Hoy toca hablar de óptica y geometría. Pues vamos a usar esas dos cosas para explicar cómo se forma el famoso arcoíris y porqué jamás lo podrás alcanzar. Los arcoíris se forman cuando llueve, pues para que este fenómeno óptico se produzca, la luz debe entrar en las gotas de lluvia, reflejarse en su interior y salir. Al salir se producirá la famosa descomposición del espectro visible de la luz y con ello el arcoíris. La refracción, como observó Newton con el prisma, depende del color.
La Gota de Lluvia y la Interacción de la Luz
La mayoría de las gotas de lluvia serán más o menos esféricas, especialmente las gotas pequeñas, debido a la tensión superficial. Deseamos seguir un rayo de luz a medida que entra en una gota esférica, se refleja internamente y finalmente emerge. Ver Figura I.15. Nos referiremos a la distancia\(b\) como parámetro de impacto. Vemos un rayo de luz dirigido a la gota, que tomo para tener radio unitario, en parámetro de impacto\(b\).
Parte de la luz incidente se refleja y otra parte se refracta. Llamamos î al ángulo que forman el rayo incidente con la perpendicular de la gota en el punto de entrada. Aquí debemos tener en cuenta que cuando la luz cambia de medio su trayectoria también lo hace, como nos dice la ley de Snell.
$$n_1 \sin \hat i = n_2 \sin \hat r$$
donde $n_1$ y $n_2$ son los índices de refracción del primer y segundo medio, respectivamente; e î y r̂ son los ángulos incidente y refractado, respectivamente. La primera desviación será igual al ángulo incidente menos el ángulo de la luz dentro del agua respecto a la perpendicular, o ángulo refractado, al que llamaremos r̂.
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Dentro de la gota la luz se refleja, es decir, rebota con el mismo ángulo que llevaba. Por último, tenemos la misma geometría que al inicio, pues es el mismo cambio de medio solo que al revés. Por tanto, la tercera desviación será idéntica a la primera. Para saber con qué ángulo saldrá la luz de la gota, y saber en qué dirección se producirá el arcoíris, debemos sumar la desviación inicial, la del rebote dentro de la gota y la desviación a la salida1.
Este valor lo tenemos en función del ángulo incidente y del ángulo refractado. Para simplificarlo, pondremos el ángulo refractado, r̂, en función del ángulo incidente, î. Para ello volvemos a valernos de la ley de Snell.
El Arcoíris Primario
El arco primario se produce después de una reflexión de los rayos de luz en el interior de la gota. En el interior del arco observamos el color rojo y en el exterior el violeta. Para obtener el ángulo para el cual se forma el arcoíris, necesitamos calcular el llamado ángulo de desviación mínima, calculando el ángulo de incidencia para el cual la desviación producida es mínima (donde se concentra la mayor parte de los rayos desviados), que denotamos por îmín.
Para distintos valores del ángulo de incidencia i obtenemos distintos valores del ángulo de desviación D. Los arcos se forman para un ángulo de incidencia θc tal que el ángulo de desviación D alcanza el valor mínimo. En color azul claro, el rayo cuyo ángulo de incidencia da lugar a una desviación mínima. La desviación es (Ecuación\(\ref{eq:1.7.1}\))\(D = π + 2\theta − 4\theta'\).
El arco primario se forma un ángulo de aproximadamente 42º. Una vez conocemos el ángulo de incidencia que hace que la desviación sea mínima, para conocer a qué ángulo ve el arcoíris un observador terrestre, tenemos que tomar el ángulo suplementario de la desviación mínima $\hat d_\mathrm t$. Tomando $n = 1.333$ obtenemos que el ángulo de incidencia para el cual la desviación es mínima es de 59 grados, 24 minutos y 38 segundos de arco, con una desviación mínima de 137 grados, 55 minutos y 19 segundos, formándose el arcoíris a un ángulo de 42 grados, 4 minutos y 41 segundos, que es el ángulo que hay desde la sombra de nuestra cabeza. Por eso nunca puedes alcanzar un arcoíris, al acercarte tu posición cambia.
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Para \(n = 4/3\), para lo que será en algún lugar en medio del espectro. Según la Ecuación\(\ref{eq:1.7.8}\), el radio de la proa\((R = \pi − D_{\text{min}})\) es entonces de aproximadamente 42°. Es decir, \(2\theta' − \theta\) = 21°. Si combinamos esto con la ley de Snell,\(3\sin \theta = 4\sin \theta'\), encontramos que, a desviación mínima (es decir, donde está el arco primario),\(\theta\) = 60°.5 y\(\theta'\) = 40°.8.
Polarización en el Arco Primario
Ahora, en el punto de reflexión interna, no toda la luz se refleja (porque\(\theta'\) es menor que el ángulo crítico de 36°.9), y se verá que el ángulo entre los rayos reflejados y refractados es (180 − 60.6 − 40.8) grados = 78°.6. Aquellos lectores que estén familiarizados con la ley de Brewster entenderán que cuando los rayos reflejados y transmitidos estén en ángulo recto entre sí, el rayo reflejado está completamente polarizado plano. El ángulo, como hemos visto, no es de 90°, sino de 78°.6, pero esto es lo suficientemente cercano a la condición de Brewster como para que la luz reflejada, aunque no esté completamente polarizada en plano, esté fuertemente polarizada. También, después de la entrada, reflexión interna y salida, el porcentaje de polarización del rayo aumenta.
El Arcoíris Secundario
A cierta distancia fuera del arco iris primario, hay un arco iris secundario, con colores invertidos, es decir, rojo en el interior, azul en el exterior. El arco iris secundario está formado por los rayos que penetran en la gota y se reflejan dos veces en su superficie interna. El arco secundario se forma un ángulo de aproximadamente 50º y se produce después de dos reflexiones de los rayos de luz en el interior de la gota. Observamos también que el arco secundario tiene una anchura angular mayor que el primario.
La desviación del rayo emergente final de la dirección del rayo incidente es\((\theta − \theta') + (π − 2\theta') + (π − 2\theta') + (\theta − \theta')\), o en sentido contrario a\(2π + 2\theta − 6\theta'\) las agujas del reloj, que equivale a\(D = 6\theta' − 2\theta\) las agujas del reloj.
La Zona Oscura de Alejandro y Fenómenos de Interferencia
Para ángulos un poco menores que Dm la intensidad es prácticamente nula (zona oscura de Alejandro). No hay luz dispersada fuera del arco primario, ni luz dispersada dentro del arco secundario. El ángulo de la zona oscura de Alejandro Δφ es la diferencia entre el ángulo del rojo en el arco primario visto por el observador terrestre φ1=180-137.6=42.4º y el rojo del arco secundario visto por el mismo observador φ2=230.3-180=50.3º. Δφ=φ2-φ1=7.9º. En medio, la zona obscura de Alejandro.
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Si miras justo dentro del margen interior (azul) del arco, a menudo puedes ver claramente las franjas de interferencia producidas por dos rayos con la misma desviación. Si tuvieras que mirar a través de un filtro que transmita un solo color, estas franjas (si son lo suficientemente brillantes como para ver) deberían estar bien definidas. La diferencia de trayectoria óptica para una desviación dada, o dada\(r\), depende del radio de la caída (y de su índice de refracción). También pueden observarse máximos secundarios de intensidad incluso a ángulos más grandes que Dm, conocidos como arcos supernumerarios, resultado de la interferencia.
Magnitudes Angulares del Arcoíris
La refracción depende del color de la luz, lo que implica que el índice de refracción (n) también varía con la longitud de onda. A continuación, se presenta una tabla con los ángulos aproximados del arcoíris primario y secundario para diferentes colores, basados en sus índices de refracción específicos.
| Color | Índice de Refracción (n) | Ángulo del Arco Primario (R) | Ángulo del Arco Secundario (R) |
|---|---|---|---|
| Rojo | 1.3316 | 42° 17' | 50° 31' |
| Azul | 1.3439 | 40° 31' | 53° 42' |
El índice de refracción del agua, nagua, en función de la longitud de onda de la luz incidente, λ, se puede expresar según la expresión $n_\mathrm{agua}(\lambda) = 1.31848+\dfrac{6.662}{\lambda[\mathrm{nm}]-129.2}$. Se muestran los valores numéricos de las desviaciones mínimas de los rayos cuya longitud de onda corresponde a los extremos del espectro visible: rojo 780 nm, violeta 380 nm.
Brillo e Intensidad del Arcoíris
Es más brillante donde la pendiente de la curva del parámetro de desviación versus impacto es menor, es decir, a desviación mínima (para el arco primario) o desviación máxima (para el arco secundario). De hecho, el resplandor (brillo superficial) a una distancia dada del centro del arco es (entre otras cosas) inversamente proporcional a la pendiente de esa curva. Cualquier fotón con parámetros de impacto dentro de los dos anulos oscuros se desviará entre 144° y 146°, y finalmente se acercará al observador a distancias angulares entre 36° y 34° del centro.
En la entrada, en la reflexión interna y en la emergencia, parte de la luz se refleja y otra se transmite. Las fracciones que se reflejan o transmiten dependen del ángulo de incidencia, pero, para una desviación mínima, alrededor del 94% se transmite al entrar y nuevamente a la salida de la caída, pero solo alrededor del 6% se refleja internamente. Las fórmulas para los coeficientes de reflexión y transmisión (ecuaciones de Fresnel) son algo complicadas (las ecuaciones 1.5.1 y 1.5.2) son para luz incidente no polarizada), pero se han seguido en función del parámetro de impacto, y también se han tenido en cuenta los tamaños de los uno o dos anulos involucrados para cada parámetro de impacto, calculando así la variación del brillo de la superficie para un color\((n = 4/3)\) desde el centro hasta la circunferencia del arco. El programa interactivo calcula el ángulo de desviación D, y los coeficientes IP e IN que hay que multiplicar por 10-4. La magnitud relativa de estos coeficientes nos da una idea acerca de la polarización de la luz y su suma de la reducción de la intensidad de la luz.
Arcoíris Terciarios
En principio es posible un arco terciario, involucrando tres reflexiones internas. No sé si alguien ha observado un arco terciario, pero me dicen que el arco primario es azul por dentro, el arco secundario es rojo por dentro, y “por lo tanto” el arco terciario sería azul por dentro. Por el contrario, afirmo que el arco terciario sería rojo por dentro.