Introducción a la Fuerza de Lorentz
En la miniserie dedicada a las ecuaciones de Maxwell, además de la introducción histórica, hemos dedicado un artículo a cada una de las cuatro: la ley de Gauss para el campo eléctrico, la ley de Gauss para el campo magnético, la ley de Faraday y la ley de Ampère-Maxwell. Una vez desgranadas, mal que bien, las cuatro ecuaciones, queremos complementarlas con unos pequeños anexos sin los que nos parece que la cosa se queda un poco coja. En primer lugar, como habrás visto si has seguido la serie hasta ahora, las cuatro ecuaciones establecen cuáles son las fuentes y las propiedades de los campos eléctrico y magnético. Pero eso es sólo la mitad de la historia: hemos estudiado los campos eléctrico y magnético como consecuencias, pero la razón por la cual nos pusimos a estudiarlos en primer lugar es porque notamos sus efectos a nuestro alrededor: ¿qué consecuencias tienen esos dos campos sobre la materia?
Sin embargo, la formulación de Maxwell del electromagnetismo es más abstracta y tiene algo así como dos pasos. Como hemos visto, la materia cargada crea campos - en el caso de la ley de Gauss, las cargas crean un campo eléctrico a su alrededor. Y es éste segundo “paso”, la influencia de los campos sobre la materia cargada -es decir, la fuerza ejercida por los campos sobre las cargas- el que no aparece en ninguna de las ecuaciones de Maxwell y al que nos vamos a dedicar brevemente hoy. La ley de la fuerza de Lorentz completa esa imagen describiendo la fuerza que actúa sobre una carga puntual q en movimiento en presencia de campos electromagnéticos.
Antecedentes Históricos de su Formulación
Afortunadamente, a diferencia de la generación de campos a partir de la materia, el efecto de los campos sobre ella es más simple y fue resumido en una sola ley física por un viejo amigo de El Tamiz, Hendrink Antoon Lorentz. Sin embargo, como suele pasar en ciencia, el resultado no es la labor de un sólo héroe, sino de una larga cadena de ellos.
Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Se propuso que la fuerza sobre los polos magnéticos, por Johann Tobias Mayer y otros en 1760, y los objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762, obedecían a una ley de la inversa del cuadrado. Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue completa ni concluyente. Como ya hemos visto, Charles-Augustin de Coulomb había establecido ya una ley matemática que describía la atracción y repulsión entre cargas -debida, en términos más modernos, al campo eléctrico-, y André-Marie Ampère había llegado a una ley similar que describía la atracción y repulsión entre corrientes eléctricas -en términos post-Maxwell debida al campo magnético-. De modo que conocíamos ya, de manera más simple, los efectos de los campos sobre la materia cargada, pero nos hacía falta reformular estas leyes en términos post-Maxwell, es decir, en términos explícitos del campo eléctrico y magnético.
J. J. Thomson fue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y de los campos externos. Thomson derivó la forma básica correcta de la fórmula, pero, debido a algunos errores de cálculo y a una descripción incompleta de la corriente de desplazamiento, incluyó un factor de escala incorrecto de la mitad delante de la fórmula. Sí, ese 1/2 sobra, pero veamos qué significa cualitativamente esta “ley de Thomson” para la fuerza magnética, ya que hay una operación ahí que todavía no hemos visto específicamente en esta mini-serie. El responsable de corregirlo no fue otro que Oliver Heaviside, quien reescribió y reorganizó las muchas ecuaciones de Maxwell como las cuatro que conocemos hoy.
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Finalmente, en 1895, Hendrik Lorentz derivó la forma moderna de la fórmula de la fuerza electromagnética que incluye las contribuciones a la fuerza total de los campos eléctrico y magnético. Lorentz comenzó abandonando las descripciones maxwellianas del éter y la conducción. En su lugar, Lorentz hizo una distinción entre la materia y el éter e intentó aplicar las ecuaciones de Maxwell a escala microscópica.
Componentes de la Fuerza de Lorentz
La fuerza de Lorentz es donde es la velocidad de la carga, es el vector intensidad de campo eléctrico y es el vector inducción magnética.
La ecuación que describe la fuerza de Lorentz sobre una partícula cargada q en presencia de un campo eléctrico E y un campo magnético B es:
F = q(E + v × B)
Los componentes de esta fuerza se detallan a continuación:
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| Componente de la Fuerza | Descripción | Efecto Principal |
|---|---|---|
| Fuerza Eléctrica (qE) | Depende de la carga (q) y el vector intensidad de campo eléctrico (E). | Actúa en la dirección del campo eléctrico o en la opuesta. Puede hacer que la partícula se mueva más rápido o más lento. |
| Fuerza Magnética (q(v × B)) | Depende de la carga (q), la velocidad (v) de la partícula y el vector inducción magnética (B). | Siempre perpendicular a la velocidad y al campo magnético. No cambia la magnitud de la velocidad, causa trayectorias curvas (circulares o helicoidales). |
La Fuerza Magnética
De acuerdo con Thomson -y con todos los experimentos realizados, claro, pues su fórmula era una ley, es decir, una observación empírica puesta por escrito-, aunque tengamos una carga eléctrica tremenda inmersa en un campo magnético de tres pares de narices, si la carga está quieta, no sufrirá absolutamente ninguna fuerza magnética. Es decir, para que exista un campo magnético no basta con que haya cargas: debe haber cargas moviéndose. Pero ahora, de acuerdo con Thomson, vemos que para que una carga eléctrica sufra los efectos de un campo magnético no basta con que haya un campo y una carga: debe haber un campo y una carga moviéndose. Sólo las cargas en movimiento crean B y sólo las cargas en movimiento sufren B.
Nos queda una cosa más por analizar: el término que involucra al campo magnético no es un producto cualquiera, sino un producto vectorial entre la velocidad \(\boldsymbol{v}\) y el campo \(\boldsymbol{B}\), representado por ese signo de multiplicación a la antigua usanza. La propiedad fundamental es que el resultado es siempre perpendicular a los dos vectores involucrados. Una vez más, si te fijas, existe una simetría con la generación del campo por la ley de Ampère-Maxwell: el campo magnético era siempre perpendicular a las corrientes eléctricas y los cables. Sin embargo, más interesante aún es la otra perpendicularidad: la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad.
¿Qué significa esto? Que si, por ejemplo, la carga va hacia la derecha, la fuerza magnética nunca jamás irá hacia la derecha ni hacia la izquierda. De hecho, nunca irá en ninguna dirección que no sea perpendicular a la dirección en la que se mueve la carga: nunca la empujará lo más mínimo “hacia delante” en su movimiento, y nunca la empujará “hacia atrás” en su movimiento. Esta perpendicularidad significa además que un campo magnético nunca jamás puede hacer que una partícula se mueva más deprisa o más despacio que antes. Como puedes ver, puesto que la dirección de la fuerza va cambiando según lo hace la velocidad, nuestra partícula terminaría realizando una circunferencia. Si hubiera empezado moviéndose en otra dirección, tal vez hubiera seguido una especie de “muelle” avanzando en una dirección pero girando en otra, pero siempre hubiera aparecido algún movimiento circular por la propia naturaleza de la “fuerza de Thomson”.
La Fuerza Eléctrica
Una vez cuantificada la influencia del campo magnético, para completar la ley que describía la influencia del campo electromagnético sobre la materia sólo faltaba, por tanto, incorporar el campo eléctrico a esa ley; en otras palabras, hacía falta introducir ahí la ley de Coulomb reescrita en términos de los campos de Maxwell. Como sucedía en las cuatro ecuaciones de Maxwell, aquí el campo eléctrico también es más simple y sus efectos más intuitivos. En el término de E no hay velocidad que valga, ni productos vectoriales, ni perpendicularidades ni pamplinas. Para que una carga sufra una fuerza eléctrica sólo hacen falta dos cosas: una carga y un campo. La segunda diferencia con la parte establecida por Thomson y Heaviside es que aquí no hay nada perpendicular: si el campo eléctrico va en una dirección determinada, la carga sufrirá una fuerza en ese sentido o el opuesto. Es posible, por ejemplo, tener una partícula que va hacia la derecha y que el campo vaya hacia la derecha y la fuerza también: esa partícula, como consecuencia, se moverá cada vez más rápido.
La Fuerza de Lorentz desde una Perspectiva Relativista y su Deducción
En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadrivectores. Para introducir dicho campo, puede ser que tengamos que recurrir al cuadrivector potencial A o al tensor de Faraday F. Hagamos lo que hagamos, el nuevo término deberá ser invariante relativista y además invariante frente a reparametrizaciones.
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Ahora queremos acoplar a nuestra acción (o a nuestra lagrangiana) un término que, al aplicársele las ecuaciones de Euler-Lagrange junto con el anterior, nos de una ecuación de balance de fuerzas. Actualmente sólo conocemos dos fuerzas que podamos acoplar a la lagrangiana: la gravedad (para la que tendríamos recurrir a Relatividad General y aún no ha sido tratada) y el electromagnetismo. La comprensión adecuada de la limitación de esta concepción es particularmente importante, ya que sirve para identificar la dirección para la profundización de la teoría.
La definición operativa estándar del campo electromagnético implica el uso de una carga de prueba. En consecuencia, asumimos la existencia de partículas que pueden actuar en tal capacidad. Esto significa que el campo tiene una frecuencia suficientemente baja en el resto del marco de la partícula para no afectar su estructura interna. Se propone describir el cambio resultante de los cuatro momentos \(P \rightarrow P' = P+dP\) como una transformación infinitesimal de Lorentz. Para caracterizar específicamente la fuerza de Lorentz, hay que agregar que la caracterización del campo es independiente del cuatromomento de la carga de prueba, además es independiente del marco de referencia del observador. El efecto de la fuerza de Lorentz sobre una partícula (carga de prueba) se representa como la formación trans del espacio de cuatro momentos de la partícula hacia sí misma, y las transformaciones son los elementos del grupo activo de Lorentz. Además, las representaciones matriciales en diferentes marcos de Lorentz están conectadas por transformaciones de similitud. Primero, mostramos que una transformación infinitesimal de Lorentz efectivamente se reduce a la fuerza de Lorentz siempre que establezcamos un “diccionario” entre los parámetros de la transformación y el campo electromagnético.
La estrecha conexión entre el álgebra del grupo Lorentz y la del campo electromagnético, es bien conocida. Las transformaciones de Lorentz pueden considerarse generalizaciones de las rotaciones espaciales al espacio-tiempo. Un evento se especifica por su ubicación y tiempo (x, y, z, t) en relación con un marco de referencia inercial particular S. Este conjunto de ecuaciones, que relacionan la posición y el tiempo en los dos marcos inerciales, se conoce como transformación de Lorentz. Reciben su nombre en honor a H.A. Lorentz (1853 a 1928), quien las propuso por primera vez. La transformación inversa expresa las variables de S en términos de las de S′. La cantidad \(\Delta s^2\) es invariante bajo la transformación de Lorentz.
Los fenómenos relativistas pueden analizarse en términos de eventos en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. La trayectoria de una partícula a través del espacio-tiempo consiste en los eventos (x, y, z¸ ct) que especifican una ubicación en cada momento de su movimiento. La trayectoria a través del espacio-tiempo se denomina línea de universo de la partícula. El cono de luz, según los postulados de la relatividad, tiene lados en un ángulo de 45° si el eje del tiempo se mide en unidades de ct, y, según los postulados de la relatividad, el cono de luz sigue siendo el mismo en todos los marcos inerciales.
Casos Especiales y Consideraciones Avanzadas
En el caso de que (i) F sea axial unimodular, porque (ii) es singular no axial. Un campo que tiene esta propiedad invariante de Lorentz se llama campo nulo. En este campo la configuración \(\vec{E}\) y \(\vec{B}\) son perpendiculares y son de igual tamaño. En el caso “normal” (i) es posible encontrar un marco canónico Lorentz, en el que los campos eléctrico y magnético están a lo largo de la misma línea, son paralelos, o antiparalelos. El tornillo Lorentz corresponde a una llave Maxwell. Se especifica por un vector unitario \(\hat{s} n\) y los valores de los campos en el marco canónico \(E_{can}\) y \(B_{can}\). La llave puede degenerar lata con \(E_{can} = 0\), o \(B_{can} = 0\).
Limitaciones y Contexto General
La ley de la fuerza de Lorentz describe el efecto de E y B sobre una carga puntual, pero esas fuerzas electromagnéticas no son la imagen completa. Las partículas cargadas están posiblemente acopladas a otras fuerzas, en particular la gravedad y las fuerzas nucleares. Así, las ecuaciones de Maxwell no están separadas de otras leyes físicas, sino que están acopladas a ellas a través de las densidades de carga y de corriente.
En los materiales reales, la fuerza de Lorentz es inadecuada para describir el comportamiento colectivo de las partículas cargadas, tanto en principio como en términos de cálculo. Las partículas cargadas en un medio material no sólo responden a los campos E y B, sino que también generan estos campos. Para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas deben resolverse complejas ecuaciones de transporte, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes. Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estas cuestiones.