La deducción, o razonamiento deductivo, es una piedra angular en el campo de las matemáticas y en diversas disciplinas científicas. Como muchos de los conceptos que nos encontramos en las ciencias, la deducción puede parecer terriblemente complicada, sobre todo cuando se aplica a situaciones abstractas o hipotéticas. Afortunadamente, es algo que hacemos en nuestra vida cotidiana, a menudo sin prestarle demasiada atención.
La Esencia de la Deducción
La deducción es simplemente la lógica que utilizamos cuando partimos de algo que observamos en general y lo aplicamos a un caso concreto.
Según la Real Academia de la Lengua, deducir es “Inferir, sacar consecuencias de un principio, proposición o supuesto“.
En una palabra, si las premisas en que nos basamos, los antecedentes, son verdaderos, entonces, de forma irremediable, obligatoria, necesaria, el consecuente, lo deducido, debe ser verdadero también.
Es útil pensar en la deducción como lo contrario de la inducción, que ocurre cuando nos movemos en la otra dirección, de un caso específico a una generalidad. Consideremos el siguiente ejemplo: Todos los caballos tienen cuatro patas. Bill es un caballo. Por lo tanto, Bill tiene cuatro patas.
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La deducción ha tenido una gran influencia en la filosofía, las matemáticas, la informática y, más recientemente, la inteligencia artificial. El grado en que podemos confiar en la deducción depende de si nuestro argumento es sólido y válido.
Elementos Fundamentales de un Sistema Deductivo
Para establecer un sistema deductivo formal, comenzamos por fijar un idioma\(\mathcal{L}\). También supongamos que se nos ha dado un conjunto fijo de\(\mathcal{L}\) -fórmulas\(\Lambda\), llamado el conjunto de axiomas lógicos, y un conjunto de pares ordenados\(\left( \Gamma, \phi \right)\), llamados las reglas de inferencia.
Supongamos que\(\Sigma\) es una colección de\(\mathcal{L}\) -fórmulas y\(D\) es una secuencia finita\(\left( \phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n \right)\) de\(\mathcal{L}\) -fórmulas.
En una deducción se nos permite anotar cualquier\(\mathcal{L}\) fórmula que nos guste, siempre y cuando esa fórmula sea un axioma lógico o esté listada explícitamente en una colección\(\Sigma\) de axiomas no lógicos.
Es posible que hayas descubierto que existen muchos sistemas deductivos diferentes, dependiendo de las elecciones para las que se tomen\(\Lambda\), y las reglas de inferencia. Como regla general, un sistema deductivo o bien tendrá muchas reglas de inferencia y pocos axiomas lógicos, o no demasiadas reglas y muchos axiomas.
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Podemos observar un caso particular: supongamos, para empezar, que no queremos hacer suposiciones. Entonces, vamos\(\Sigma = \emptyset\), vamos\(\Lambda = \emptyset\). No hay deducciones del conjunto vacío de axiomas.
La Naturaleza Sintáctica y Verificable de la Deducción
Recuerden, lo que estamos tratando de hacer aquí es tener una definición de deducción que sea enteramente sintáctica, que no dependa de los significados de los símbolos. Donde es probable que te encuentres con problemas es cuando empiezas a pensar demasiado en los significados de las cosas que escribes.
Nuestra definición nos da deducciones que son fácilmente verificables: Ante una supuesta deducción de\(\Sigma\), siempre y cuando podamos decidir en qué fórmulas se encuentran\(\Sigma\) podemos decidir si la supuesta deducción es correcta.
De hecho, podríamos programar fácilmente una computadora para verificar la deducción por nosotros.
La duda en cuanto a las premisas de las matemáticas que sentí en ese momento quedó conmigo, y determinó el curso de mi trabajo posterior. [Russell 67, p.
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El Proceso de Construcción de Deducciones
La definición de deducción puede ser abordada de dos maneras: la definición de “abajo hacia arriba”, que define una deducción en términos de sus partes, o un enfoque “de arriba hacia abajo”, que consiste en fijar conjuntos de\(\mathcal{L}\) -fórmulas\(\Sigma\) y\(\Lambda\) y una colección de reglas de inferencia.
El Método de Deducción Paso a Paso (MDPP) requiere que se pase el argumento o razonamiento dado en lenguaje natural a lógica simbólica. Sirve para meter una premisa o hipótesis en cualquier paso de la deducción. Sirve para implicar tautológicamente una o varias expresiones obtenidas en algún paso de la deducción y para encontrar expresiones equivalentes.
Es indispensable que realices una instancia de sustitución para que uses una de las implicaciones. La instancia de sustitución opera únicamente sobre atómicas. Para llevar un registro, usa tres columnas: en la primera enumera todos los pasos del método, desde el paso 1; en la segunda especifica la regla usada (P o T) haciendo referencia al número de la hipótesis o del paso o pasos sobre los cuales estés trabajando y, en su caso, la implicación utilizada; y en la tercera la fórmula obtenida.
Es necesario que impliques todas las premisas o hipótesis.
El Conjunto de Teoremas (Thm\(_\Sigma\))
Esta proposición hace dos afirmaciones separadas sobre el conjunto Thm\(_\Sigma\). La primera afirmación es que Thm\(_\Sigma\) satisface los tres criterios. La segunda afirmación es que Thm\(_\Sigma\) es el conjunto más pequeño para satisfacer los criterios.
Para comenzar, debemos demostrar que\(\Sigma \subseteq\) Thm\(_\Sigma\). Pero ciertamente si\(\sigma \in \Sigma\), hay una deducción -de-\(\Sigma\) de\(\sigma\), por ejemplo esta deducción unifilar:\(\sigma\). Del mismo modo, para demostrar que\(\Lambda \subseteq\) Thm\(_\Sigma\).
Para terminar esta parte de la prueba, debemos demostrar que si\(\left( \Gamma, \theta \right)\) es una regla de inferencia y Thm\(\Gamma \subseteq\)\(_\Sigma\), entonces\(\theta \in\) Thm\(_\Sigma\). Pero para producir una deducción -de-\(\Sigma\) de\(\theta\), todo lo que tenemos que hacer es anotar deducciones de cada uno de los\(\gamma\)'s in\(\Gamma\), seguido de la fórmula\(\theta\).
Se trata de una deducción válida, como se\(\theta\) desprende\(\Gamma\) de la regla de inferencia\(\left( \Gamma, \theta \right)\).
Lógica Proposicional y Verdad
La Lógica trata con proposiciones, y una proposición es una frase a la que podemos atribuir sin ningún género de duda un valor de certeza o falsedad.
La Lógica formal no entiende nada acerca de si una proposición individual es verdadera o falsa. No tiene ni la menor idea de si p o q son verdaderas o falsas, ni le importa, ni le interesa lo más mínimo. Asegura la Lógica que, por ejemplo, si tenemos la proposición (p•q), esa proposición compleja sólo será cierta si tanto p como q son ciertas, y en cualquier otro caso, p•q es falsa.
Para fijar qué proposiciones son ciertas y cuáles falsas están otras disciplinas filosóficas (Ética, Moral, Ontología, etc), o científicas (Termodinámica, Trigonometría, Floricultura, Cromodinámica cuántica, etc).
En este aspecto la Lógica es como la Matemática: ésta última permite transformar ecuaciones en base a una serie de reglas sin entrar a descifrar su significado. La Matemática garantiza nada más (¡y nada menos!) que todas las transformaciones matemáticas realizadas son correctas, así que si las ecuaciones iniciales son verdaderas, entonces la conclusión lo es también. Pues lo mismo ocurre con la Lógica.
Dadas una serie de proposiciones iniciales combinadas de cierta manera, la Lógica (que no deja de ser una rama de la Matemática) nos dice cómo podemos transformarlas y nos asegura qué les ocurre a las proposiciones que con ellas se forman, según sea el valor de verdad o falsedad de esas proposiciones iniciales… valor de certeza o falsedad que tienen que proporcionar otras personas u otras ciencias.
Tautologías y Contradicciones
Una Tautología es una proposición lógica que es siempre verdad, pero siempre, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Por ejemplo, la frase “Hace calor O No hace calor”, es una tautología: tanto da si hace calor como si no, la frase resultante es obviamente cierta.
El caso contrario, cuando una proposición lógica es intrínsecamente falsa, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones atómicas individuales que la forman, se llama Contradicción. “Llueve Y no llueve” es una contradicción: pase lo que pase en la calle, es falsa.
En una deducción, la tabla de verdad de la expresión que representa el razonamiento debe ser una tautología, es decir, todos los valores resultado para todas las combinaciones posibles de valores deben ser 1.
No queda más remedio que obligar a que, cuando el antecedente sea verdad, el consecuente sea obligatoriamente verdad.
Por cierto, y esto es importante, el razonamiento puede ser correcto o incorrecto, nunca verdadero o falso. Las premisas lo son, verdaderas o falsas; el razonamiento en sí no lo es. Si el razonamiento que hemos hecho es correcto, entonces, cuando todas las premisas sean verdad, y sólo en ese caso, podemos asegurar que la conclusión es verdadera también.
Ejemplos de Deducciones y Reglas de Inferencia
Trabajemos en el lenguaje\(\mathcal{L} = \{ P \}\), donde\(P\) es un símbolo de relación binaria. Consideremos el sistema\(\Sigma\) de axiomas:
\[\begin{align} \Sigma = &\{ \forall x P \left( x, x \right), \\ &P \left( u, v \right), \\ &P \left( u, v \right) \rightarrow P \left( v, u \right), \\ &P \left( v, u \right) \rightarrow P \left( u, u \right) \}. \end{align}\]
Vamos a dejar\(\Lambda = \emptyset\) por ahora. También necesitamos tener un conjunto de reglas de inferencia. Una posible deducción sería:
\[\begin{align} &P \left( u, v \right) \\ &P \left( u, v \right) \rightarrow P \left( v, u \right) \\ &P \left( v, u \right) \\ &P \left( v, u \right) \rightarrow P \left( u, u \right) \\ &P \left( u, u \right). \end{align}\]
Observe, sin embargo, que no podemos usar la declaración universal\(\forall x P \left( x, x \right)\) para derivar nuestra fórmula necesaria\(P \left( u, u \right)\). Nuestra definición de deducción es muy limitante; ni siquiera podemos usar trucos lógicos estándar como la instanciación universal [de\(\forall x blah \left( x \right)\) deducir\(blah \left( t \right)\)].
Modus Ponens y Modus Tollens
El sentido común nos dice que un razonamiento como I11: P, P → Q, por lo tanto Q es plenamente correcto. Si es cierto que “estoy estornudando“, y es también cierto que “si estornudo, entonces cierro los ojos“, si ambas son ciertas, entonces indefectiblemente debo estar con los ojos cerrados. Efectivamente, la conjunción (Y) de las dos premisas implicando la conclusión es una tautología.
También encontramos el “modus tollendo tollens“, más conocido por modus tollens a secas, y que tan importante es para el Falsacionismo. O sea, si se cumple que A implica a B, y se cumple la negación de B, entonces la conclusión es la negación de A.
Cuando tenemos una cadena de premisas con implicaciones encadenadas, se puede alcanzar la conclusión usando extensivamente el modus ponens, en una suerte de propiedad transitiva encadenada, usando la conclusión del modus ponens anterior como premisa del siguiente, y así. Es evidente que, si todas las frases son ciertas, y sólo en ese caso, se puede seguir la cadena de implicaciones para llegar a una conclusión.
En el ejemplo del nene luthierano al que su mamá amenazaba con el Hombre de la Bolsa si no tomaba la sopa, el nene rápidamente se da cuenta de que el razonamiento es impecable. Luego entonces deben ser las premisas; alguna de ellas es falsa, no hay duda. El nene deduce que la frase de su mamá “Si no me tomo la sopa, Viene el Hombre de la Bolsa“ no es cierta, al no cumplirse el consecuente.
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