Las identidades trigonométricas son relaciones entre distintas funciones trigonométricas. Como es posible que ya sepas, las identidades trigonométricas nos permiten manipular las funciones trigonométricas, de manera que podemos cambiar de una a otra o, incluso, a varias. Entre estas seis funciones existen muchas relaciones que aparecen a partir de la circunferencia unitaria. En este artículo, además de las relaciones entre las distintas funciones, vamos a ver las fórmulas para los cambios de argumentos: las del ángulo doble y las del ángulo mitad.
Funciones Trigonométricas Principales
Antes de pasar a las fórmulas de las identidades trigonométricas, debes saber qué funciones las relacionan. Las principales funciones trigonométricas son el seno, el coseno y la tangente. Además de éstas, también están sus recíprocas, que son la cosecante, la secante y la cotangente.
Identidades Fundamentales de la Trigonometría
A partir de la circunferencia unitaria surgen ciertas relaciones llamadas relaciones fundamentales de la trigonometría. Haciendo uso del teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo sobre la circunferencia unitaria, llegamos a:
\[\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\]
Por último, si dividimos la primera relación entre \(\sin^2(\alpha)\), llegamos a:
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\[1+\cot^2(\alpha)=\csc^2(\alpha)\]
Estas también son conocidas como las identidades pitagóricas, debido a su relación con la fórmula \(c^2=a^2+b^2\).
Razones Trigonométricas de la Suma y la Diferencia de Ángulos (Argumento Compuesto)
¿Qué pasa si tienes una función trigonométrica cuyo argumento es una suma o resta de ángulos? Puedes hacer, primero, esa operación; entonces ya tendrás un argumento del que puedes obtener el resultado:\[\sin(70º-40º)=\sin(30º)=\dfrac{1}{2}\] Pero, ¿y si en el argumento hay una incógnita? Por ejemplo:\[\cos(x+30º)\] En este caso, no podemos realizar primero la suma, porque no conocemos el valor de \(x\). Por eso, recurrimos a las relaciones de suma y resta de ángulos en las funciones trigonométricas.
Para el seno estas son:
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\]
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\[\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\]
Para el coseno:
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\]
\[\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\]
Para la tangente:
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\[\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}\]
\[\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}\]
Identidades Trigonométricas del Ángulo Doble
También puede ocurrir que en el argumento de una función trigonométrica te encuentres con que está multiplicado por \(2\). Igual que antes, puedes realizar la multiplicación y así aplicar la función al ángulo obtenido. Pero, si en el argumento hay una incógnita, ¿qué puedes hacer en este caso? Por ejemplo:\[\tan(2x)\] Pues, gracias a las identidades trigonométricas del ángulo doble, existen relaciones entre las funciones que eliminan esa necesidad de multiplicar por \(2\). Estas identidades aparecen al sustituir el argumento por la suma de la incógnita por sí misma:\[\tan(2x)=\tan(x+x)\] Con las fórmulas que te hemos dado anteriormente, puedes hacer esta suma. Si hacemos estas operaciones para las tres funciones llegamos a:
\[\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]
\[\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\]
\[\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}\]
Identidades Trigonométricas del Ángulo Mitad
De la misma manera que puede aparecer el argumento multiplicado por \(2\), puede aparecer dividido entre \(2\); es decir, el ángulo mitad. Estas fórmulas surgen al sustituir el ángulo mitad en la primera relación fundamental de la trigonometría. Se obtiene, entonces:
\[\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}\]
\[\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}\]
\[\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}\]
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