Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado, convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica ax² + bx + c = 0 y luego resolvemos x, encontramos que x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a. Esta ecuación se conoce como fórmula cuadrática. Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado.
Derivando la fórmula cuadrática
Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general, ax² + bx + c = 0, para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Al trabajar con la ecuación general, existe una complicación que consiste en que el coeficiente de x² no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace que se compliquen algunas de las expresiones, pero si tienes cuidado, todo resultará bien.
Pasos para la deducción:
- Dividir ambos lados de la ecuación entre a, para que el coeficiente de x² sea 1.
- Reescribir de tal forma que el lado izquierdo tenga la forma x² + (b/a)x.
- Sumar (b/2a)² a ambos lados para completar el cuadrado.
- Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado: (x + b/2a)².
- Evaluar el lado derecho como (b² - 4ac) / 4a².
- Sacar la raíz cuadrada de ambos lados, recordando conservar ambas raíces, la positiva y la negativa.
- Restar b/2a de ambos lados para despejar x.
Resolviendo una ecuación cuadrática usando la fórmula
La fórmula cuadrática funcionará para cualquier ecuación, pero sólo si la ecuación está en su forma estándar, ax² + bx + c = 0. Para usarla, primero transforma la ecuación a la forma estándar, identifica los coeficientes a, b, y c, y sustituye los valores en la fórmula. Recuerda que una raíz cuadrada posee siempre dos valores, uno positivo y uno negativo.
Análisis del discriminante
En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el símbolo radical, b² - 4ac, se llama el discriminante. Este determina cuántas soluciones tendrá la fórmula:
- Si b² - 4ac > 0: El número debajo del radical será positivo, resultando en dos soluciones.
- Si b² - 4ac = 0: Estaremos calculando la raíz cuadrada de 0, por lo que existirá sólo una solución.
- Si b² - 4ac < 0: El número debajo del radical será negativo; como no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales, no habrá soluciones.
| Discriminante (D) | Número de soluciones |
|---|---|
| D > 0 | Dos raíces reales |
| D = 0 | Una raíz real |
| D < 0 | Sin raíces reales |
Vale la pena revisar si la ecuación cuadrática puede ser fácilmente factorizada antes de aplicar la fórmula cuadrática. La solución para la ecuación cuadrática nos da las coordenadas en x de las intersecciones en x, o las raíces de una función cuadrática, que son los valores donde la parábola cruza el eje x.
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