Un flujo compresible es aquel en el cuál existen variaciones de densidad significativas (mayores a 3%) producidas por cambios de temperatura, presión o grandes velocidades. Usualmente se consideran compresibles los flujos con números de Mach superiores a 0.3. El comportamiento de flujo compresible al interior de conductos es la base de una gran cantidad de situaciones de ingeniería, tal es el caso de la descarga de gases a alta presión en motores, ó el movimiento de las ondas de presión en túneles.
El estudio de estos y muchos dispositivos se aborda a partir de problemas típicos de dinámica de gases, como el problema de Riemann o el tubo DeHaller [1-3], que aunque son casos simplificados permiten contribuir con el entendimiento de la fenomenología, porque contienen aspectos claves y típicos de los problemas de flujo compresible.
En este artículo se presenta el desarrollo de un modelo de flujo compresible unidimensional y homoentrópico, para el cual se empleó la técnica de los volúmenes finitos. Dicho modelo es aplicable al problema de Riemann y al tubo DeHaller pero su planteamiento es general para el flujo en tuberías. Se muestran para los dos casos la validez de los resultados mediante comparación con el método de las características ó la solución analítica. De esta forma se contribuye con el entendimiento de la fenomenología de flujos compresibles y se dan pautas para continuar ahondando en esta importante rama.
Conceptos Fundamentales del Flujo Compresible
Cuando un cuerpo se mueve en un fluido en reposo, desplaza partículas del fluido que a la vez comunican su desplazamiento a las partículas adyacentes. Estos movimientos o perturbaciones relativos al fluido, viajan a una velocidad diferente a la del cuerpo y se propagan dependiendo de las propiedades elásticas de dicho fluido.
Cuando la perturbación viaja y su efecto sobre el fluido es un aumento en la densidad, la perturbación se conoce como onda de compresión; mientras que sí la densidad se reduce se denomina onda de expansión.
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Las ondas pueden ser clasificadas de acuerdo con la intensidad de los gradientes de presión generados por el movimiento de estas, como:
- Ondas acústicas: corresponden a gradientes de presión muy pequeños, por lo que su amplitud puede considerarse infinitesimal y los procesos isentrópicos [14].
- Ondas finitas: las perturbaciones no son débiles ni la velocidad de la partícula despreciable, caso más general.
- Ondas de choque: producen un salto brusco, no isentrópico, en las propiedades físicas a ambos lados de la onda.
Las situaciones de flujo descritas a continuación con los problemas de Riemann y el tubo DeHaller, combinan las ondas finitas y de choque, por lo que su solución matemática requiere que se tenga en cuenta la naturaleza no lineal de las ecuaciones.
Modelado de Flujos Compresibles
En los casos particulares de flujo se involucran la generación de ondas de compresión, expansión y de choque, para a través de modelos, determinar las variaciones de las propiedades del fluido cuando se somete a cambios repentinos [4]. Dada la complejidad de los fenómenos, esos modelos comúnmente consideran el flujo unidimensional [5-6] y homoentrópico [3,7]. La primera condición aunque limita la variación de las propiedades a la dirección de flujo, ofrece simplicidad, buenas aproximaciones y facilidad de extensión a casos multidimensionales.
El flujo homoentrópico por su parte, se refiere a un flujo en el que los niveles de entropía en cualquier región son uniformes y no varían con el tiempo, lo que implica que los efectos de la transferencia de calor y la fricción son despreciables [8]. El modelo fue desarrollado bajo condiciones de flujo unidimensional y homoentrópico, por lo tanto, sin tener en cuenta las variaciones de entropía por transferencia de calor y fricción.
Problemas Típicos de la Dinámica de Gases
Problema de Riemann
Es un caso de dinámica de fluidos unidimensional muy usado para evaluar el desempeño de códigos de flujo compresible. Con él se puede verificar la habilidad de un modelo para capturar choques y discontinuidades, usando un pequeño número de zonas y produciendo el perfil de propiedades correcto.
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Consiste en un tubo de extremos cerrados y aislado térmicamente, con dos regiones separadas por un diafragma en las que inicialmente existe un mismo gas en diferentes estados (1 y 2). Cuando el diafragma se rompe repentinamente se generan características de flujo dependientes del tiempo transcurrido, y viajan ondas de expansión y de choque que finalmente alcanzan un estado de equilibrio.
En cada instante de tiempo las ondas de compresión y expansión están separadas por la llamada superficie de contacto, en la cual las densidades y temperaturas a cada lado son diferentes pero la velocidad y la presión son iguales. El espesor de la discontinuidad puede ser, para los casos donde se desprecian los efectos viscosos y la conductividad, de magnitud similar a las de la trayectoria libre de las partículas (1e-7m); en el caso más general este espesor depende de la conductividad térmica, la disfusividad y la viscosidad [15].
El problema de Riemann tiene solución exacta, de ahí su ventaja como herramienta de análisis de modelos. Liepmann y Roshko [16], Hirsch [17] y Appel [18] abordan la solución exacta del problema para su compresión teórica.
Tubo DeHaller
Consiste en un tanque conectado a un tubo, por el que se descarga un fluido de forma repentina. Inicialmente el fluido está encerrado en el sistema, y tanto el tanque como el tubo se mantienen a una presión mayor que la atmosférica pero a temperatura ambiente. Cuando la válvula ubicada en el extremo del tubo se abre súbitamente, comienza un proceso de descarga de aire mientras la presión en el tanque permanece constante.
Se supone el sistema aislado y por lo tanto no hay transferencia de calor con el exterior. También se asume que la fricción del aire con el tubo es despreciable. De este problema se conocen soluciones encontradas por Benson [8] y por Sánchez [19] con el método de las características, con el cual es posible validar las condiciones de frontera para extremos abiertos (entrada y salida de flujo en tubos). También se conocen soluciones por el método de los elementos finitos discontinuos (DFEM) como la reportada por Perotti [20], donde se obtienen buenos resultados, pero con un gran esfuerzo computacional.
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Desarrollo del Modelo Matemático
En el presente trabajo se desarrolló un modelo matemático para describir el comportamiento del flujo en el tubo DeHaller y el problema de Riemann, el cual está basado en las consideraciones de un flujo unidimensional, homoentrópico (sin fricción y transferencia de calor). El planteamiento se hace para un conducto de sección transversal circular constante, al que se le aplican las ecuaciones de conservación en la dirección de flujo (x). El volumen de control analizado consiste en una porción de fluido en forma de disco, cuya sección transversal es igual a la del tubo.
El modelo fue construido utilizando el sistema de ecuaciones de Euler (forma generalizada de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía) y una ecuación de estado de gas ideal. El modelo desarrollado se basó en el sistema de ecuaciones de Euler (ecuaciones generalizadas de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energía).
Ecuaciones de Conservación
Este sistema de ecuaciones diferenciales parciales, denominadas ecuaciones de Euler, es de tipo hiperbólico, es decir, dominado por la advección o términos asociados a la velocidad. Esta característica ocasiona que al solucionarlo se tiendan a desarrollar discontinuidades, debido a la naturaleza no lineal de las ecuaciones, y que por ello, se deban escoger las técnicas de discretización adecuadas, así como diseñar los algoritmos que lleven al mínimo tales discontinuidades no físicas.
- Conservación de la masa (Continuidad): donde es la densidad y u la velocidad del fluido. El primer término representa la acumulación de masa y el segundo (término convectivo) el flujo neto de masa a través del volumen de control.
- Conservación de la cantidad de movimiento: En esta expresión p es la presión. El primer y segundo términos representan la acumulación y flujo neto de la cantidad de movimiento, respectivamente; mientras el tercero tiene en cuenta las fuerzas de presión a las que está sometido el volumen de control.
- Conservación de la energía: donde e y h son la energía interna y la entalpía total respectivamente. El primer y segundo términos también representan la acumulación y flujo neto pero de energía en este caso.
Ecuación de Estado
El sistema de ecuaciones es complementado con la ecuación de estado, bajo la consideración de un gas ideal: R es la constante del gas y T la temperatura. El modelo fue solucionado apoyado en la ecuación de gas ideal mediante el método de los volúmenes finitos.
Método de Volúmenes Finitos para la Solución
Además de las simplificaciones, las técnicas de solución son otro aspecto importante en el estudio de flujos compresibles, que ha dado origen a numerosas investigaciones. Por ejemplo para el problema de Riemann, como lo menciona Toro [2], existen trabajos que se ocupan de la solución exacta, la cual es una alternativa que exige un gran esfuerzo matemático, pero que sirve para validar diferentes métodos.
Dichos métodos pueden ser aplicables en otras situaciones de flujo, de las que no se conoce solución analítica. Entre los métodos de solución se destacan las técnicas de elementos finitos, diferencias finitas y el método de los volúmenes finitos (MVF). Este último es una alternativa numérica que permite formular modelos de forma sencilla, dado su carácter intuitivo y la relación directa entre el algoritmo numérico y el principio de conservación física [9].
Los primeros trabajos de esta área fueron para flujos incompresibles y se hicieron finalizando el siglo XIX, cuando se estudiaron las ondas lineales y las no-lineales por parte de Scott Russell [10-11]. Luego apareció el trabajo para flujos compresibles con ecuaciones no lineales de Earnshaw [12] y, finalmente, el trabajo más completo para solucionar las ecuaciones de onda por el Método de las Características de Riemann [13], que se usó exclusivamente como técnica hasta 1960. A partir de este momento y con la aparición del computador, se comienza el uso de las técnicas de diferencias y volúmenes finitos.
El sistema de ecuaciones planteado se discretizó por el MVF, para ser solucionado en los casos particulares del problema de Riemann y el tubo DeHaller, sin embargo la metodología es extrapolable al caso general de flujo en tuberías. De acuerdo con Versteeg [9], la discretización se realiza partiendo de la expresión de las ecuaciones de conservación en forma integral, donde φ representa las propiedades del fluido. En este caso los términos difusivos y fuente no existen.
Esta ecuación general se integra sobre un volumen de control y se aplica sobre ella el teorema de la divergencia de Gauss, para convertir la integral de volumen a superficie. Finalmente se integra de nuevo en un diferencial de tiempo (Δt), para obtener una expresión donde A es la sección transversal y V el volumen. Esta ecuación se aplica en un dominio unidimensional. En una malla, se divide en volúmenes de control en cuyos centros se ubica un nodo denotado por P (nodo de interés), E (vecino derecho) y W (vecino izquierdo); con fronteras denominadas caras: w (cara izquierda) y e (cara derecha).
Discretización y Esquemas Numéricos
Sobre las ecuaciones de conservación se aplican los balances de masa, cantidad de movimiento y energía. Para ello se empleó una malla colocada, es decir, la presión y los demás escalares (densidad, temperatura, energía interna), así como los vectores de velocidad, fueron almacenados en los nodos. Este es un procedimiento muy usado en flujos compresibles, debido a la programación computacional sencilla y la conservación local de la masa sin necesidad de artificios adicionales [21]. En flujos incompresibles no existe la ecuación de estado y se requiere de mallas escalonadas (staggered) para evitar problemas de desacoplamiento entre las ecuaciones de conservación [22].
El resultado de la discretización para la ecuación de continuidad muestra que los superíndices ° denotan las condiciones en el estado t, mientras que aquellos términos sin el superíndice están relacionados con las condiciones en el estado t+Δt. De igual forma se aplica la discretización para las demás ecuaciones de conservación, teniendo en cuenta la relación entre la energía interna y la entalpía total.
En la aplicación de los Volúmenes Finitos es de vital importancia la discretización espacial, o aproximación de las propiedades en las caras, y la discretización temporal. Para la primera se empleó un esquema upwind de primer orden con el que se definió que: sí la dirección de flujo es hacia la derecha las propiedades en la cara 'w' se aproximan a las del nodo W y las de la cara 'e' al nodo P; por el contrario, sí la dirección de flujo es hacia la izquierda, las propiedades en 'w' se aproximan a... La discretización espacial se realizó con un esquema upwind de primer orden y como criterio de estabilidad se utilizó el número CFL.
Validación del Modelo
La validación de los resultados obtenidos se realizó por comparación con las conocidas soluciones del problema de Riemann y del tubo DeHaller. Se obtuvieron desviaciones inferiores al 1% para CFL menores a 0.1. Los resultados del modelo fueron validados por comparación con soluciones analíticas conocidas de los problemas de Riemann y DeHaller. Se obtuvieron desviaciones inferiores al 1% cuando los valores de CFL fueron menores a 0.1.
Valores del CFL cercanos a 1 generaron respuestas computacionales rápidas, pero inestabilidades en la solución e impropias del fenómeno físico. Números CFL más grandes (cercanos a 1) produjeron resultados computacionales rápidos pero se presentaron inestabilidades fuera del fenómeno físico.
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