La principal motivación y aplicación de la integral es el cálculo de áreas. En esta entrada hablaremos de cómo aproximar áreas mediante sumas de Riemann. Para introducir este concepto, recordemos que en la entrada pasada se ilustró el método de exhaución. Vimos que es un acercamiento geométrico al cálculo del área del círculo mediante polígonos inscritos o circunscritos.
Sin embargo, en las aplicaciones no sólo queremos calcular el área de círculos, sino de muchos tipos diferentes de figuras. La forma de describirlos en este curso será mediante funciones. Por lo tanto, buscaremos encontrar una función cuya gráfica se parezca al contorno del objeto (o bien cuyo contorno pueda ser descrito por más de una función). Esta gráfica será una curva que define una región.
Tomemos dos reales $a$ y $b$ con $a En el transcurso de toda esta entrada supondremos que tenemos un ejemplo «bien portado» en el que sí tiene sentido hablar de dicha área $F_a^b$ (recuerda que las funciones pueden tener comportamientos muy raros). Una técnica de cálculo fundamental es primero responder a un problema dado con una aproximación, luego refinar esa aproximación para mejorarla, luego usar límites en el proceso de refinación para encontrar la respuesta exacta. Una vez definida la región a la que se le va a calcular el área, buscaremos hacer una aproximación a esa área mediante la suma de áreas de rectángulos. Lea también: Deducción IVA: Guía Paso a Paso Para definir los rectángulos que usaremos para aproximar el área, será necesario hacer una partición $P$ del intervalo $[a,b]$ del eje $x$ en una cierta cantidad de partes (que llamaremos celdas), no necesariamente todas ellas de la misma longitud. Estas partes serán las bases de los rectángulos que usaremos. Definición: Partición. Sean $a$ y $b$ números reales con $a\leq b$. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Sea $n\geq 0$ un entero. Una partición (en $n$ partes) del intervalo $[a,b]$ será una elección de números reales $x_0\leq x_1 \leq \ldots\leq x_n$ con $x_0=a$ y $x_n=b$. Definición: Longitud de Celda. Dada la celda $[x_{i-1},x_i]$ para $1\leq i\leq n$ de una partición, su longitud será $x_i-x_{i-1}$ y la denotaremos por $\Delta x_i$. Definición: Partición Homogénea. Si las celdas de una partición tienen todas la misma longitud, diremos que es una partición homogénea. Al tomar una partición del intervalo $[a,b]$, podemos dibujar líneas verticales en cada punto de la partición. Lea también: Guía para la deducción del ISR Una forma de aproximar el área bajo una curva es dividir el área en rectángulos. Esto se consigue de la siguiente manera: empieza dividiendo el intervalo del área en subintervalos. ¡Cuantos más, mejor! Asocia un rectángulo a cada subintervalo. La anchura de cada rectángulo es igual a la longitud de su subintervalo correspondiente. La altura de cada rectángulo se puede hallar evaluando la función en algún punto del subintervalo. Tras dividir el área bajo una curva en rectángulos, los sumamos y obtenemos una aproximación al área. Esto se conoce como Suma de Riemann, llamada así por el matemático Bernhard Riemann, que trabajó en la idea en el siglo XIX. Antes de definir la Suma de Riemann, debemos establecer algunos antecedentes. Sea $f(x)$ una función definida en un intervalo cerrado $a\leq x\leq b$ y sea $P=\{x_i\}$ para $i=0, 1, 2, ..., n$ una partición regular de $a\leq x\leq b$. Tenemos un conjunto de $n$ subintervalos de la forma $x_{i-1}\leq x\leq x_i$ todos ellos con una longitud de $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Una Suma de Riemann para la función $f(x)$ para la partición $P$ se define como: $\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$ Lea también: Consideraciones sobre la Deducción de IVA en México Donde $x_i^*$ es cualquier valor dentro del intervalo $x_{i-1}\leq x\leq x_i$. Estos rectángulos pueden ser inscritos (que quedan por dentro o por debajo de la función) o circunscritos (que quedan por afuera o por encima de la función). Podemos usar como base las longitudes de las celdas y como altura podemos usar el máximo o mínimo de la función $f(x)$ en cada intervalo. Introduciremos un poco de notación para hablar de sumas superiores e inferiores. Definición: ínfimo y supremo. Al ínfimo de los valores de $f$ en la parte $[x_{i-1},x_i]$ le llamaremos $m_i$. Al supremo de los valores de $f$ en la parte $[x_{i-1},x_i]$ le llamaremos $M_i$. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función acotada y $a\leq b$ reales. Sea $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ una partición de $[a,b]$. La suma inferior se define como: $m_1(x_1 - x_0) + m_2(x_2 - x_1) + . . .$ Donde $m_i$ es el ínfimo de los valores de $f$ en la celda $[x_{i-1},x_i]$ y $\Delta x_i $ es la longitud de dicha celda. Una suma de Riemann para la función $f(x)$ para la partición $P=\{x_i\}$ se denomina suma de Riemann inferior si los valores $x_i^*$ se toman como el valor mínimo de cada subintervalo. Esta vez, podemos garantizar que nuestra aproximación será menor o igual que el valor real del área, ¡ya que estamos tomando trozos más pequeños del área! Si dejamos que $A$ sea el área por debajo de la curva y $S_L$ sea una suma de Riemann inferior, entonces podemos escribir la siguiente desigualdad: $S_L\leq A$ Si regresamos a pensar que la función $f$ es «bien portada» como para que el área $F_a^b$ tenga sentido, entonces las sumas superiores e inferiores nos ayudan a acotar dicha área. Es decir, la suma inferior es menor o igual que el valor de la integral. En este caso, el menor valor de cada subintervalo es el valor situado más a la izquierda, por lo que una aproximación al punto final izquierdo nos dará una suma de Riemann inferior. Ejemplo de cálculo de suma inferior: Utiliza la fórmula para la aproximación del punto final izquierdo. $L_{10}=\sum_{i=0}^9 f(x_i)\Delta x$ Sustituye $x_i=i\Delta x$ y $\Delta x=\frac{2-0}{10}=0.2$ en la fórmula. $L_{10}=\sum_{i=0}^9 f(0.2i)0.2$ Factoriza 0,2 y evalúa la función $f(x)=x^2+1$. $L_{10}=0.2\sum_{i=0}^9((0.2i)^2+1)$ Utiliza las propiedades de la suma para reescribir la suma. $L_{10}=0.008\sum_{i=0}^9 i^2+0.2\sum_{i=0}^9 1$ Observa que las sumas empiezan en 0. La última suma aún consta de 10 términos, por lo que se puede evaluar como sumar 1 diez veces. Evalúa la última suma. $L_{10}=0.008\sum_{i=0}^9 i^2+0.2(10)$ En la primera suma, observa que el término que contiene $i=0$ no contribuye a la suma porque $0^2=0$ por lo que esta suma puede evaluarse como si fuera de $i=1$ a 9. Utiliza $\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ para evaluar la suma. $L_{10}=0.008\frac{9(10)(19)}{6}+0.2(10)$ Evalúala utilizando una calculadora. $L_{10}=4.28$ Obtuvimos una aproximación de 4,28. ¡Esto significa que el valor real del área bajo la curva está entre 4,28 y 5,08! Si tomamos los máximos de cada celda, tenemos los rectángulos rojos, que análogamente a lo dicho arriba, tienen suma de área total mayor al área bajo la curva buscada. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función acotada y $a\leq b$ reales. Sea $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ una partición de $[a,b]$. La suma superior se define como: $M_1(x_1 - x_0) + M_2(x_2 - x_1) + . . .$ Donde $M_i$ es el supremo de los valores de $f$ en la celda $[x_{i-1},x_i]$ y $\Delta x_i $ es la longitud de dicha celda. Una suma de Riemann para la función $f(x)$ para la partición $P=\{x_i\}$ se denomina suma de Riemann superior si los valores $x_i^*$ se toman como el valor máximo de cada subintervalo. En este caso, podemos garantizar que nuestra aproximación será mayor o igual que el valor real del área, ¡ya que estamos tomando trozos más grandes del área! Si dejamos que $A$ sea el área por debajo de la curva y $S_U$ sea una suma superior de Riemann, entonces podemos escribir la siguiente desigualdad: $S_U\geq A$ Si regresamos a pensar que la función $f$ es «bien portada» como para que el área $F_a^b$ tenga sentido, entonces las sumas superiores e inferiores nos ayudan a acotar dicha área. Es decir, la suma superior es mayor o igual que la integral.Particiones de un Intervalo
Aproximación del Área mediante Sumas de Riemann
Suma Inferior de Riemann
Suma Superior de Riemann