Deducción de Fórmulas de Transformación Estrella-Delta y Delta-Estrella Explicada Paso a Paso

En el ámbito de la ingeniería eléctrica, las transformaciones de estrella (Y) a delta (Δ) y de delta a estrella son técnicas fundamentales para simplificar el análisis de circuitos complejos que contienen arreglos de resistencias. Estos métodos no solo facilitan la resolución de redes complicadas, sino que también son cruciales para el diseño y análisis de sistemas de potencia, circuitos electrónicos y redes de telecomunicaciones. La transformación estrella-triángulo y viceversa es una ayuda para simplificar circuitos mixtos con resistencias. Se trata de rediseñar las tres resistencias de triángulo a estrella y viceversa con los correspondientes valores de resistencia modificados, de modo que los valores de resistencia entre los terminales sigan siendo los mismos en ambas variantes del circuito.

¿Qué son las Configuraciones Estrella y Delta?

En el mundo de la ingeniería eléctrica, dos de las configuraciones de conexión más comunes son la conexión delta (Δ) y la conexión estrella (Y). Estas configuraciones son utilizadas para interconectar transformadores, motores y otros dispositivos eléctricos.

Conexión Estrella (Y)

Una conexión estrella, también conocida como conexión Y, es una configuración eléctrica en la que tres bobinas o elementos están conectados a un punto común, al cuál también de le conoce como punto neutro. En este esquema, la tensión entre cualquier fase y el neutro es menor que la tensión entre las fases, siendo esta última aproximadamente 1.732 veces mayor (raíz cuadrada de 3). La conexión eléctrica estrella implica que un punto común (punto neutral) se une a las conexiones de tres bobinas o elementos. En este tipo de la configuración estrella, un extremo de cada componente está conectado a un punto común o "neutro", mientras que los otros extremos están conectados a cada una de las fases de la fuente de alimentación.

Característica clave: En la configuración estrella, las tensiones de fase son menores que las tensiones de línea. La corriente de línea es la misma que la corriente de fase.

Ventajas de la conexión estrella:

Lea también: Deducción IVA: Guía Paso a Paso

• Mayor estabilidad en tensión: Ideal para cargas desbalanceadas.
• Uso del neutro: Permite alimentar cargas monofásicas con una tensión estable.
• Menor corriente en los devanados: Reduce el tamaño de los cables en algunos casos.

Desventajas de la conexión estrella:

• Menor potencia: No es la mejor opción si necesitas un alto rendimiento.
• Necesidad de un neutro bien aterrizado: Si el neutro no está bien conectado a tierra, pueden aparecer problemas de voltaje.

Conexión Delta (Δ)

Una conexión delta es una configuración eléctrica utilizada en sistemas trifásicos donde los terminales de los tres devanados o elementos están conectados en un bucle cerrado, formando un triángulo. En esta configuración, no hay un punto neutro, y la tensión entre cualquier par de fases es igual a la tensión del propio devanado. La conexión eléctrica delta, también conocida como conexión en triángulo, se caracteriza por conectar los extremos de tres bobinas o elementos en una configuración triangular cerrada. Antes de comenzar a ver las fórmulas empleadas en este artículo, es importante que sepamos que en un circuito delta, los tres componentes del sistema (generalmente resistencias, impedancias o bobinas) están conectados en un bucle cerrado formando un triángulo. Cada vértice del triángulo está conectado a una fase de la fuente de alimentación.

Característica clave: Las corrientes de línea (aquellas que circulan entre la fuente de alimentación y los vértices del triángulo) no son iguales a las corrientes de fase (aquellas que circulan por los componentes del triángulo). De hecho, la corriente de línea es mayor que la corriente de fase.

Desventajas de la conexión delta:

• Dificultad en la medición de voltaje: Medir el voltaje de fase directamente en una conexión delta puede ser complicado, ya que no hay un punto neutral.

Importancia y Aplicaciones de las Transformaciones

La transformación estrella-triángulo y viceversa es una ayuda para simplificar circuitos mixtos con resistencias. Estos conceptos pueden sonar un poco técnicos, pero en realidad son fundamentales para entender cómo funcionan estos equipos y cómo sacarles el máximo provecho. Tanto las conexiones estrella como las delta tienen sus usos específicos, ventajas y desventajas. La elección entre una u otra depende de la aplicación específica y los requisitos de voltaje y corriente. Con una comprensión clara de ambas configuraciones, se puede tomar una decisión informada para optimizar el rendimiento y la eficiencia de los sistemas eléctricos trifásicos.

Lea también: Guía para la deducción del ISR

Aplicaciones en la vida real:

• Transformadores: En sistemas de distribución eléctrica, es común que los transformadores utilicen estas configuraciones para ajustar las tensiones y corrientes en diferentes puntos de una red.
• Motores trifásicos: Muchos motores industriales cambian entre conexiones delta y estrella para gestionar el arranque y el funcionamiento.
• Plantas de luz: Las conexiones Estrella y Delta son clave para entender cómo se conecta el motor de una planta de luz y optimizar su funcionamiento.

Transformación Delta a Estrella (Δ a Y)

La transformación de Delta a Estrella implica convertir las resistencias de una configuración delta (RD1, RD2, RD3) en una configuración estrella equivalente (RS1, RS2, RS3). El objetivo es que los valores de corriente y tensión deben ser iguales entre los bornes en ambas variantes de conmutación (triángulo o estrella).

Deducción de las Fórmulas

Consideramos las conexiones 1 y 2, 2 y 3, y 1 y 3.

Condición para el cálculo de las resistencias RS1, RS2, RS3: ¡Los valores de corriente y tensión deben ser iguales entre los bornes en ambas variantes de conmutación (triángulo o estrella)!

• UD12 = US12 => resulta en RD12 = RS12 ID12 IS12
• Consideramos las conexiones 2 y 3: UD23 = US23 => resulta en RD23 = RS23 ID23 IS23
• Consideramos las conexiones 1 y 3: UD13 = US13 => resulta en RD13 = RS13 ID13 IS13

Cálculo de las resistencias entre las conexiones:

Lea también: Consideraciones sobre la Deducción de IVA en México

RD12 = RD2 ΙΙ (RD1 + RD3) = RD2 (RD1 + RD3) must be equal to RS12 = RS1 + RS2 . RD1 + RD2 + RD3

resulta en:

RD12 = RD1RD2 + RD2RD3 = RS1 + RS2 …Ec.(1) . RD1 + RD2 + RD3

de la misma forma:

RD31 = RD1RD2 + RD1RD3 = RS3 + RS1 …Ec.(2) . RD1 + RD2 + RD3

RD23 = RD3RD1 + RD3RD2 = RS2 + RS3 …Ec.(3) . RD1 + RD2 + RD3

Para deducir las resistencias en estrella, realizamos la siguiente operación:

Añadimos Ec.(1) + Ec.(2) - Ec.(3):

RD1RD2 + RD2RD3 + RD1RD2 + RD1RD3 - (RD3RD1 + RD3RD2) / (RD1 + RD2 + RD3) = RS1 + RS2 + RS1 + RS3 - RS2 - RS3 = 2RS1 . Obtenemos como resultado:

Fórmulas de Transformación Delta a Estrella

Siguiendo este procedimiento, las fórmulas para cada resistencia en estrella son:

1. Obteniendo R1:

   El valor de la resistencia que se desea conocer, se multiplica por las resistencias de sus costados. El resultado del producto de las resistencias del costado, se divide entre la suma de todas las resistencias. Si deseamos conocer el valor de la resistencia R1, buscamos las dos resistencias de sus costados que son Rb y Rc, y la dividimos por la suma de todas las resistencias es decir Ra + Rb + Rc. Esto quedaría de la siguiente forma:

   $\displaystyle {{R}_{1}}=\frac{{{R}_{B}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}$

2. Obteniendo R2:

   Hacemos el mismo procedimiento, es decir buscamos a R2 y vemos que resistencias están a su costado, en este caso es Ra y Rc, entonces sabemos que a ese producto lo vamos a dividir por la suma total, entonces tendríamos lo siguiente:

   $\displaystyle {{R}_{2}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}$

3. Obteniendo R3:

   Si seguimos el procedimiento, es fácil inferir, quiénes serán las dos resistencias que se multiplicarán en la parte del numerador, pues el denominador sabemos que es la suma de las tres resistencias en total. Entonces decimos que las únicas resistencias para R3 es Ra y Rb.

   $\displaystyle {{R}_{3}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{B}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}$

Caso Especial: Resistencias en Delta Iguales

Si las resistencias en Delta tienen todas el mismo valor RD, entonces las resistencias en estrella equivalentes RS serán:

$\displaystyle RS = \frac{RD \cdot RD}{RD + RD + RD} = \frac{RD}{3}$

Transformación Estrella a Delta (Y a Δ)

Procedemos de la misma forma para la transformación de estrella a triángulo. Las resistencias RS1, RS2 y RS3 del circuito en estrella se convierten en las resistencias RD1, RD2 y RD3 del circuito delta con los correspondientes valores de resistencia de tal manera que los valores de corriente y tensión entre los terminales 1 a 3 sean idénticos.

Deducción de las Fórmulas

Ahora es momento de observar como es posible obtener Ra, Rb, y Rc. La verdad no es difícil, pero si es importante tener en cuenta los siguientes dos puntos para la deducción:

1. El numerador estará fijo para las conversiones, y es muy fácil obtenerlo, solamente debemos multiplicar R1 con R2, luego sumar R1 con R3 y finalmente sumar R2 con R3, el resultado del producto de las resistencias.
2. Se dividirá con la resistencia que es opuesta a la resistencia que deseamos convertir.

Fórmulas de Transformación Estrella a Delta

Aplicando el algoritmo de deducción:

1. Obteniendo Ra:

   Siguiendo el algoritmo tendremos entonces que:

   $\displaystyle {{R}_{A}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{1}}{{R}_{3}}+{{R}_{2}}{{R}_{3}}}{{{R}_{1}}}$

   El R1 abajo, es porque es la resistencia opuesta a la resistencia Ra.

2. Obteniendo Rb:

   Hacemos lo mismo del paso uno, lo que más nos interesa saber es ver con que resistencia opuesta está relacionada, a simple hecho vemos que esa resistencia es R2. Entonces nuestra fórmula sería:

   $\displaystyle {{R}_{B}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{1}}{{R}_{3}}+{{R}_{2}}{{R}_{3}}}{{{R}_{2}}}$

3. Obteniendo Rc:

   Ya sabemos como es el algoritmo, entonces podemos inferir que para encontrar Rc, tendríamos que aplicar la siguiente fórmula.

   $\displaystyle {{R}_{C}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}+{{R}_{1}}{{R}_{3}}+{{R}_{2}}{{R}_{3}}}{{{R}_{3}}}$

Caso Especial: Resistencias en Estrella Iguales

Cuando las resistencias en una configuración estrella son iguales, la conversión a delta es más sencilla:

$\displaystyle {{R}_{\Delta }}=3{{R}_{Y}}$

Ejercicios Resueltos

Conversión de Delta a Estrella

Problema 1: Convierta el siguiente sistema de delta a una estrella.

Solución: Recordemos la operación para obtener el valor de R1, R2 y R3. Aplicando las fórmulas correspondientes, tenemos entonces que:

• Para R1:

  $\displaystyle {{R}_{1}}=\frac{{{R}_{B}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}=\frac{(25\Omega )(12\Omega )}{25\Omega +40\Omega +12\Omega }=\frac{300{{\Omega }^{2}}}{77\Omega }=3.896\Omega $

• Para R2:

  $\displaystyle {{R}_{2}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{C}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}=\frac{(40\Omega )(12\Omega )}{77\Omega }=\frac{480{{\Omega }^{2}}}{77\Omega }=6.234\Omega $

• Para R3:

  $\displaystyle {{R}_{3}}=\frac{{{R}_{A}}{{R}_{B}}}{{{R}_{A}}+{{R}_{B}}+{{R}_{C}}}=\frac{(40\Omega )(25\Omega )}{77\Omega }=\frac{1000{{\Omega }^{2}}}{77\Omega }=12.987\Omega $

Qué sería nuestra nueva conversión y habríamos resuelto el sistema de delta a estrella.

Problema 2: Se tiene un circuito trifásico con una configuración delta, donde cada resistencia es de $\displaystyle {{R}_{\Delta }}=18\Omega $. Convierte este circuito a una configuración estrella y calcula las nuevas resistencias $\displaystyle {{R}_{Y}}$

Solución: En algunas ocasiones, los ejercicios de delta-estrella puede referirse a situaciones donde todas las resistencias son iguales, entonces en ese proceso aplicaremos:

tags: #deducción #fórmulas #transformación #estrella #delta #explicada