Las ecuaciones de Saint-Venant (1871) han demostrado ser un modelo matemático útil con aplicaciones en varias ramas de la ingeniería hidráulica y costera. Estos modelos se basan en el desarrollo de ecuaciones diferenciales encargadas de modelar variación de caudal y nivel de un flujo en un espacio unidimensional y el tiempo de manera no permanente en canales abiertos. En general estas modelaciones se presentan en tres dimensiones, pero las aplicaciones prácticas suelen utilizar una aproximación unidimensional en la dirección de mayor relevancia, que usualmente suele ser a lo largo del canal en la dirección de flujo.
La importancia del comportamiento de las ecuaciones de Saint-Venant y sus implicaciones en el análisis del flujo aplicado a modelos de tránsito hidráulico es el tema principal de esta investigación. Partiendo de las aplicaciones y usos de dichos modelos matemáticos, se determina y se evalúa el comportamiento de estas ecuaciones en 1D y sus aproximaciones para diferentes condiciones posibles de una situación real mediante la experimentación numérica computacional para un tramo de un cauce con una sección hidráulica prismática, en casos en los cuales la pendiente del canal presenta tres tipos de condiciones: supercrítica, subcrítica y pendiente horizontal, para un caudal de referencia.
El objetivo principal de esta investigación es encontrar una demostración de la aplicabilidad de las ecuaciones de Saint-Venant para diferentes condiciones de acercamiento a esta problemática desde el punto de vista de la solución de las ecuaciones de Saint-Venant en una dimensión.
Tipos de Tránsito Hidráulico y Modelos Simplificados
Las ecuaciones de Saint-Venant tienen varias formas simplificadas, cada una de las cuales define un modelo de tránsito distribuido unidimensional. Aunque las fuerzas expresadas en la ecuación de momentum siempre están presentes en cualquier problema de hidrodinámica, se puede dar el caso de que no todas sean relevantes. Esto hace que sea posible tener varios tipos de tránsito hidráulico de crecientes.
La Onda Dinámica
La onda dinámica se considera como el modelo de tránsito distribuido más completo existente, ya que tiene en cuenta todas las fuerzas que interactúan en el tránsito de la creciente (inerciales, presión, gravitacional, fricción) y tiene en cuenta los efectos de remanso en el cálculo. En su forma completa, estas ecuaciones se consideran de solución compleja aun con el uso de las más modernas herramientas computacionales. A pesar de la complejidad de estas ecuaciones, son estudiadas con el fin de entenderlas y con esto mejorar las ideas en el campo de la mecánica de los fluidos en las soluciones de flujos particulares y para examinar leyes de modelamiento matemático.
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El Modelo de Onda Cinemática
El modelo de onda cinemática es la mejor alternativa en la modelación del tránsito hidráulico en redes debido a la simplicidad de su estructura, buen comportamiento y representatividad ante una modelación, sin embargo el que desprecie ciertas condiciones como términos de aceleración local, aceleración convectiva y fuerzas de presión, limita en cierta medida al modelo para ciertas circunstancias de escenarios dependiendo del caso especifico (condiciones de pendiente y velocidad entre otras). En este caso la ecuación de Saint Venant de conservación de momentum se reduce a la ecuación (2) y la ecuación (3). Lo anterior implica que el flujo puede ser tratado como "uniforme no permanente". Esto significa que no hay efectos transientes de curvas de remanso. En este caso existe un balance entre el efecto de la aceleración debido a la gravedad y el efecto de retraso de las fuerzas de fricción. En el caso de la onda cinemática, los términos de aceleración y de presión son muy pequeños comparados con los gravitacionales y los de fricción; es decir, el movimiento de la onda está descrito más por la ecuación de continuidad que por la de momentum.
Teniendo en cuenta el concepto de onda cinemática como un modelo simplificado del flujo no permanente en canales abiertos y conociendo que las ondas dinámicas resuelven las ecuaciones completas, se concluiría que las ondas dinámicas resuelven las ecuaciones completas, pues se esperaría que la onda dinámica presentara mejor comportamiento que la onda cinemática debido a que la onda dinámica contiene términos inerciales (aceleración local y aceleración convectiva), fuerza gravitacional, fuerza de fricción; por el contrario, la onda cinemática únicamente contiene los términos de fuerza gravitacional y de fuerza de fricción pero según estudios realizados los últimos 100 cien años indican lo contrario. Lighthill y Whitham (1955) afirman que bajo las condiciones apropiadas para el flujo de avenida, las ondas dinámicas se atenúan muy rápidamente, y son las ondas cinemáticas, viajando a una velocidad menor, las que asumen el papel preponderante.
Solución Numérica de las Ecuaciones de Saint-Venant
Esquema Numérico General
Las ecuaciones de Saint Venant para la onda cinemática son dos ecuaciones diferenciales parciales, una de continuidad y otra de momentum. La solución de las ecuaciones requiere de métodos numéricos directos, los cuales convierten las ecuaciones diferenciales en ecuaciones de diferencias finitas para la conservación de la masa y del momentum lineal, las cuales pueden ser lineales o no lineales. Los cálculos de las variables desconocidas se hacen simultáneamente en función del espacio y del tiempo. En el caso del tránsito hidráulico de crecientes, las variables desconocidas son: Q y A. Si se tiene una función f(x) continua en un intervalo (a,b), el valor de f(x+Δx) puede ser calculado utilizando el valor de f(x), que se supone conocido, y las derivadas de la función f en el punto x conocido. Utilizando series de Taylor y resolviendo para f'(x), se obtiene la ecuación (4). Esta ecuación puede ser utilizada para solucionar la ecuación diferencial parcial, en donde la derivada es función de los valores conocidos de la función inicial.
Solución por Diferencias Finitas
El esquema de diferencias finitas debe solucionar las ecuaciones de Saint Venant. La variable dependiente únicamente es Q. La ecuación de continuidad, por ser una ecuación diferencial parcial, se puede aplicar al método de las diferencias finitas, con el fin de conocer Q para cualquier lugar x del conducto en cualquier instante de tiempo. La otra variable dependiente (y o A) se calcula utilizando Q(x,t) y una ecuación de resistencia fluida, tal como la ecuación de Gauckler Manning. Luego de un sencillo procedimiento matemático se llega a la ecuación (5). Donde los valores a y b dependen de la geometría del conducto, y los términos de Δx y Δt deben estar relacionados mediante la condición de Courant correspondiente a la ecuación (6).
Aplicación Práctica y Casos de Estudio
En la predicción de las variables de flujo para diferentes condiciones tiene gran importancia desarrollar modelos y simulaciones numéricas hidrodinámicas con precisión adecuada que permitan la correcta planificación de obras. En Colombia los modelos de tránsito permanente son de uso común en las modelaciones en ingeniería. Software de uso frecuente como el Sistema de Análisis de Ríos, desarrollado por el Centro de Ingeniería Hidrológica de California, EUA (HEC-RAS, por su sigla en inglés), permite determinar la altura requerida para construir estructuras de control como puentes, diques, vertederos y obras de protección en aguas bajas, redes hídricas y flujo libre; sin embargo, cuando la lámina del flujo crece rápidamente, los errores de los esquemas no linealizados aumentan.
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En las modelaciones de flujo en canales de alta pendiente (So > 5%) se generan soluciones inestables debido a la alta acumulación de errores (Tsai, 2003). En estos casos generalmente se sugiere el uso de un esquema de solución mediante la formulación y desarrollo de la onda cinemática, de tal forma que considere la no linealidad en flujos bajo estas condiciones. Estas modelaciones matemáticas son consideradas como una aproximación a la realidad, por lo cual es primordial establecer las condiciones de frontera que permitan determinar las condiciones aproximadas del comportamiento del flujo y del canal, ya que cuanto más se adapten las ecuaciones de partida y la programación numérica para su resolución al fenómeno real que se está estudiando, mejores resultados se obtendrán.
Generalmente en los estudios hidráulicos, como es el caso de los efectos de la propagación de avenidas en ríos, cálculos de velocidades y niveles de agua, son usados métodos de abstracciones unidimensionales en régimen permanente gradualmente variado y fondo fijo, pues se les considera como una herramienta suficiente para determinar el comportamiento del río y se deja a un lado la evolución temporal en el proceso. Aplicaciones de partículas hidrodinámicas con modelos matemáticos basados en las ecuaciones de Saint-Venant en canales abiertos son mostradas por (Chang, Kao, Chang, & Hsu, 2011). En la revisión bibliográfica se encuentran evidencias de otros estudios que se encargan de proponer diferentes escenarios con el fin de explicar el comportamiento del flujo mediante las ecuaciones de Saint-Venant y establecer su aplicabilidad para determinar el comportamiento del flujo.
Otros estudios aplicativos referentes a la implementación del esquema numérico en volúmenes finitos para las ecuaciones de flujo Saint-Venant han permitido conocer el perfil de flujo superficial y la infiltración en el suelo en sistemas de riego, como es el caso de Pino, Mejía y Chávarry (2012), quienes determinaron, tras un proceso de simulación de varios casos, que la pendiente longitudinal tiene un papel importante en el flujo para las melgas; según su modelo, la pendiente debe ser menor a 0,001 m/m. Las pendientes mayores generan flujos rápidos o supercríticos. Al aplicar el análisis de flujo de régimen variable es imprescindible considerar las restricciones que permiten el desarrollo de las ecuaciones de Saint-Venant, por lo tanto es necesario utilizar un software que permita modelar las situaciones en que sea aplicable la suposición de onda cinemática como la onda dinámica. Aplicaciones de las ecuaciones de Saint-Venant contrarias a los casos ya conocidos, como en redes fijas convencionales o métodos de partículas en movimiento, se evidencian en Yao-Hsin (2013), quien muestra una formulación a partir de la reasignación de partículas computacionales a lo largo de las curvas características.
El objetivo principal de esta investigación es evaluar el comportamiento de las ecuaciones de Saint-Venant para condiciones en régimen permanente y variable, bajo diferentes escenarios de estudio y modificando las condiciones de frontera mediante condiciones de piscina nivelada, pendiente subcrítica y condición aguas abajo profundidad crítica, pendiente supercrítica y condición aguas abajo profundidad normal.
Características del Caso de Estudio
Mediante el uso de las ecuaciones de Saint-Venant y los métodos de solución tanto implícito como explícito, se procedió a desarrollar los siguientes casos de estudios y para cada uno se obtuvo resultados en una situación en particular. La sección transversal del canal de irrigación se muestra en la figura 1, así como otras características de esta se presentan a continuación:
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| Característica | Valor |
|---|---|
| Tipo de cauce | Canal prefabricado |
| Uso | Irrigación |
| Forma de la sección transversal | Trapezoidal |
| Relación de taludes laterales | 2H:1V |
| Base | 6,1 m |
| Longitud | 2743,2 m |
| Cota inicial | 29,1 m.s.n.m. |
| Rugosidad (n de Manning) | 0,025 |
La pendiente longitudinal utilizada varió según las condiciones hidráulicas que se deseaban evaluar, tales como la propagación de la onda sobre una pendiente horizontal, subcrítica o supercrítica. En cuanto al cálculo del tránsito distribuido de la onda sobre el canal evaluado, fue necesario implementar una rutina (algoritmo) que lograra la resolución numérica de las ecuaciones diferenciales de momento y continuidad de una forma rápida y estable. Esta rutina fue elaborada en Matlab 2011 y consideró dentro de su estructura la posibilidad de evaluar diferentes condiciones de frontera, tales como: hidrograma y limnigrama en la frontera aguas arriba e hidrogramas, limnigramas, condiciones de flujo normal y flujo crítico sobre la frontera aguas abajo.
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