Resolución de Problemas Diversos con Sistemas de Ecuaciones Simultáneas

¡No te preocupes! Te preparamos este blog donde te ayudaremos a dominar uno de los temas más importantes del temario de ingreso. Como seguro ya habrás visto, este tema forma parte fundamental de los exámenes de admisión, ya que es base de los conocimientos de álgebra que necesitas para ingresar a la universidad.

Es muy importante saber que se necesitan dos ecuaciones para resolver una ecuación de dos incógnitas. Has estudiado cuatro métodos: el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de suma y resta, también llamado de eliminación. En esta página resolvemos 10 problemas mediante sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (a excepción del problema 6, que tiene un sistema con 3 ecuaciones). Los métodos que se utilizan para resolver cada uno de los sistemas son sustitución, igualación y reducción.

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Método Gráfico

Hasta ahora has resuelto el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando dos métodos diferentes; el método gráfico y el método de igualación. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. Los valores que satisfacen la relación planteada en cada igualdad se escriben en la última columna de cada una de las tablas como un par ordenado (x, y).

Grafica las coordenadas. El resultado de graficar una ecuación de primer grado es una línea recta. Es importante que, al graficar los datos registrados en la tabulación de cada una de las ecuaciones en un mismo plano cartesiano, se realice una correcta graduación en los ejes y una correcta posición en el trazado, de ello depende que se pueda identificar claramente el resultado correcto. Observa que las coordenadas del punto donde se cortan las dos líneas rectas son la solución del sistema.

En el Resolviendo Sistemas de Ecuaciones por Gráfica vimos que no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen un solo par ordenado como solución. Cuando las dos ecuaciones eran realmente la misma línea, había infinitamente muchas soluciones. A eso lo llamamos un sistema consistente. Cuando las dos ecuaciones describieron líneas paralelas, no hubo solución.

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Método de Igualación

Ahora procederás a igualar las expresiones algebraicas obtenidas de los despejes, de esta forma obtendrás una nueva ecuación lineal con una sola incógnita.

Método de Sustitución

Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas y por sustitución. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, comenzamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Aplicamos el método de sustitución, despejando la \(x\) en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera. Resolvemos el sistema por sustitución.

Método de Eliminación (o Suma y Resta)

El tercer método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de Eliminación. El Método de Eliminación se basa en la Propiedad de Adición de Igualdad. El Adición Propiedad de Igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, todavía se tiene igualdad. Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, comenzamos con ambas ecuaciones en forma estándar.

Cómo Resolver un Sistema de Ecuaciones por Eliminación:

1. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar.
2. Hacer los coeficientes de una variable opuestos.
3. Sumar las dos ecuaciones para eliminar y.
4. Resuelve para x, la variable restante.
5. Sustituir la solución del Paso 4 por una de las ecuaciones originales. Luego sustituimos ese valor en una de las ecuaciones originales para resolver por la variable restante.

Entonces decidimos qué variable será la más fácil de eliminar. ¿Cómo decidimos? Pero si multiplicamos la primera ecuación por −2, haremos los coeficientes de x opuestos. Agrega las ecuaciones tú mismo: el resultado debe ser −3 y = −6. Y eso parece fácil de resolver, ¿no? Multiplica la ecuación de arriba por el número que está junto a la x con el signo contrario. Ya nada más nos falta conocer el valor de x. ¡Listo! NOTA: Como seguramente notaste, después de sumar o restar, queda una incógnita que se multiplica por 0 que podemos eliminar.

No parece que podamos conseguir que los coeficientes de una variable sean opuestos multiplicando una de las ecuaciones por una constante, a menos que usemos fracciones. En este ejemplo, no podemos multiplicar una sola ecuación por cualquier constante para obtener coeficientes opuestos. Ambas ecuaciones están en forma estándar.

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En este ejemplo, ambas ecuaciones tienen fracciones. Ahora estamos listos para eliminar una de las variables. Simplificar y agregar. Después de que aclaramos las fracciones en la segunda ecuación, ¿notó que las dos ecuaciones eran iguales? Esta es una verdadera afirmación. Las ecuaciones son consistentes pero dependientes. Sus gráficas serían la misma línea. Esta afirmación es falsa.

Resolvemos el sisma por reducción.

Ejemplos de Aplicación de Sistemas de Ecuaciones

Algunos problemas de aplicaciones se traducen directamente en ecuaciones en forma estándar, por lo que usaremos el método de eliminación para resolverlos.

Problemas Numéricos

La suma de dos números es 39. Su diferencia es de 9.

• Paso 1. Leer el problema.
• Paso 2. Identificar lo que estamos buscando. Estamos buscando dos números.
• Paso 3. Nombrar lo que estamos buscando. Sea n = el primer número. m = el segundo número.
• Paso 4. Traducir a un sistema de ecuaciones. La suma de dos números es 39. \(n+m=39\). Su diferencia es 9. \(n-m=9\). El sistema es: \(\left\{\begin{array}{l}{n+m=39} \\ {n-m=9}\end{array}\right.\)
• Paso 5. Resolver el sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, use eliminación. Las ecuaciones están en forma estándar y los coeficientes de m son opuestos. Sumar. \(\left\{\begin{array}{l}{n+m=39} \\ \underline{n-m=9}\end{array}\right.\). \(2n=48\). Resolver para n. \(n=24\). Sustituir n=24 en una de las ecuaciones originales y resolver por m. \(n+m=39\), \(24+m=39\), \(m=15\).
• Paso 6. Comprobar la respuesta. Como 24+15=39 y 24−15=9, las respuestas comprueban.

• La suma de dos números es 42. Su diferencia es 8.
• La suma de dos números es −15. Su diferencia es −35.
• Los números son \(x\) e \(y\). Por tanto, los números cuya suma es 45 y cuya resta es 21 son 12 y 33.
• Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son? Observad que ya tenemos el valor de una incógnita: \(x = 7\). La solución del sistema es \(x = 7\) e \(y = 18\).
• El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué números son? \(y\) al otro número. Nota: recordad que es importante escribir la suma de los números entre paréntesis.
• La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro.
• Tenemos dos números cuya suma es 0 y si a uno de ellos le sumamos 123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?
• La suma de las cifras es 12. A diferencia de los anteriores, en este problema tenemos que encontrar un único número. El número que buscamos tiene 2 cifras, a las cuales llamaremos \(x\) e \(y\). Es decir, es el número \(xy\), siendo \(x\) la primera de sus cifras e \(y\) la segunda. Nota: observad que también podemos resolver este problema sin plantear un sistema de ecuaciones. Los únicos números de dos cifras cuya segunda cifra es el doble de la primera son 12, 24, 36 y 48. Y el único número de éstos cuyas cifras suman 12 es el 48.
• una de sus cifras es 0 y las otras dos cifras suman 7. Como los números son de 3 cifras (siendo una de ellas 0), serán de la forma \(xy0\), o bien, \(x0y\). Las incógnitas \(x\) e \(y\) pueden ser los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y, además, \(y\) puede ser 0. Nota: \(x\) no puede ser 0 ya que es la primera cifra en ambos casos. Por tanto, hay un total de 13 números.

Problemas de Edades

• Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años tienen Ana y Jaime? En este problema usaremos otras incógnitas distintas a \(x\) e \(y\), lo cual no afectará a la resolución. A veces, usar otros nombres para las incógnitas puede ayudarnos a identificarlas, sobre todo cuando trabajamos con muchas. y llamaremos \(j\) a la edad actual de Jaime. Dentro de 15 años, Ana tiene 60 años y Jaime tiene 30.
• Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Dentro de 15 años, la edad de Alberto será \(x+15\) y la de su padre será \(y+15\). Resolvemos el sistema por sustitución. Por tanto, Alberto tiene 10 años.

Problemas de Precios y Compras

• La literal “x” se utiliza para representar el costo de un chocolate y la literal “y” se utiliza para representar el costo de una paleta pulpa-mango. Se sabe que en la primera ecuación cuando x =5, y=4. Tomando en cuenta que la literal “x” representa el costo de un chocolate y la literal “y” el costo de una paleta pulpa-mango. Ya sabes que el costo de un chocolate es de cinco pesos y el costo de una paleta pulpa-mango es de cuatro pesos.
• Hemos comprado 3 canicas de cristal y 2 de acero por 1,45€ y, ayer, 2 de cristal y 5 de acero por 1,7€. El precio de 3 canicas de cristal es \(3\cdot c\) y el precio de 2 canicas de acero es \(2\cdot a\).
• Malik se detiene en la tienda de abarrotes para comprar una bolsa de pañales y 2 latas de fórmula. Se gasta un total de 37 dólares. A la semana siguiente se detiene y compra 2 bolsas de pañales y 5 latas de fórmula por un total de 87 dólares. ¿Cuánto cuesta una bolsa de pañales?
• En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan 23 mil dólares. Los precios de las entradas son 50 dólares las normales y 300 dólares las vip. Por tanto, se vendieron 60 entradas vip y 100 normales.
• Letizia y Marta han ido de compras en las rebajas. La primera ha comprado unos pantalones de $42 y una camisa de $24 y, la segunda, un suéter de $28 y unos zapatos de $60. Después de aplicar los descuentos, Letizia ha pagado $50,4 y Marta, $64,4. Calcular los porcentajes de descuento aplicados sabiendo que el porcentaje aplicado a los pantalones y al suéter coincidían y el aplicado a la camisa y a los zapatos también. Antes de resolver el problema vamos a ver un ejemplo de cómo trabajar con descuentos. Si a un artículo de $40 se le aplica un descuento de 10%, el precio final se corresponde con el 90% del precio inicial. Es decir, el precio final sería el 90% de $40. Resolvemos el sisma por reducción.
• Un avión dispone de 32 asientos en clase A y de 50 asientos en clase B cuya venta supone un total de 14.600€. Supongamos que el precio de un asiento en clase A es \(x\) y que el precio de uno en clase B es \(y\). El dinero que corresponde a la venta de todos los asientos en clase A es \(32\cdot x\) y el que corresponde a los en clase B es \(50\cdot y\). Por tanto, el precio de un asiento en clase A es 300€ y el de uno en clase B es 100€.

Problemas de Geometría

• Hallar la longitud de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es P = 24 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor. ¿Cuál es el área del rectángulo? Los lados mayores miden 9 unidades y los menores miden 3 unidades (cada uno de ellos).
• Con una cuerda de 34 metros se puede dibujar un rectángulo (sin que sobre cuerda) cuya diagonal mide 13 metros. donde \(h\) representa la hipotenusa (la diagonal del rectángulo), que sabemos que mide 13. están al cuadrado). Omitimos el procedimiento ya que no pertenece al tema de sistemas de ecuaciones. Nota: en realidad sólo existe una solución al problema ya que si \(b = 12\), entonces \(a = 5\) y si \(b = 5\) entonces \(a = 12\). Esto se debe a que no importa si consideramos un lado como la base o como la altura.
• Se tiene un rectángulo cuya altura mide 2cm más que su base y cuyo perímetro es igual a 24cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. Resolvemos por sustitución. La base del rectángulo mide 5cm y su altura mide 7cm.

Otros Problemas de Aplicación

• la suma de patos y vacas es 132 y la de sus patas es 402. Hay que tener en cuenta que cada pato tiene 2 patas y cada vaca 4. Por tanto, hay 63 patos y 69 vacas.
• se necesitan 200kg al día para alimentar a las gallinas y a los gallos. Como las cantidades de pienso que consumen son aproximadas, no obtendremos el número exacto de animales, sólo una estimación. Una gallina come 0.5kg y un gallo 0.25kg. Nota: en el enunciado del problema se indica que el total son 200kg, pero las cantidades que comen las gallinas y gallos es en gramos. Por eso, al pasar de gramos a kilogramos obtenemos decimales. Podemos decir que hay unos 61 gallos y unas 369 gallinas. Ya sabemos que hay 69 vacas (apartado 1).
• suman un punto y las incorrectas restan medio punto. en blanco (hay que contestar todas). La nota de un alumno es 8.05 sobre 10. de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.
• Calcular el número de alumnas y de alumnos que hay en el aula si el total de aprobados es 26 en gimnasia y 26 en historia. Resolvemos el sistema por igualación. Por tanto, en el aula hay 16 alumnas y 20 alumnos.
• Hay pelotas verdes, rojas y amarillas. El número total de pelotas verdes y el de pelotas rojas suman cinco veces el número de las amarillas. El número de pelotas verdes es el triple que el de amarillas. El número de pelotas amarillas y el de rojas suman 123.
• Para obtener su ingesta diaria de fruta para el día, Sasha se come un plátano y 8 fresas el miércoles por un recuento calórico de 145. El miércoles siguiente, come dos plátanos y 5 fresas para un total de 235 calorías para la fruta. ¿Cuántas calorías hay en un plátano?
• Es decir, se necesitan 14058 limones.
• Encontrar dicha fracción. Podemos llamar \(x\) al numerador e \(y\) al denominador.

Elección del Método de Resolución

Cuando tendrás que resolver un sistema de ecuaciones lineales en una clase de matemáticas posterior, normalmente no se te dirá qué método usar. Tendrás que tomar esa decisión tú mismo. Para cada sistema de ecuaciones lineales decidir si sería más conveniente resolverlo por sustitución o eliminación.

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Método	¿Cuándo es conveniente?
Gráfico	Cuando los coeficientes variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. Para visualizar la intersección de las líneas rectas.
Sustitución	Cuando una de las incógnitas ya está despejada o es fácil de despejar en una de las ecuaciones.
Igualación	Cuando la misma incógnita es fácil de despejar en ambas ecuaciones.
Eliminación	Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, comenzamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Cuando los coeficientes de una variable son opuestos o fáciles de hacer opuestos multiplicando una o ambas ecuaciones por una constante.

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