Los sistemas de primer orden son un tema clave en la ingeniería y la tecnología de control de procesos. Tienen diversas aplicaciones para aproximar y representar procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. La respuesta de un sistema de primer orden en la ingeniería de control va a depender del tipo de entrada que le coloquemos al sistema.
Definición de Sistemas de Primer Orden
Los sistemas de primer orden por definición son aquellos que tienen un solo polo y están representados por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Quiere decir que el máximo orden de la derivada es orden 1. Esto se hace de forma muy simple, para eso basta con observar el valor del máximo exponente de la derivada cuando el sistema es representado por ecuaciones diferenciales. Todo sistema de primer orden posee un polo el cual rige la dinámica del mismo. La identificación de polos y ceros de primer orden es esencial para el diseño y análisis de sistemas de control.
Componentes de la Respuesta del Sistema
En este punto es importante destacar que la respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes fundamentales que son la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable.
- Respuesta transitoria: Se refiere al comportamiento inicial del sistema ante un cambio. En este tipo de sistemas, podemos afirmar que tienen un comportamiento instantáneo (condición inicial) al momento de aplicar alguna señal de control en la entrada del sistema. De la respuesta anterior podemos ver que cuando ingresa el escalón en t=0 ya el sistema tiene una respuesta instantánea o una condición inicial de y=0.2. El máximo pico en la respuesta al impulso para un sistema de primer orden es igual a AK.
- Respuesta en estado estable: De lo anterior podemos intuir que la respuesta permanente o respuesta estacionaria se refiere al comportamiento de la salida de nuestro proceso o sistema cuando el tiempo tiende a infinito. El estado estacionario del sistema es cuando la dinámica deja de variar y alcanza un equilibrio. Vemos que en el estado estable el sistema llega a CERO.
Parámetros Clave de los Sistemas de Primer Orden
Para comprender y analizar el comportamiento de los sistemas de primer orden, es fundamental conocer sus parámetros característicos:
- Constante de Tiempo (τ): La constante de tiempo de un sistema de primer orden, generalmente denotada por la letra griega τ (tau), se define como el tiempo requerido para que el sistema alcance el 63,2% del valor final o de estado estable. Cuanto menor es la constante de tiempo, más rápida es la respuesta del sistema.
- Ganancia Estática (K): Se denomina ganancia estática de un sistema a la la relación de ganancia entre la entrada y la salida del proceso. En este caso vemos que la ganancia estática K=2 por lo tanto el sistema entró en régimen permanente en este valor.
- Polos y Ceros: Si el es positivo, el sistema es estable, si es negativo es inestable. En este caso tenemos un sistema de primer orden que posee una raíz en el numerador ubicado en el origen del plano complejo S, es decir tiene un cero NULO. Esto quiere decir que si el parámetro del cero (T) es muy grande, el cero estará más cerca del origen en el plano complejo S y por lo la respuesta instantánea o condición inicial será mas grande.
Métodos de Solución para Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Para el análisis y solución de sistemas en régimen variable, es común encontrarse con sistemas de ecuaciones diferenciales. En esta entrada desarrollaremos un método relativamente sencillo, pero muy limitado, ya que en general se utiliza cuando sólo tenemos un sistema lineal de dos ecuaciones diferenciales.
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Este método lo desarrollaremos para un sistema lineal de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tanto homogéneas como no homogéneas. Debido a que se trata de un sistema pequeño, regresamos a nuestra notación usual de derivada y sean $x$ y $y$ las variables dependientes de la variable independiente $t$. Con $a$, $b$, $c$ y $d$ constantes. Con $p$ y $q$ constantes.
Una estrategia común para resolver estos sistemas es transformar el sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden en una única ecuación diferencial de orden superior.
En esta forma es claro que tenemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Basta resolver la ecuación usando los métodos desarrollados en la unidad anterior para obtener la función $x(t)$. Para obtener la función $x(t)$ primero resolveremos el caso homogéneo y posteriormente aplicaremos el método de coeficientes indeterminados para resolver el caso no homogéneo.
Resolviendo para $k$ se obtiene que $k_{1} = 2$ y $k_{2} = 3$. Con $A$ y $B$ constantes por determinar.
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