Cada vez que nos miramos en un espejo o entrecerramos los ojos ante la luz del sol que brilla en un lago, estamos viendo un reflejo. La ley de reflexión establece que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, `\theta_r = \theta_i`. Esperamos ver los reflejos de las superficies lisas, pero una superficie rugosa refleja la luz de manera diferente. Dado que la luz incide en distintas partes de la superficie con ángulos diferentes, se refleja en muchas direcciones diferentes, o se difumina.
Un espejo, en cambio, tiene una superficie lisa (comparada con la longitud de onda de la luz) y refleja la luz en ángulos específicos. En un espejo, la imagen se encuentra exactamente a la misma distancia detrás del espejo que la distancia que hay entre la persona que se mira y el espejo.
Fundamentos Matemáticos de la Reflexión y Refracción
Para abordar la deducción de la ecuación de reflexión, debemos retornar al planteamiento matemático del problema. La amplitud compleja A=A0exp(iφ), contiene la información de la amplitud y fase. Las ondas transmitidas y reflejadas no son superposición de ondas armónicas con vector de ondas real, sino complejo. El rayo incidente, el reflejado y el transmitido están en el mismo plano.
Las condiciones de frontera son cruciales para determinar las expresiones de reflexión y transmisión. Se llevan las expresiones de las ondas a las condiciones de frontera donde el `\mathbf{k}_{c}^{\prime}` por ejemplo se determina a partir de la igualdad de las exponenciales sobre la superficie de discontinuidad. Con lo que `k_{x}=k_{c x}^{\prime}` y `k_{y}=k_{c y}^{\prime}`, lo que indica que las componentes tangenciales son continuas. El plano de incidencia es `x z`, de modo que se puede decir que `k^{\prime}, a^{\prime}` están en el plano de incidencia. Las condiciones de frontera nos darán los valores de la parte real y la imaginaria.
Tenemos la ley de la refracción, que debe verificarse junto con la ley de Snell. La frecuencia del movimiento ondulatorio se conservará. Observamos que la onda transmitida siempre está en fase con la onda incidente. El principio de conservación de la energía también debe ser considerado.
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Las Ecuaciones de Fresnel
Las fórmulas de Fresnel describen la relación entre las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y transmitida. No hay que memorizar estas relaciones, pero sí qué operaciones llevan a ellas y las conclusiones que permiten establecer. Se analizan dos componentes de polarización: paralela (`r_\|`, `t_\|`) y perpendicular (`r_⊥`, `t_⊥`). El coeficiente de reflexión perpendicular `r_⊥` es la magnitud que liga `R_⊥` con `A_⊥`. El signo negativo de los coeficientes de reflexión depende de la forma de escoger el sistema de referencia (paralelo, perpendicular).
En este caso, los coeficientes de reflexión y transmisión en función del ángulo de incidencia tienen el aspecto que se representa en la Figura `\PageIndex{1}`. `\theta=\frac{\pi}{2}` es la incidencia rasante (transmisión nula), `\theta=0` es la incidencia normal. En la incidencia normal el plano de incidencia no está definido, y las ecuaciones responden diciendo que no hay dirección privilegiada, lo que se refleja en los coeficientes de transmisión. Podemos observar que `r_\|=-r_⊥` y que `t_\|=t_⊥`. En general, cuando `n^{\prime}>n` los coeficientes de reflexión o transmisión son números reales, de modo que el desfase sólo puede ser de 0 o `\pi`.
Como consecuencia, si la luz incide con polarización rectilínea, se transmite o se refleja con polarización rectilínea. Pero el acimut de la luz transmitida o reflejada será, en general, distinto del de la luz incidente, en virtud de las relaciones entre coeficientes perpendicular y paralelo. El comportamiento complementario de los coeficientes de reflexión y transmisión es justificable en virtud de la conservación de la energía.
Casos Especiales de Reflexión
Ángulo de Brewster
Hay un coeficiente cuyo valor pasa por cero para cierto ángulo, que denominaremos ángulo de BREWSTER y denotaremos `\theta_{B}`. Es el ángulo para el que `r_{\|}\left(\theta_{B}\right)=0`. Si `r_{\|}=0` entonces `R_{\|}=0`, de modo que en ángulo de BREWSTER la luz reflejada siempre tiene polarización rectilínea y completamente perpendicular al plano de incidencia, independientemente del estado de polarización de la luz incidente. Tenemos, por lo tanto, un método para construir luz rectilíneamente polarizada incluso a partir de luz natural.
Reflexión Total Interna y Ondas Evanescentes
En el caso de la reflexión total, los coeficientes de reflexión se hacen 1 antes de la incidencia rasante (para `\theta=\theta_{C}`). El ángulo límite se obtiene cuando se verifica que la reflexión total ocurre, y toda la luz vuelve al primer medio. El problema es que para `\theta>\theta_{C}` no podemos conocer `\theta^{\prime}` y por lo tanto no podemos calcular los coeficientes de reflexión y transmisión con ayuda de las fórmulas de Fresnel. En este fenómeno, una componente del vector de ondas tiene que ser mayor que su módulo. Las ondas transmitidas y reflejadas no son superposición de ondas armónicas con vector de ondas real, sino complejo.
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Hay onda transmitida ya que `\mathbf{E}_{t} \neq 0` del otro lado de la discontinuidad de índice: es una onda plana inhomogénea que vive pegada a la discontinuidad (onda evanescente), porque se atenúa exponencialmente con la distancia y no sobrevive más allá de unas pocas longitudes de onda. En este contexto, `a_{z}^{\prime}=\frac{\omega}{c} \sqrt{n^{2} \sin ^{2} \theta-n^{\prime 2}}` donde `a_z'` es una magnitud imaginaria. Las ondas serán armónicas "planas", con el sentido de "planas" que ya ha sido explicado y que aparece cuando el vector de ondas es complejo (ondas planas inhomogéneas).
Cálculo de Amplitudes y Sistemas Multicapa
Como hemos apreciado, el cálculo de las amplitudes del movimiento ondulatorio reflejado B y transmitido E se vuelven cada vez más complicados, especialmente para sistemas con múltiples interfaces. La alternativa es la de operar con matrices complejas de dimensión 2×2, de modo similar a las barreras de potencial. Consideremos un sistema multicapa. En un ejemplo estudiado, una sola capa de anchura `a=1` cuya velocidad de propagación es `v2`, el número de onda `k2`. En este contexto, `B=0` cuando `k2a=nπ`, `n=1,2,3...` o `B=0` cuando `k2a=(2n+1)π/2`, `n=0,1,2,3...`.
El vector A contiene la información de la amplitud del movimiento ondulatorio incidente A(1) y reflejado A(2), ambos son números complejos. El vector E contiene la información sobre la amplitud del transmitido E(1), por lo que E(2)=0. Para que la amplitud del movimiento ondulatorio incidente sea la unidad y su fase `\varphi a=0`, dividimos los vectores por A(1).
Control de la Polarización
Ya tenemos modos de obtener las polarizaciones que queramos: la incidencia en ángulo de BREWSTER nos da polarización rectilínea, la reflexión y transmisión normales nos dan cambios de acimut dentro de la polarización rectilínea y la reflexión total nos da polarización elíptica.
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