En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica.
Las identidades trigonométricas básicas son aquellas que pueden deducirse lógicamente de las definiciones y gráficas de las seis funciones trigonométricas. Estas identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas y son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas.
De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario.
Tipos de Identidades Fundamentales
En esta sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas, las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente.
Identidades Pitagóricas
Comenzaremos con las identidades pitagóricas, que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. Todas las identidades pitagóricas están relacionadas. Una de ellas se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Las relaciones entre seno y coseno, secante y tangente, y cosecante y cotangente son ejemplos clave de estas identidades.
Lea también: Deducción IVA: Guía Paso a Paso
Identidades Pares e Impares
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y.
Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. También se deduce de las identidades del seno y del coseno. La función secante es, por tanto, par. En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Una función impar es una función con la propiedad que \(f(−x)=−f(x)\).
Identidades Recíprocas
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Las identidades recíprocas se refieren a las conexiones entre las funciones trigonométricas como seno y cosecante. El seno es opuesto sobre hipotenusa y cosecante es hipotenusa sobre opuesto.
Identidades de Cociente
El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente, que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades.
Identidades de Cofunción
Las identidades de cofunción hacen la conexión entre funciones trigonométricas y sus contrapartes “co” como seno y coseno. Las cofunciones son funciones que son idénticas a excepción de una reflexión y un desplazamiento horizontal.
Lea también: Guía para la deducción del ISR
Otras Identidades Derivadas
Además de las identidades fundamentales, existen otras categorías importantes que también pueden deducirse, como las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos, las razones trigonométricas del ángulo doble, las razones trigonométricas del ángulo mitad y las transformaciones de operaciones, que incluyen la conversión de sumas en productos y de productos en sumas. Estas identidades amplían las herramientas disponibles para manipular y simplificar expresiones trigonométricas.
Verificación de Identidades Trigonométricas
Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. Al hacer pruebas trigonométricas, es vital que comiences por un lado y solo trabajes con ese lado hasta derivar lo que está del otro lado.
A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. Podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. Este problema ilustra que hay varias formas de verificar una identidad. Un poco de creatividad a veces simplifica un procedimiento. En el segundo método, dividimos la fracción, al colocar ambos términos en el numerador sobre el denominador común. Solo vemos un gráfico porque ambas expresiones generan la misma imagen. Una está encima de la otra. Esta es una buena manera de confirmar una identidad verificada con medios analíticos.
A veces puede ser útil trabajar desde ambos lados y encontrar dónde se encuentran las dos partes, pero esta obra no se considera una prueba. Tendrás que reescribir tus pasos para que sigan de un solo lado.
La Importancia del Álgebra en la Trigonometría
Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar.
Lea también: Consideraciones sobre la Deducción de IVA en México
Para simplificar expresiones o resolver ecuaciones, primero debes factorizar lo negativo del argumento. A continuación debes señalar que el coseno es par y aplicar la identidad impar par para descartar lo negativo en el argumento. Si esta expresión se escribiera en forma de ecuación igual a cero, podríamos resolver cada factor con la propiedad del factor cero. También podríamos utilizar la sustitución. Estas identidades se utilizan ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física.
tags: #deduccion #de #las #identidades #trigonometricas #basicas