Continuando nuestro análisis de amplificadores operacionales, abordaremos en esta oportunidad otra de las configuraciones de relevancia conocida como Amplificador Operacional Integrador. Este es un componente clave en circuitos analógicos con aplicaciones matemáticas en sistemas de control, permitiendo la solución de ecuaciones diferenciales y sirviendo como una herramienta útil en sistemas constituidos por sensores, generadores de señales y filtrado.
Un amplificador integrador realiza la función matemática de la integración, es decir, la señal de salida es la integral de la señal de entrada. En esta relación, la constante k representa la carga inicial del condensador. El funcionamiento básico de un integrador es que el voltaje de salida es el resultado de la integral definida de la entrada (Vin) desde un tiempo inicial (t=0) hasta un tiempo arbitrario (t). A esto se sumará una constante que representa la salida de la red en t = 0.
Recuerde, la integración es básicamente el proceso de suma. También se puede pensar en esto como encontrar el “área bajo la curva”. La salida de este circuito siempre representa la suma total de los valores de entrada hasta ese preciso instante en el tiempo. Dada su importancia, en esta publicación analizaremos los principios físicos y matemáticos que describen su comportamiento.
Principios Fundamentales del Integrador
Elección del Elemento de Realimentación
Como se señaló en trabajos anteriores, la respuesta de un circuito de amplificador operacional con retroalimentación reflejará las características de los elementos de retroalimentación. Si se utilizan elementos lineales, la respuesta resultante será lineal. Si se usa un dispositivo logarítmico en el bucle de retroalimentación, la respuesta resultante tendrá un carácter log o anti-log. Para lograr la integración, entonces, la red de retroalimentación requiere el uso de un elemento que exhiba esta característica.
En otras palabras, la corriente a través del dispositivo debe ser proporcional ya sea a la integral o diferencial de la tensión a través del mismo. Los inductores y capacitores responden a estos requisitos, respectivamente. Debería ser posible, entonces, crear un integrador con un inductor o un condensador.
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Los capacitores tienden a comportarse de una manera más ideal que los inductores. Los condensadores prácticamente no presentan problemas con la interferencia de campo magnético parásito, no tienen las limitaciones de saturación de los inductores, son relativamente económicos de fabricar y funcionan de manera confiable en un amplio rango de frecuencias. Debido a estos factores, la gran mayoría de los integradores se fabrican utilizando condensadores en lugar de inductores. Esto nos dice que la corriente que carga el condensador es proporcional al diferencial de la tensión de entrada.
Estructura y Derivación de la Fórmula del Integrador Ideal
La estructura de un amplificador operacional integrador consiste en un capacitor de retroalimentación conectado entre la salida y la entrada inversora de forma similar al amplificador operacional inversor. Adicionalmente, se tiene una fuente de voltaje que alimenta su terminal inversor a través de R1 y un cortocircuito que va desde su terminal no-inversora al nodo común. Este tipo de circuito se basa en el amplificador de inversión paralelo-paralelo.
Para la derivación de la fórmula, supongamos por un momento que el voltaje del condensador es el voltaje de salida deseado. Si la corriente del condensador se puede derivar del voltaje de entrada, el voltaje de salida será proporcional a la integral de la entrada. Primero, tenga en cuenta que el voltaje a través del condensador es igual al voltaje de salida. Esto se debe a la conexión a tierra virtual en el terminal de amplificador operacional inversor. Debido al terreno virtual en la entrada inversora del amplificador operacional, toda la tensión de entrada (Vin) cae a través de la resistencia de entrada (Ri). Debido a que la corriente extraída por las entradas del amplificador operacional es insignificante, toda la corriente de entrada fluye hacia el condensador (C).
La fórmula que describe el comportamiento del amplificador integrador ideal es:
\[ V_{out}(t)= − \frac{1}{R_iC} \int V_{in} (t) dt \]
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Obsérvese que esta Ecuación supone que el circuito está inicialmente relajado (es decir, no hay carga en el condensador en el tiempo = 0). La única diferencia entre esta ecuación y la forma general de la integral es la constante \(−1/R_iC\). Si la inversión o magnitud de esta constante crea problemas de diseño, generalmente se puede corregir mediante redes de ganancia/atenuación y/o búferes invertidos.
La condición inicial que se desee para la salida puede obtenerse mediante un interruptor de puesta a cero. Si se conecta momentáneamente el interruptor y se desconecta, se tiene entonces un valor de carga en el capacitor y aparece una salida.
Limitaciones y Soluciones en el Integrador Práctico
Problemas de Saturación y Corriente de Polarización
Si se usa un valor estático (distinto de cero) como entrada, la salida crecerá continuamente con el tiempo. Si este crecimiento continúa sin control, se producirá la saturación de salida. El amplificador integrador presenta el inconveniente de que si la señal de entrada es una señal DC o tiene una componente DC, se satura y ya no integra. Cuando la salida se mueve gradualmente hacia la saturación positiva o negativa, la señal de salida se distorsiona y, por lo tanto, resulta inútil.
Una fuente posible de error es la corriente de polarización de entrada del amplificador operacional. Si la corriente de la señal de entrada es relativamente baja, la idealización de que toda la corriente de entrada desviará el amplificador operacional y fluirá directamente al condensador ya no es realista. Para evitar esto es posible colocar un interruptor de cortocircuito a través del condensador. Esto se puede utilizar para reinicializar el circuito de vez en cuando; sin embargo, no es siempre conveniente.
Soluciones para la Estabilidad y Precisión
El problema de saturación no se puede solucionar por completo, pero se puede controlar agregando una resistencia en paralelo al condensador, que lo que hará es limitar la ganancia en DC del integrador. La limitación de ganancia se puede producir derivando el condensador de integración con una resistencia. Un circuito de este tipo se denomina integrador con descarga, ya que el voltaje del capacitor está continuamente descargándose a través de la resistencia de realimentación. Si la ganancia de baja frecuencia se limita a un nivel más modesto, los problemas de saturación pueden reducirse, si no se eliminan por completo.
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Para un mejor rendimiento, las piezas de alta calidad son una necesidad. Se necesitan amplificadores operacionales de baja desviación y deriva, ya que los pequeños valores de CC que producen en la entrada eventualmente obligarán al circuito a saturarse. Se pueden usar dispositivos de compensación muy baja, como amplificadores operativos estabilizados por interruptor (o conmutación de cero automático) para aplicaciones de menor frecuencia. Para obtener la máxima precisión, se desea una pequeña corriente de polarización de entrada y, por lo tanto, se deben considerar los amplificadores operacionales de entrada FET. Además, el condensador debe ser de tipo estable y de baja fuga, como la película de polipropileno.
Respuesta en Frecuencia y Precisión
Podemos considerar que el circuito integrador es un amplificador de inversión simple, donde la resistencia de realimentación (Rf) se sustituye por la reactancia del condensador (XC). Debido a que XC depende de la frecuencia, se deduce que la ganancia de voltaje debe ser dependiente de la frecuencia. Como XC aumenta a medida que baja la frecuencia, la ganancia de voltaje debe aumentar a medida que disminuye la frecuencia.
Para ser más específicos, la curva de ganancia seguirá una pendiente de −6 dB por octava. Eventualmente, la respuesta del amplificador alcanza la respuesta de bucle abierto. La ganancia de CC del sistema está en el nivel de bucle abierto, por lo que es obvio que incluso las entradas de CC muy pequeñas pueden causar estragos con la respuesta del circuito.
Cualquier alteración en la curva de respuesta impactará en la máxima precisión de la integración. Al limitar la ganancia de baja frecuencia, la respuesta de amplitud Bode ya no mantendrá un rolloff constante de −6 dB por octava. En cambio, la respuesta se aplanará por debajo de la frecuencia crítica establecida por C y Rf. Esta es una frecuencia muy importante (flow), que nos dice dónde comienza el rango de integración útil. Si la frecuencia de entrada es menor que flow, el circuito actúa como un amplificador de inversión simple y no resulta integración. La frecuencia de entrada debe ser mayor que flow para que se produzca una integración útil.
Para lograr una integración precisa, la frecuencia de entrada debe ser significativamente mayor que flow. La siguiente tabla resume la relación entre la frecuencia de entrada y la precisión de la integración:
| Relación de Frecuencia de Entrada (fin vs flow) | Precisión Aproximada |
|---|---|
| fin = flow | 50% |
| fin ≥ 10 × flow | 99% |
El límite superior para la integración útil se establece por dos factores: la respuesta de frecuencia del amplificador operacional y la amplitud de la señal frente al ruido. La respuesta del integrador progresa a −6 dB por octava, lo que equivale a −20 dB por década. En otras palabras, un aumento de diez veces en la frecuencia de entrada da como resultado una reducción de diez veces en la amplitud de salida. Para frecuencias más altas, la atenuación neta puede ser muy grande. En este punto, la señal de salida corre el riesgo de perderse en el ruido de salida. La única manera de evitar esto es asegurarse de que el amplificador operacional sea un tipo de bajo ruido, particularmente si se utilizará una amplia gama de frecuencias de entrada.
Métodos de Análisis de la Señal de Salida
Ahora que hemos examinado la estructura básica del integrador práctico, es el momento de analizar su respuesta a diferentes formas de onda de entrada. Existen dos formas básicas de calcular la salida: tiempo-continuo o tiempo-discreto.
Método de Tiempo Continuo
El método de tiempo continuo implica el uso de la integral indefinida, y es muy adecuado para entradas sinusoidales simples. El enfoque de análisis de tiempo continuo implica encontrar una representación en el dominio del tiempo de la forma de onda de entrada y luego insertarla en la ecuación de salida del integrador. Se toma la integral indefinida, y el resultado es la representación en el dominio del tiempo de la forma de onda de salida. Se ignora el término constante producido por la integral indefinida. Siempre que la forma de onda de entrada pueda escribirse en una forma de dominio de tiempo, se puede usar este método. Sin embargo, las formas de onda relativamente comunes como las ondas cuadradas y las ondas triangulares requieren una representación en el dominio del tiempo en serie infinita, por lo que no siempre es la ruta más conveniente.
Por ejemplo, si la entrada es una onda sinusoidal de pico de 1 V a 5 kHz, la salida es una onda sinusoidal que está liderando la entrada por 90° y es de pico de 0.318 V. Si la frecuencia de entrada se elevara en un factor de 10 a 50 kHz, la salida también estaría a 50 kHz, y la amplitud de salida se reduciría en un factor de 10, a 31.8 mV.
Método de Tiempo Discreto
A diferencia del enfoque tiempo-continuo, este método utiliza la integral definida y se utiliza para encontrar un nivel de salida en instancias específicas en el tiempo. Esto es útil si la representación continua en el dominio del tiempo es algo compleja y, sin embargo, la forma de onda es relativamente simple, como ocurre con una onda cuadrada. A menudo, se puede usar un poco de lógica para determinar la forma de la onda resultante. Luego se utiliza la integral para determinar la amplitud exacta. El método discreto de tiempo también resulta útil para ondas más complejas cuando se modela dentro de un programa de computadora.
La técnica básica gira en torno a la búsqueda de representaciones simples en el dominio del tiempo de la entrada para períodos específicos de tiempo. Una onda dada podría modelarse como dos o más secciones. El primer paso es descomponer la forma de onda de entrada en componentes simples de integrar y determinar la forma básica del resultado.
Por ejemplo, si una entrada se puede romper en dos partes: un potencial de 2 V no cambiante de 0 a 50 µs, y un potencial de −2 V no cambiante de 50 µs a 100 µs. En esencia, estamos diciendo que la entrada puede ser tratada como ±2 V DC por cortos periodos de tiempo. Debido a que la integración es una operación de suma, a medida que avanza el tiempo, el área barrida por debajo de la señal de entrada aumenta, y luego disminuye debido a los cambios de polaridad. De ello se deduce que la salida crecerá (o encogerá) de manera lineal, ya que la entrada es constante. Es decir, se producirán rampas rectas durante estos periodos de tiempo. La única diferencia entre ellos será la polaridad de la pendiente. De esto encontramos que la forma de onda de salida esperada es una onda triangular. Para determinar el valor pico de la salida, se puede aplicar la fórmula:
\[ V_{out}(t)= − \frac{1}{R_iC} \int V_{in} (t) dt \]
Este es el cambio total a lo largo del intervalo de medio ciclo.
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