En esta sección, estudiaremos la distribución beta, la distribución más importante que tiene soporte acotado. La distribución Beta es una distribución de probabilidad continua que se utiliza para modelar eventos que tienen valores límite o que están limitados entre dos valores fijos. Esta distribución es muy útil para modelar proporciones, probabilidades y tasas.
La distribución beta es una distribución continua definida por dos parámetros de forma. La distribución tiene solo dos parámetros y, sin embargo, una rica variedad de formas. Utilice la distribución beta para variables aleatorias entre 0 y 1. La función de densidad de probabilidad de la distribución Beta se define en términos de los parámetros alfa y beta y se puede escribir como:
\[ f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \]
Donde \(x\) es la variable aleatoria que toma valores entre 0 y 1, y \(B(\alpha,\beta)\) es la función beta, que es una constante de normalización que asegura que la integral de la función de densidad de probabilidad de la distribución Beta sea igual a 1.
La Función Beta y su Finitud
La función beta se define por la integral:
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\[ B(a, b) = \int_0^1 u^{a-1} (1 - u)^{b - 1} du \]
Tenemos que demostrar que \(B(a, b) < \infty\) para cada \(a, \, b \in (0, \infty)\). El integrando es positivo en \((0, 1)\), por lo que la integral existe, ya sea como un número real o \(\infty\). Si \(a \ge 1\) y \(b \ge 1\), el integrando es continuo en \([0, 1]\), entonces por supuesto la integral es finita.
Así, los únicos casos de interés son cuándo \(0 < a < 1\) o \(0 < b < 1\). Tenga en cuenta que:
\[ \int_0^1 u^{a-1} (1 - u)^{b - 1} du = \int_0^{1/2} u^{a-1} (1 - u)^{b - 1} du + \int_{1/2}^1 u^{a-1} (1 - u)^{b - 1} du \]
Si \(0 < a < 1\), \((1 - u)^{b-1}\) está acotado en \(\left(0, \frac{1}{2}\right]\) y \( \int_0^{1/2} u^{a - 1} \, du = \frac{1}{a 2^a} \). De ahí que la primera integral a la derecha en la ecuación mostrada sea finita. De igual manera, si \(0 < b < 1\), \(u^{a-1}\) está acotado en \(\left[\frac{1}{2}, 1\right)\) y \( \int_{1/2}^1 (1 - u)^{b-1} \, du = \frac{1}{b 2^b} \). Por lo tanto, la función beta \(B(a,b)\) es finita para \(a,b \in (0, \infty)\).
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La función beta también tiene una relación importante con la función gamma, definida por \( \Gamma(n) = (n - 1)! \). Podemos expresar la función beta en términos de la función gamma:
\[ B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \]
Recordemos que la función gamma es una generalización de la función factorial. Si \(j, \, k \in \N_+\) entonces:
\[ B(j, k) = \frac{(j - 1)! (k - 1)!}{(j + k - 1)!} \]
Generalicemos este resultado. Por supuesto, la función beta es simplemente la constante normalizadora, por lo que está claro que \(f\) es una función de densidad de probabilidad válida.
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Parámetros de Forma (α y β) y su Interpretación
La distribución Beta tiene dos parámetros, alfa (\(\alpha\)) y beta (\(\beta\)), que controlan la forma de la distribución. El parámetro alfa (\(\alpha\)) controla la forma de la distribución en el extremo izquierdo, mientras que el parámetro beta (\(\beta\)) controla la forma de la distribución en el extremo derecho. El significado físico de estos dos parámetros depende del contexto en el que se utiliza la distribución Beta. Por ejemplo, en el contexto de pruebas A/B, el parámetro alfa representa el número de conversiones en el grupo de prueba, mientras que el parámetro beta representa el número de no conversiones en el grupo de prueba. En general, estos dos parámetros se utilizan para modelar la proporción de eventos exitosos y fallidos en un conjunto de datos, y pueden ser interpretados como medidas de la incertidumbre y variabilidad en los datos.
Si \(a \ge 1\), \(f\) se define en 0, y si \(b \ge 1\), \(f\) se define en 1. En estos casos, es costumbre extender el dominio de \(f\) a estos puntos finales. La distribución puede adoptar diferentes formas dependiendo de los valores de los dos parámetros:
| Condición de Parámetros (\(\alpha, \beta\)) | Forma de la Distribución Beta |
|---|---|
| \(\alpha = 1, \beta = 1\) | Uniforme (en el intervalo \((0, 1)\)) |
| \(\alpha < 1, \beta < 1\) | Forma de U |
| \(\alpha = \beta > 1\) | Simétrica |
| \(\alpha > \beta\) | Asimétrica hacia la izquierda |
| \(\alpha < \beta\) | Asimétrica hacia la derecha |
Obsérvese también que cuando \(\alpha < 1\) o \(\beta < 1\), la función de densidad de probabilidad no está acotada, y por lo tanto la distribución no tiene modo. Por otro lado, si \(\alpha \ge 1\), \(\beta \ge 1\), y una de las desigualdades es estricta, la distribución tiene un modo único en \(x_0\).
La distribución beta puede generalizarse fácilmente desde el intervalo de soporte \((0, 1)\) a un intervalo acotado arbitrario usando una transformación lineal.
Deducción de la Distribución Beta a partir de la Distribución Gamma
Podemos deducir la distribución Beta a partir de un par de distribuciones Gamma independientes. Supongamos que \(X\) tiene la distribución gamma con el parámetro de forma \(a \in (0, \infty)\) y el parámetro de tasa \(r \in (0, \infty)\), y que \(Y\) tiene la distribución gamma con el parámetro de forma \(b \in (0, \infty)\) y el parámetro de tasa \(r\). Además, asumimos que \(X\) y \(Y\) son independientes.
Definamos las nuevas variables aleatorias \( U = X + Y \) y \( V = X \big/ (X + Y) \). Demostraremos que \( U \) y \( V \) son independientes, \( U \) tiene la distribución gamma con parámetro de forma \( a + b \) y parámetro de tasa \( r \), y \( V \) tiene la distribución beta con parámetros \( a \) y \( b \).
Primero, notemos que \( (X, Y) \) tiene una función de densidad de probabilidad (PDF) conjunta \( f \) dada por:
\[ f(x, y) = \frac{r^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-r x} \frac{r^b}{\Gamma(b)} y^{b-1} e^{-r y} = \frac{r^{a+b}}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1} y^{b-1} e^{-r(x + y)}; \quad x, \, y \in (0, \infty) \]
La transformación \( u = x + y \) y \( v = x \big/ (x + y) \) mapea \( (0, \infty) \times (0, \infty) \) uno a uno sobre \( (0, \infty) \times (0, 1) \). Lo inverso es \( x = u v \), \( y = u(1 - v) \) y el valor absoluto del jacobiano es:
\[ \left|\det \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| = u \]
De ahí que, por el teorema de cambio de variables multivariado, el PDF \( g \) de \( (U, V) \) viene dado por:
\[ \begin{aligned} g (u, v) & = f [u v, u (1 - v)] u \\ & = \frac{r^{a+b}}{\Gamma (a) \Gamma (b)} (u v)^{a-1} [u (1 - v)]^{b-1} e^{-ru} u \\ & = \frac{r^{a+b}}{\Gamma (a) \Gamma (b)} u^{a+b-1} e^{-ru} v^{a-1} (1 - v)^{b-1} \\ & = \frac{r^{a+b}}{\Gamma (a + b)} u^{a+b-1} e^{-ru} \frac{\Gamma (a + b)}{\Gamma (a) \Gamma (b)} v^{a-1} (1 - v)^{b-1}; \quad u \in (0, \infty), v \in (0, 1) \end{aligned} \]
Los resultados ahora siguen del Teorema de factorización, lo que demuestra la independencia de \(U\) y \(V\), y que \(V\) sigue una distribución Beta con parámetros \(a\) y \(b\).
Relaciones y Aplicaciones Clave
Conexión con la Distribución F
El siguiente resultado establece una conexión entre la distribución beta y la distribución \(F\). Si \(X\) tiene la distribución \(F\) con \(n > 0\) grados de libertad en el numerador y \(d > 0\) grados de libertad en el denominador entonces \(X\) se puede escribir como:
\[ X = \frac{U / n}{V / d} \]
donde \(U\) tiene la distribución chi-cuadrada con \(n\) grados de libertad, \(V\) tiene la distribución chi-cuadrada con \(d\) grados de libertad, y \(U\) y \(V\) son independientes. De ahí:
\[ Y = \frac{(n / d) X}{1 + (n / d) X} = \frac{U / V}{1 + U / V} = \frac{U}{U + V} \]
Pero la distribución chi-cuadrada es un caso especial de la distribución gamma. Específicamente, \(U\) tiene la distribución gamma con parámetro de forma \(n / 2\) y parámetro de tasa \(1/2\), \(V\) tiene la distribución gamma con parámetro de forma \(d / 2\) y parámetro de tasa \(1/2\), y de nuevo \(U\) y \(V\) son independientes. Esto refuerza la deducción de la distribución Beta a partir de variables Gamma.
Función Beta Incompleta
La función de distribución beta \(F\) se puede expresar fácilmente en términos de la función beta incompleta. La función de distribución a veces \(F\) se conoce como la función beta incompleta regularizada. Por definición:
\[ F_{j,k}(x) = \frac{1}{B(j,k)} \int_0^x t^{j-1} (1 - t)^{k-1} dt \]
Relación con la Distribución Binomial (Integración por Partes)
Existe una relación interesante entre las funciones de distribución de la distribución beta y la distribución binomial, cuando los parámetros beta son enteros positivos. Integrando por partes con \( u = (1 - t)^{k-1} \) y \( dv = t^{j-1} dt \), se puede obtener una recurrencia. Pero por la propiedad de la función beta anterior, \( B(j, k) = (j - 1)! (k - 1)! \big/(j + k - 1)! \). De ahí \( 1 \big/ j B(j, k) = \binom{j + k - 1}{k - 1} \) y \( (k - 1) \big/ j B(j, k) = 1 \big/ B(j + 1, k - 1) \). Así, se puede reescribir la función de distribución como:
\[ F_{j,k}(x) = \binom{j + k - 1}{k - 1} (1 - x)^{k-1} x^j + F_{j + 1, k - 1}(x) \]
Esto muestra una conexión recursiva importante.
Aplicaciones en Estadística Bayesiana: Conjugación Beta-Binomial y Beta-Binomial Negativa
La distribución beta es útil para modelar probabilidades y proporciones aleatorias, particularmente en el contexto del análisis bayesiano. La distribución beta también se usa en estadísticas bayesianas, por ejemplo, como la distribución de valores previos de una probabilidad binomial.
La distribución binomial se utiliza cuando queremos calcular la probabilidad de obtener un cierto número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli, conociendo de antemano la probabilidad de éxito en cada uno. En cambio, la distribución beta se usa cuando ocurre lo contrario: ya hemos observado un número determinado de éxitos y fracasos, y queremos estimar cuán probable es cada posible valor de la probabilidad de éxito. Es decir, nos permite actualizar nuestras creencias sobre esa probabilidad tras haber recogido datos.
Conjugación Beta-Binomial:
Supongamos que \(P\) es una probabilidad aleatoria que tiene la distribución beta con parámetro izquierdo \(a \in (0, \infty)\) y parámetro derecho \(b \in (0, \infty)\). Supongamos también que \(X\) es una variable aleatoria tal que la distribución condicional de \(X\) dada \(P = p \in (0, 1)\) es binomial con parámetro de ensayos \(n \in \N_+\) y parámetro de éxito \(p\). El PDF conjunto \(f\) de \( (P, X) \) en \( (0, 1) \times \{0, 1, \ldots n\} \) viene dado por:
\[ f(p, k) = \frac{1}{B(a, b)} p^{a-1} (1 - p)^{b-1} \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} = \frac{1}{B(a, b)} \binom{n}{k} p^{a + k - 1} (1 - p)^{b + n - k - 1} \]
El PDF condicional de \(P\) dado \(X = k\) es simplemente la versión normalizada de la función \(p \mapsto f(p, k)\), que resulta ser otra distribución Beta. En la distribución posterior de \(P\), el parámetro izquierdo se incrementa por el número de éxitos y el parámetro derecho por el número de fallas.
Conjugación Beta-Binomial Negativa:
Supongamos nuevamente que \(P\) es una probabilidad aleatoria que tiene la distribución beta con parámetro izquierdo \(a \in (0, \infty)\) y parámetro derecho \(b \in (0, \infty)\). Supongamos también que \(N\) es una variable aleatoria tal que la distribución condicional de \(N\) dado \(P = p \in (0, 1)\) es binomio negativo con parámetro de parada \(k \in \N_+\) y parámetro de éxito \(p\). El PDF conjunto \(f\) de \( (P, N) \) en \( (0, 1) \times \{k, k + 1, \ldots\} \) viene dado por:
\[ f(p, n) = \frac{1}{B(a, b)} p^{a-1} (1 - p)^{b-1} \binom{n - 1}{k - 1} p^k (1 - p)^{n-k} = \frac{1}{B(a, b)} \binom{n - 1}{k - 1} p^{a + k - 1} (1 - p)^{b + n - k - 1} \]
El PDF condicional de \(P\) dado \(N = n\) es la versión normalizada de la función \(p \mapsto f(p, n)\), resultando también en una distribución Beta. En ambos casos, en la distribución posterior de \(P\), el parámetro izquierdo se incrementa por el número de éxitos y el parámetro derecho por el número de fallas.
Gracias a la función beta, podemos no solo estimar cuál podría ser la verdadera habilidad o proporción, sino también expresar esa incertidumbre de forma razonada. Esto es, en esencia, lo que hace la estadística bayesiana: actualizar nuestras creencias a medida que obtenemos nuevos datos, ayudándonos a afinar esa intuición con algo más de rigor.
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