La extrapolación de Richardson es una técnica matemática poderosa utilizada para mejorar la precisión de una aproximación numérica. El orden de exactitud de cualquier solución numérica puede aumentarse cuando se utiliza la extrapolación de Richardson.
Fundamentos de la técnica
Para ilustrar cómo funciona la extrapolación de Richardson, consideremos un ejemplo simple de integración numérica. La regla trapezoidal aproxima la integral dividiendo el intervalo en n subintervalos de igual anchura h y sumando las áreas de los trapecios formados por la función y los subintervalos.
Para aplicar la extrapolación de Richardson, es necesario calcular dos soluciones numéricas con diferentes tamaños de paso, por ejemplo, h1 y h2, donde h1 > h2. Deje que T(h) denote la regla trapezoidal con el tamaño de paso h. Las ponderaciones w1 y w2 se eligen de tal manera que el término de error inicial en R(h2) es cero, o al menos mucho menor que en T(h1) o T(h2).
Cálculo de pesos y orden de precisión
Para encontrar los pesos, necesita conocer el orden de precisión de la regla trapezoidal, que es 2, y la relación de los tamaños de paso, que es r = h1/h2. La solución es w1 = -1/(r^2 - 1) y w2 = r^2/(r^2 - 1). Este procedimiento permite alcanzar una integración numérica de orden arbitrario.
Tabla de comparación de métodos de integración
El desempeño de la extrapolación de Richardson puede compararse con otros métodos de uso común, como se resume en la siguiente tabla basada en el estudio de métodos de cuadrátura:
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| Método | Orden de precisión |
|---|---|
| Regla del Trapezoide | p=2 |
| Regla de Simpson | p=4 |
Aplicaciones en sistemas eléctricos
La solución numérica de problemas de estabilidad transitoria es un elemento clave para la operación de sistemas eléctricos. El modelo clásico para sistemas multi-máquina se define como un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales para la velocidad del rotor y el ángulo del generador para cada máquina eléctrica, este modelo matemático se conoce generalmente como las ecuaciones de oscilación.
Este artículo presenta la forma de utilizar la extrapolación directa de Richardson de varios órdenes para la solución numérica de las ecuaciones de oscilación y la compara con otros métodos implícitos y explícitos de uso común como los métodos Runge-Kutta, Trapezoidal, Shampine y Radau. Se presenta un estudio numérico sobre un sistema simple de tres máquinas para ilustrar el desempeño y la implementación algebraica de la extrapolación de Richardson.
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