La contribución más sobresaliente de los antiguos griegos a las matemáticas fue la argumentación deductiva como método de conocimiento. Entre Thales en 600 a.C y Euclides en 300 a. C. se desarrolló la noción de un discurso lógico como una sucesión de principios obtenidos por razonamiento deductivo a partir de un conjunto principios iniciales y definiciones. Los griegos desarrollaron la geometría de manera importante con la introducción de método deductivo y le dieron un carácter científico a esta disciplina. Euclides introdujo un elemento realmente novedoso en la matemática de la época, el método deductivo.
Los Elementos de Euclides: Un Modelo de Razonamiento Deductivo
El sistema axiomático euclidiano es la estructura lógica fundamental de la geometría clásica, codificada por el matemático griego Euclides en su monumental obra Los Elementos, alrededor del 300 a.C. Este sistema no es simplemente una colección de hechos geométricos, sino un modelo de razonamiento deductivo que ha influido profundamente en el pensamiento matemático y científico durante más de dos milenios. En el famoso libro “Los elementos”, de Euclides, se encuentran anotadas todas las definiciones, verdades evidentes y las verdades que se desprendían de ellas, llamadas teoremas.
La estructura de una ciencia completa debía ser por tanto un un sistema deductivo de enunciados. Esta organización, ya de carácter global, para el caso de la geometría quedó plasmada en los Elementos de Euclides. Allí hay una organización que rebasa ampliamente las organizaciones locales. Euclides formuló sistemas de enunciados que incluían estos elementos organizados de tal manera que la verdad de los teoremas se seguía de la supuesta verdad de los axiomas. La obra Elementos es una de las producciones científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el ámbito académico de entonces. Los Elementos no eran, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental, es decir la aritmética, la geometría sintética y el álgebra.
Definiciones, Postulados y Nociones Comunes
Euclides inicia su tratado estableciendo el significado de los términos más básicos. Por ejemplo, define un punto como "aquello que no tiene parte" y una línea como "longitud sin anchura". Para comprender la afirmación: “es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro”, es necesario definir qué es un punto y qué es una recta. Los extremos de una línea son puntos. Se cree que algunas de estas definiciones fueron inspiradas por objetos del mundo real.
Una vez que se tienen las definiciones, se continúa con las afirmaciones que se consideran inmediatamente verdaderas. Las verdades inmediatas o evidentes aplicables para todas las ciencias, se pueden llamar nociones comunes o axiomas; y las verdades inmediatas específicas para la geometría, se pueden llamar postulados.
Lea también: La Organización Contable en las Empresas
Nociones Comunes (o Axiomas Generales):
Las nociones comunes son afirmaciones que se consideran verdaderas en todas las ramas de las matemáticas, no solo en la geometría. Son principios lógicos fundamentales. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí. La segunda y tercera noción se refieren a la legitimidad de sumar y restar cosas iguales. Estas afirmaciones son verdaderas, por lo que se considera que no se requiere ninguna explicación.
Postulados (o Axiomas Específicos de la Geometría):
Estos son cinco enunciados que se refieren específicamente a propiedades geométricas y que se aceptan como verdaderos sin demostración. Son la base sobre la que se construyen todas las proposiciones geométricas. A los griegos, estas afirmaciones les parecían verdaderas inmediatamente, sin ninguna explicación. Les parecía evidente el hecho de que es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro; que es posible prolongar continuamente en línea recta, una recta dada; o que es posible trazar un círculo con cualquier centro y radio.
El postulado de las paralelas (o quinto postulado) es el más famoso y controvertido. Dice así: "Si una línea recta que cae sobre otras dos líneas rectas hace que los ángulos internos del mismo lado sumen menos de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarán en el lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos."
El Proceso Deductivo: De Principios a Teoremas
A partir de estas verdades, se pueden obtener afirmaciones que con seguridad corresponden con el mundo físico. Para obtener conclusiones verdaderas sobre el mundo físico sin tener que manipular objetos reales, se toman como punto de partida algunas afirmaciones que se consideran verdaderas. Una vez establecidos los cimientos, Euclides procede a derivar teoremas (proposiciones que pueden ser demostradas lógicamente) y problemas (construcciones geométricas que pueden ser realizadas) mediante un riguroso proceso deductivo. Cada proposición se demuestra utilizando únicamente las definiciones previas, los postulados, las nociones comunes y los teoremas ya demostrados.
Para asegurar que las afirmaciones sobre los modelos en papel sean correctas, se tiene que razonar de manera distinta a como se hace en mediciones directas con objetos reales. Las demostraciones conducen a resultados verdaderos con absoluta seguridad. Otros tipos de razonamiento pueden conducir a errores con mayor facilidad. En el ejemplo del triángulo, si se hizo bien la exposición, la demostración debe ser suficiente para saber de qué el triángulo que se construyó es equilátero, es decir, que tiene sus tres lados iguales. Con una demostración no se requiere de una verificación empírica, como medir con la regla.
Lea también: Finanzas de la Empresa: Análisis
Ejemplo de Construcción Deductiva: Triángulo Equilátero
Consideremos el problema de construir un triángulo equilátero contando solo con una regla sin graduar y un compás. Se pueden utilizar las definiciones y afirmaciones evidentes que se han visto hasta ahora.
- Retoma la definición del círculo: en un círculo todas las rectas que se trazan desde su centro a la circunferencia tienen igual medida. Específicamente, como se necesita una recta de igual tamaño que AB, se puede construir un círculo con centro A y radio AB. Así, todos los radios de ese círculo tendrán igual medida que AB.
- Ahora, se pueden trazar esos radios porque un postulado lo permite: es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro.
- Para trazar otra recta que complete el triángulo y que sea del mismo tamaño que AB, se puede seguir un razonamiento similar. Es decir, con base en la definición del círculo y el postulado correspondiente pero ahora con centro en B y radio BA. Con esto, todos los radios de este círculo tendrán igual medida que BA.
- Se pueden trazar esos radios porque un postulado lo permite: es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro.
- Hasta aquí se ha formado un triángulo de tal manera que AB es igual, por un lado a CA, y por otro a CB.
- Según una noción común o axioma que se ha visto anteriormente, las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí. Por lo tanto, como CA y CB son iguales a AB, entonces CA es también igual a CB; de este modo, las tres rectas CA, AB, CB son iguales entre sí. Se ha obtenido la afirmación verdadera de que el triángulo trazado es equilátero a partir de definiciones, axiomas y postulados ya enunciados anteriormente.
Figuras Clave en el Desarrollo de la Geometría Deductiva
Tales de Mileto (ca. 640 a.C. - ca. 546 a.C.)
Tales de Mileto, nacido por el año 640 a. C en la ciudad de Mileto, es considerado el primer matemático que demostró teoremas. Se cuenta que Tales midió la altura de las pirámides de Egipto teniendo en cuenta la longitud de las sombras en el momento en que estas, proyectadas por un palo vertical, eran iguales a sus alturas. Con ello estaba aplicando propiedades de los triángulos semejantes. No se sabe cómo hizo Tales las demostraciones, pero se supone que usó un método empírico ya que todos ellos pueden ser aceptados fácilmente de manera intuitiva o por observación directa.
Pitágoras (ca. 570 a.C. - ca. 495 a.C.)
El primer matemático al que se le reconoce una demostración, con el sentido que esta tiene en la actualidad, es Pitágoras o mejor la escuela pitagórica, al demostrar la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado por medio del método de reducción al absurdo. El Teorema de Pitágoras es, posiblemente, el resultado matemático más "conocido". Este teorema establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Aunque los egipcios conocían este resultado en casos particulares, fueron los pitagóricos quienes dieron una demostración formal y la cual aparece en la obra de los "Elementos de Euclides".
Euclides de Alejandría (ca. 325 a.C. - ca. 275 a.C.)
Euclides (en griego Εὐκλείδης) fue un matemático y geómetra griego. Su obra más famosa fue una compilación expositiva, sistemática y demostrada en trece libros de los conocimientos matemáticos existentes en su época denominada Elementos. Aunque vivió en Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I, su vida es poco conocida. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. En Los Elementos se deducen racionalmente las propiedades de los objetos geométricos y de los números naturales a partir de solo un pequeño conjunto de axiomas. Probablemente ninguno de los resultados de los Elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides, pero la organización del material y su exposición sin duda alguna se deben a él. Se debe a él la elección de los axiomas, el orden de los teoremas y muchas demostraciones.
Además de los Elementos, se le atribuyen otras obras como Data, Sobre las divisiones, Catóptrica, Fenómenos del cielo y Óptica. En sus Fenómenos, que es un tratado sobre la Astronomía de posición, se habla sobre la aplicación de la geometría de la esfera a la astronomía. Óptica es el tratado griego más antiguo que se conserva, consagrado a problemas que ahora llamaríamos de perspectiva, adoptando la forma expositiva de los Elementos.
Lea también: Auditoría administrativa: ¿necesaria en tu organización?
Arquímedes (ca. 287 a.C. - ca. 212 a.C.)
Arquímedes nació en Siracusa, Sicilia, de la Gran Grecia. Sus ingeniosas máquinas de guerra fueron tan efectivas que retrasaron la toma de Siracusa. Se le atribuyen inventos como la palanca, el tornillo de Arquímedes para elevar el agua, un cálculo muy preciso del número π, el método de exhaución para calcular áreas y volúmenes, la relación entre el área y el volumen de una esfera y del cilindro circunscrito. Su obra tuvo gran influencia en grandes matemáticos de los siglos XVI y XVII como Galileo Galilei y René Descartes.
El Legado y las Limitaciones del Sistema Euclidiano
La obra de “Los elementos” ha tenido muchas aplicaciones a lo largo de la historia. Muchas obras de ingeniería se han construido gracias a ella. Tan grande ha sido el impacto de este libro, que durante más de 2200 años ha sido el libro más usado para enseñar a demostrar a los estudiantes de matemáticas. Incluso en la actualidad, la enseñanza de la geometría está más o menos vinculada con el libro “Los elementos”, sólo ha cambiado el estilo y la presentación, pero no el contenido. El sistema euclidiano no solo proporcionó un marco para la geometría, sino que se convirtió en el arquetipo de la razón deductiva en Occidente. La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas.
No obstante, aunque la geometría euclidiana es muy útil, también tiene sus limitaciones. Euclides asume implícitamente propiedades como la continuidad de las líneas o la posibilidad de que dos círculos se intersequen, que no están explícitamente garantizadas por sus axiomas. Principalmente, el Postulado V de Euclides fue un gran motivador. Hasta el siglo XIX, gran parte de la historia de la geometría se centra en la demostración del postulado de las paralelas. Desde el comienzo, fue claro para quienes buscaron tal prueba, que habría que hacerlo dentro del contexto euclidiano y ello comportaba una hipótesis de profundo valor epistemológico: el espacio era euclidiano. Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las "geometrías no euclidianas".
Hasta comienzos del siglo XIX la idea de lo que constituía una demostración en geometría fue esencialmente la misma que la establecida oficialmente en los Elementos de Euclides. Pero durante el siglo XIX las cosas cambiaron drásticamente. Entonces, la metodología de la geometría fue adoptada por el álgebra y el análisis. La geometría misma sufrió cambios radicales a través de la obra Fundamentos de Geometría de D. Hilbert.
tags: #Euclides #y #la #organizacion #deductiva