En esta sección, exploramos las integrales que contienen expresiones de la forma a2 −x2 , a2 +x2 , y x2 −a2 , donde los valores de aa son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de la sustitución trigonométrica es muy útil para evaluar estas integrales. Este método nos ayuda a resolver integrales fácilmente, auxiliándonos con triángulos rectángulos en el cual nos ayuda a resolver integrales fácilmente, por lo que en esta entrada vimos que se pueden resolver integrales utilizando las funciones trigonométricas.
Fundamentos de la Sustitución Trigonométrica: El Teorema de Pitágoras
El método de sustitución trigonométrica está estrechamente ligado al teorema de Pitágoras, por lo cual vale la pena recordar la forma en calculamos cada cateto o hipotenusa: «El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos».
No vamos a utilizar las letras a, b y c en nuestro teorema de Pitágoras, vamos a usar sólo la letra a y nuestra variable x. Las combinaciones serían las siguientes: Procesemos lo anterior. En el primer caso a es la hipotenusa y x es un cateto. En el segundo caso a y x son catetos. Por último, en el tercer caso x es la hipotenusa y a es un cateto. Esos son los tres posibles casos que vamos a analizar.
Ahora aplicaremos nuestro conocimiento en razones trigonométricas (seno, tangente y secante) para relacionar a y x con un ángulo θ, y así despejar la variable x en cada caso para luego sustituirla en un ejercicio de integración. También relacionaremos el término con la raíz de cada caso con respecto al lado a, y finalmente, deduciremos dx, la derivada de x.
Los Tres Casos Principales de Sustitución Trigonométrica
A continuación, detallamos la deducción y la estrategia para cada uno de los tres tipos de expresiones radical que se abordan con la sustitución trigonométrica.
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Caso 1: Integrales que contienen a2 − x2
Para ilustrar, considere la integral ∫9−x2 dx. Esta integral no puede evaluarse con ninguna de las técnicas sobre las que hemos hablado hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x=3senθ, tenemos dx=3cosθdθ. En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas.
Para evaluar las integrales que implican a2 −x2 , hacemos la sustitución x=asenθ y dx=acosθ. Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de a2 −x2 es [−a,a]. Por lo tanto, −a≤x≤a. En consecuencia, −1≤xa≤1. Dado que el rango de senx en [−(π/2 ),π/2 ] es [−1,1], hay un ángulo único θ que satisface −(π/2 )≤θ≤π/2 por lo que senθ=x/a, o, de forma equivalente, de modo que x=asenθ. Dado que cosθ≥0 en −π2 ≤θ≤π2 y a>0, |acosθ|=acosθ.
Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución x=asenθ, podemos convertir una integral que implique un radical en una integral que incluya funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos volver a convertir la solución en una expresión que implique x. Para ver cómo hacer esto, vamos a empezar por suponer que 0 La estrategia general es: asegurarse de que la integral no se puede evaluar fácilmente de otra manera. Realice la sustitución x=asenθ y dx=acosθdθ. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 3.4 para reescribir el resultado en términos de x. Para las integrales que contienen a2 +x2 , consideremos primero el dominio de esta expresión. Dado que a2 +x2 se define para todos los valores reales de x, limitamos nuestra elección a aquellas funciones trigonométricas que tienen un rango de todos los números reales. Por lo tanto, nuestra elección se limita a seleccionar x=atanθ o x=acotθ. Cualquiera de estas sustituciones podría funcionar, pero la sustitución estándar es x=atanθ o, de forma equivalente, tanθ=x/a. Lea también: Guía para la deducción del ISR Con esta sustitución, suponemos que −(π/2 )<θ<π/2 , por lo que también tenemos θ=tan-1(x/a). Compruebe si la integral se puede evaluar fácilmente utilizando otro método. Sustituya x=atanθ y dx=asec2 θdθ. Esta sustitución da como resultado a2 +x2 =a2 +(atanθ)2 =a2 (1+tan2 θ)=a2 sec2 θ=|asecθ|=asecθ. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 3.7 para reescribir el resultado en términos de x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=tan-1(xa). El dominio de la expresión x2 −a2 es (−∞,−a]∪[a,+∞). Por lo tanto, o bien x≤−a o x≥a. Por lo tanto, xa≤−1 o xa≥1. Dado que estos intervalos corresponden al rango de secθ en el conjunto [0,π2 )∪(π2 ,π], tiene sentido utilizar la sustitución secθ=xa o, de forma equivalente, x=asecθ, donde 0≤θ<π2 o π2 <θ≤π. La sustitución correspondiente para dx es dx=asecθtanθdθ. Compruebe si la integral no se puede evaluar utilizando otro método. Sustituya x=asecθ y dx=asecθtanθdθ. x2 −a2 =(asecθ)2 −a2 =a2 (sec2 θ−1)=a2 tan2 θ=|atanθ|. Utilice los triángulos de referencia de la Figura 3.9 para reescribir el resultado en términos de x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=sec−1(xa). En resumen, estas son nuestras armas posibles en caso de tener que resolver una integral por sustitución trigonométrica, basándonos en la forma del radical: Lea también: Consideraciones sobre la Deducción de IVA en México Es muy sencillo, todo te lo indica el radical. Si tu ejercicio de integración tiene alguno de los siguientes radicales, entonces puedes aplicar sustitución trigonométrica: A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Integre utilizando el método de sustitución trigonométrica: En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones x=senohθ,coshθ, o tanhθ.Caso 2: Integrales que contienen a2 + x2
Caso 3: Integrales que contienen x2 − a2
Resumen de Sustituciones Trigonométricas
¿Cuándo Aplicar la Sustitución Trigonométrica?
Ejercicios de Práctica
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