo genera números primos, y no produce todos los números primos, solo algunos y siempre mayores de 41. Todas estas fórmulas tienen los mismos problemas: no generan todos los números primos, y no generan solo números primos. Y como todos los intentos por encontrar la fórmula eran infructuosos, los matemáticos se convencieron de que la expresión generaprimos que buscaban no existía, que era un sueño inalcanzable.
Sin embargo, existen varias fórmulas polinómicas que generan todos los números primos, y solo los números primos. En particular, la propuesta por Jones et al. Este polinomio de grado 25 produce todos los números primos que existen. Según vas dándole valores a todas las variables, irás obteniendo todos los números primos que existen, sin dejarse ninguno. ¿De dónde sale esta fórmula? En la década de los sesenta se demostró un teorema que reza que cualquier conjunto definido de forma recursivamente enumerable, como los números primos, se puede describir de forma polinomial. En cristiano: el teorema demuestra que existe una fórmula polinomial capaz de generar todos los números primos. Esto devolvió la ilusión al mundo de los números primos. La fórmula existía, y no solo se encontró una, ¡había muchas!
Con las herramientas adecuadas se puede deducir un amplio abanico de polinomios, de distintos grados y distinto número de variables, que produzcan únicamente números primos, sin dejarse ninguno fuera. No obstante, hay un detalle que "chirría" al describir estos polinomios: decir que solo generan números primos no es del todo cierto. Al sustituir las 26 variables, si el resultado es negativo, hay que descartarlo y no aporta información. La pregunta es: ¿cómo de frecuentes son los resultados negativos? Por ejemplo, en el caso de la estructura simplificada de un polinomio generaprimos, la única manera de hacer que un factor sea positivo es conseguir que todos los \( \alpha_i \) se hagan cero. Si se quiere asegurar un resultado positivo, hay que resolver un sistema de catorce ecuaciones diofánticas no lineales con 26 incógnitas que solo toman valores enteros.
Por eso, aunque estas fórmulas son un éxito de la teoría de números, no tienen utilidad práctica. Es como una ruleta, no permite saber de antemano si el resultado va a ser positivo (y primo) o negativo (e inútil). ¡Y hay muchas más posibilidades de que salga negativo! Entonces, ¿existen las fórmulas que generan primos? ¡Sí, hay muchas! ¿Existen fórmulas que generan primos y tienen forma de polinomio? ¡Sí, muchas también! ¿Entonces por qué los números primos siguen siendo un tema de investigación matemática tan interesante y activo? Hoy en día no conocemos ningún método eficiente para calcular números primos, al menos, que se haya hecho público. Todas las fórmulas requieren muchos cálculos y muchos recursos para obtener un resultado satisfactorio. ¿Existe una fórmula eficiente que genere todos los números primos, y solo los números primos? ¡No lo sabemos! No se ha demostrado que sea imposible, pero nadie ha encontrado la respuesta. Por tanto, podemos seguir confiando en los números primos para mantener la seguridad de las comunicaciones por Internet.
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Comparativa de Fórmulas para Números Primos
| Tipo de Fórmula | Genera todos los primos | Genera solo primos | Eficiencia Práctica |
|---|---|---|---|
| Criba de Eratóstenes | Sí | Sí | Baja para números muy grandes |
| Polinomios de Jones et al. | Sí (con descarte de negativos) | No (produce negativos y primos) | Nula (complejidad de resolución) |
| Fórmulas de Euler | No | No (produce compuestos) | Nula |
Deduciendo Fórmulas en Contextos Específicos: El Ejemplo Físico
La deducción de fórmulas también se aplica en la física para describir fenómenos naturales. En un ejercicio resuelto, una fórmula aparece como premisa que a menudo causa dudas. Por ejemplo, en el cálculo de la ruptura de un hilo que sostiene un peso girando en un plano vertical. La solución establece que el hilo tendrá que romperse cuando el cuerpo esté en su posición más baja, pues en ese momento tira de la cuerda la totalidad del peso del cuerpo; en cualquier otro lugar de su trayectoria es una componente de \( Mg \) la que tira de la cuerda, siempre menor que \( Mg \). Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es:
\( \displaystyle\sum\vec{F}=M\vec{a}_n \)
\( T-Mg=Ma_n \)
La pregunta clave que surge es: ¿Cómo se obtiene \( a_n=4\pi^{2}v^{2}r \)? El error común es ver \( v \) como velocidad lineal, pero en este contexto, \( v \) representa la frecuencia del giro. Si \( f \) es la frecuencia (número de vueltas por segundo), la velocidad angular \( \omega \) es \( 2\pi f \). La velocidad lineal \( v_{lineal} \) de un objeto en movimiento circular de radio \( r \) es \( v_{lineal} = \omega r \). Sustituyendo \( \omega \): \( v_{lineal} = (2\pi f) r \). La aceleración centrípeta (\( a_n \)) se define como \( a_n = \frac{v_{lineal}^2}{r} \). Al sustituir la expresión de \( v_{lineal} \):
\( a_n = \frac{((2\pi f) r)^2}{r} = \frac{4\pi^2 f^2 r^2}{r} = 4\pi^2 f^2 r \)
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Así, si la variable \( v \) en la fórmula dada se interpreta como frecuencia (\( f \)), entonces \( a_n=4\pi^{2}v^{2}r \) es la aceleración centrípeta. Esta deducción se basa en la aplicación de principios conocidos de la cinemática circular. Con esta comprensión, se puede continuar con el cálculo final:
\( v=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\displaystyle\frac{T-Mg}{Mr}}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\sqrt{\displaystyle\frac{9.8-0.05\times{9.8}}{0.05\times{0.5}}}=3.1 \) Hz
Mi fallo ha sido ver \( v \) como velocidad. Ya no me inducirá a error.