Cuando hablamos de factorizar polinomios, hay varias características que tenemos que tener en cuenta. Existen métodos generales para encontrar las raíces de polinomios de grado 3 y 4, ya sea en $\mathbb{R}[x]$ o en $\mathbb{C}[x]$. Para los polinomios de grado 4 se usa el método de Ferrari, el cual está explicado a detalle en el libro de Álgebra de Bravo, Rincón y Rincón.
Métodos de resolución y factorización
Cuando tenemos polinomios de grados 2, 3 y 4 podemos usar la fórmula cuadrática, el método de Cardano y el método de Ferrari para encontrar una fórmula para las soluciones. Así como el método de Cardano usa la fórmula cuadrática, del mismo modo el método de Ferrari reduce el problema a encontrar soluciones a un polinomio de grado 3. A continuación, se presenta un resumen de los enfoques principales:
- Método de Ferrari: Utilizado específicamente para polinomios de cuarto grado mediante simplificaciones algebraicas.
- División sucesiva y Ruffini: Se divide el polinomio entre los binomios $x-e$, que se forman al sustituir $e$ con los diferentes divisores del término independiente, hasta que el residuo de alguna división sea cero.
- Cambio de variable: Para trinomios de cuarto grado de exponentes pares, se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada realizando un cambio de variable.
Procedimiento mediante divisiones sucesivas
Cuando el residuo es cero, el divisor y el cociente forman la primera factorización de la función. Se repite el procedimiento de divisiones sucesivas hasta encontrar el primer residuo cero, pero ahora es el polinomio de tercer grado de la factorización anterior entre los binomios $x-f$, formados al sustituir $f$ con los divisores del término independiente del polinomio de tercer grado. Empleando división sintética, se divide este polinomio entre cada uno de los binomios anteriores hasta que el residuo de una de ellas sea cero.
Casos particulares de factorización
Es fundamental identificar la estructura del polinomio antes de aplicar métodos complejos:
- Sin término independiente: Si no hay término independiente hay que sacar factor común. Para facilitar el cálculo de raíces de un polinomio sin término independiente debes quitar la $x$.
- Trinomios de cuarto grado: Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada. Si el polinomio resultante no tiene raíces reales, se factoriza considerando que no existe ningún número que elevado al cuadrado sea negativo.
- Raíces racionales: Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales. En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
| Tipo de Polinomio | Estrategia principal |
|---|---|
| Grado 4 (Bicuadrado) | Cambio de variable ($u = x^2$) |
| Grado 4 (General) | Método de Ferrari o Ruffini |
| Sin término independiente | Factor común $x$ |
Limitaciones teóricas
Aunque el teorema fundamental del álgebra garantice la existencia de las raíces, hay un teorema de Abel y Ruffini que muestra que no es posible encontrar una fórmula general para polinomios de grado cinco o más. En esos casos, podemos dejar de lado la exactitud y preguntarnos si, dado un polinomio, podemos acercarnos a sus raíces tanto como queramos; hoy en día eso se hace mediante métodos computacionales. Recuerda que, para los polinomios, siempre es recomendable verificar si el polinomio es mónico para simplificar el proceso de búsqueda de divisores.
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