El Método de los Elementos Finitos (FEM) permite obtener una solución numérica aproximada sobre un dominio, sobre el que están definidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma débil o integral, que caracterizan el comportamiento físico del problema modelado. Es un método muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos. Aunque el FEM es un método bastante versátil, sus características no le permiten representar adecuadamente el comportamiento real de ciertos tipos de problemas, como aquellos que involucran discontinuidades o singularidades, por ejemplo, el problema de transmisión de calor en un dominio no homogéneo, en donde los subdominios están separados por una interfase y poseen conductividades distintas.
Limitaciones del FEM y surgimiento de XFEM
En el caso del FEM, es necesario utilizar una malla de elementos finitos que esté ajustada a las aristas de los elementos y a la interfase para capturar la singularidad; sin embargo, esto implica un mayor costo computacional. Es entonces cuando surge un nuevo método llamado el Método de los Elementos Finitos Extendido (XFEM). Este método resulta útil para aproximar de manera eficiente singularidades o discontinuidades asociadas a fracturas, fisuras o cambio de fases, mediante la adición de funciones especiales que enriquecen el espacio solución de la aproximación de FEM, independientemente de la malla que se esté usando.
No obstante, cuando se aplica XFEM a problemas de difusión en un sistema de dos fases con condiciones de materiales muy distintas, éste produce una representación inexacta de los flujos en la vecindad de la interfase, debido a que el enriquecimiento mejora la calidad global, pero no satisface algunos rasgos locales. Con el fin de remediar este inconveniente, surge el método XFEM+, el cual agrega una restricción adicional a la formulación permitiendo que se reproduzcan con mayor precisión los rasgos de los flujos locales en la zona de transición.
Fundamentos matemáticos y funciones de forma
Se considera un dominio Ω ⊂ ℝ² dividido en dos partes por la interfase α. La solución de la ecuación posee una característica de discontinuidad del gradiente sobre la zona de la interfase. Para establecer la ubicación de cada punto respecto a la interfase, se utiliza una función denotada por ϕ. Esta función se anula por completo sobre los elementos estándar de la malla; en los elementos enriquecidos, se anula solo en los nodos y presenta una discontinuidad del gradiente exactamente sobre la interfase.
Consideraciones sobre el enriquecimiento y la malla
Es importante destacar que la interfase puede atravesar de diversas maneras un elemento enriquecido, ya sea triangular o cuadrilátero, y según la forma en que lo haga, varían las coordenadas de los puntos de intersección y los vectores de funciones de forma asociados a estos puntos. En la implementación de estos métodos para elementos cuadriláteros, se observa lo siguiente:
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- Al utilizar elementos cuadriláteros, se aumenta el orden de la aproximación (de funciones lineales a funciones cuadráticas).
- El XFEM con cuadriláteros tiene menores errores en la aproximación de flujos globales en comparación con el XFEM con elementos triangulares.
- Para una disposición de interfase recta inclinada, el método XFEM+ con malla de cuadriláteros no resulta adecuado, ya que se estaría sobreestimando la interfase al aproximar el Level Set con funciones cuadráticas.
Para imponer de manera explícita la continuidad del flujo normal al sistema XFEM, se propone añadir una ecuación en algunos de los puntos P є α. De esta forma, se construyen ecuaciones algebraicas adicionales al sistema solución de XFEM, donde se hace que el salto del flujo normal se anule en un conjunto finito de puntos sobre la interfase.
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