Las funciones trigonométricas se utilizan para modelar muchos fenómenos, como las ondas sonoras, las vibraciones de las cuerdas, la corriente eléctrica alterna y el movimiento de los péndulos. Para definir las funciones trigonométricas, consideremos primero las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Supongamos que θ es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde A es la longitud del cateto adyacente, O es la longitud del cateto opuesto y H es la longitud de la hipotenusa. Las razones de las longitudes de los lados pueden expresarse de la siguiente manera:
- Seno: El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.
- Coseno: El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.
- Tangente: La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por tan B o tg B.
- Cosecante: La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por csc B o cosec B.
- Secante: La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.
- Cotangente: La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cot B o ctg B.
Una manera sencilla de recordar las definiciones principales es el acrónimo SOH-CAH-TOA: Seno (Opuesto/Hipotenusa), Coseno (Adyacente/Hipotenusa) y Tangente (Opuesto/Adyacente).
Razones trigonométricas en una circunferencia
Se llama circunferencia goniométrica o círculo unitario a aquella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. Si consideramos un triángulo rectángulo dentro del círculo, el radio forma la hipotenusa y uno de los catetos está sobre el eje X. Cabe destacar que la razón por la que se consideran las funciones trigonométricas en el círculo es para poder tomar ángulos más grandes, superando las limitaciones del triángulo rectángulo.
De esta construcción deducimos:
Lea también: Aprende a derivar funciones trigonométricas desde un triángulo
- El seno es la ordenada (y) del punto P sobre la circunferencia.
- El coseno es la abscisa (x) del punto P sobre la circunferencia.
- Los valores de seno y coseno están comprendidos entre -1 y 1.
Relaciones pitagóricas
Como el triángulo que se considera dentro del círculo es rectángulo, se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa (radio 1). Por tanto, se obtiene la identidad fundamental:
sen² α + cos² α = 1
Propiedades y periodicidad
Hemos visto que al recorrer el círculo unitario, los valores de las funciones trigonométricas se repiten, lo que significa que son funciones periódicas. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un periodo de 2π. Además, al igual que con las funciones algebraicas, podemos aplicar transformaciones, donde una constante puede provocar un desplazamiento de fase, cambiar el periodo o producir un estiramiento vertical.
Lea también: Deducción IVA: Guía Paso a Paso
Lea también: Guía para la deducción del ISR
tags: #deduccion #de #las #funciones #trigonometricas #explicacion