Las identidades trigonométricas son relaciones entre distintas funciones trigonométricas que nos permiten manipular las funciones de manera que podemos cambiar de una a otra. En Matemáticas I, se trabaja mucho la demostración de estas identidades, la simplificación de expresiones y la resolución de ecuaciones y sistemas trigonométricos.
Para demostrar identidades trigonométricas, una técnica es comenzar por el lado de la igualdad que aparentemente sea más «largo» o «complicado» y, a través de sucesivos pasos usando las fórmulas trigonométricas que se saben, intentar llegar a la otra parte de la igualdad.
Relaciones fundamentales y propiedades
Las principales funciones trigonométricas son el seno, el coseno y la tangente, además de sus recíprocas: la cosecante, la secante y la cotangente. A partir de la circunferencia unitaria surgen las relaciones fundamentales de la trigonometría:
- Identidad pitagórica principal: \(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\)
- Relación con la tangente: \(\tan^2(\alpha)+1=\sec^2(\alpha)\)
- Relación con la cotangente: \(1+\cot^2(\alpha)=\csc^2(\alpha)\)
Asimismo, es fundamental conocer las propiedades de paridad y las relaciones de ángulos complementarios:
- \(\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)\)
- \(\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)\)
- \(\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)\)
- \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos(\alpha)\)
- \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin(\alpha)\)
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Cuando en el argumento de una función aparece una suma o resta de ángulos donde hay una incógnita, recurrimos a las identidades de suma y resta:
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Seno
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\)
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\)
Coseno
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\)
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\)
Tangente
\(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}\)
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\(\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}\)
Identidades del ángulo doble y ángulo mitad
Cuando el argumento está multiplicado por 2, utilizamos las identidades del ángulo doble, que surgen al sustituir el argumento por la suma de la incógnita por sí misma:
- \(\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\)
- \(\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\)
- \(\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}\)
Por otro lado, las fórmulas para el ángulo mitad surgen al sustituir el valor en la primera relación fundamental:
- \(\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}\)
- \(\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}\)
- \(\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}\)
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