En este artículo veremos cómo derivar la suma (o resta) de dos funciones. Las derivadas son una herramienta que permite expresar el cambio que sufre una función en un punto dado. Este tema es fundamental en la comprensión de la derivada y cómo llegar a ella de forma sencilla en un tiempo más corto, pues estas concretas reglas hacen que los cálculos de las aplicaciones de la derivada sean sencillos. Al facilitar el tiempo que se requiere para resolver problemas de Cálculo, es importante entender y comprender cómo es que deben de aplicarse las reglas de derivación.
Fundamentación y Objetivo de las Reglas de Derivación
El presente tema corresponde a la UDA “Cálculo diferencial”. Las reglas de derivación, también conocidas como Teoremas fundamentales de la derivada, tal cual su nombre, son normas que sirven de guía para que se derive sin la necesidad de seguir un proceso tan elaborado, con simples operaciones aritméticas se llega al mismo resultado ahorrando tiempo y esfuerzo en los cálculos.
El objetivo didáctico es Identificar las reglas de derivación para poder aplicarlas en el cálculo de la derivada como una herramienta que permita agilizar el trabajo y que sus resultados permitan la interpretación de la información.
Fórmula de Derivación para la Suma de Funciones
Supongamos que tenemos una función la cual la podemos escribir como la suma de dos funciones u y v, esto es f(x) = u(x) + v(x), entonces tenemos que (u+v)' = u' + v' o bien esto lo podemos ver por medio de la definición de derivada, tenemos que lim (f(x+h)-f(x))/h.
Para la suma, la regla establece que se deben derivar cada una de las funciones por individual: f(x)=u+v resultando en f'(x)=u’+v’.
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Ejemplo de Derivación de Suma
Veremos algunos ejercicios donde aplicaremos lo aprendido. Deriva la siguiente función: f(x) = 5x8 + 2x + 3.
Notemos que tenemos la suma de dos funciones, de 5x8 y de 2x+3, además sus derivadas son 40x7 y 2. Por lo tanto, aplicando la regla de la suma, obtenemos f'(x) = 40x7 + 2. En el primer término se aplica la regla del exponente, después en el segundo la derivada de x y por último la derivada de una constante.
Fórmula de Derivación para la Resta de Funciones
Análogamente pasa con la resta, esto es, si tenemos que f(x) = u(x) - v(x) entonces tenemos que (u-v)' = u' - v' o bien la demostración por definición de derivada es análoga a la suma.
Al igual que en la suma, se derivan por individual cada una de las funciones: f(x)=u-v resultando en f'(x)=u’-v’.
Ejemplo de Derivación de Resta
Deriva la siguiente función: f(x) = 30x2 - 27x - 3 - 5.
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Notemos que tenemos la resta de varias funciones (o términos), y sus derivadas se restan. Por lo tanto, f'(x) = 60x - 27, derivando cada término individualmente.
Combinación de Sumas y Restas en una Función
IMPORTANTE: hay funciones donde se suman y restan funciones, se deriva cada una en lo individual respetando el signo que le corresponde.
Ejemplo Combinado
Deriva la siguiente función: f(x) = 10x2 + 7x - 3x + 5x.
Notemos que tenemos tanto una suma como una resta, en este caso las derivadas de la suma se suman y las de la resta se restan. Aplicando la regla a cada término individualmente, obtenemos f'(x) = 20x + 7 - 3 + 5.
Observaciones Importantes y Reglas Relacionadas
Existen algunas observaciones clave que facilitan aún más la aplicación de estas reglas:
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- Observación 1: Generalización. Hay que notar que la regla de la derivada de la suma de dos funciones se puede generalizar para el caso de más de dos funciones.
- Observación 2: Constante por Función. Recuerda que la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función: (cf)'(x) = cf'(x).
Entonces, por este hecho y la observación 1, tenemos un método muy directo para derivar cualquier polinomio.
Reglas de Derivación Inmediatas Utilizadas en los Ejemplos
Para aplicar las reglas de suma y resta, es fundamental conocer las derivadas de funciones básicas, a menudo llamadas derivadas inmediatas:
- Derivada de una constante: Cuando una función es una constante, el resultado siempre será cero. Ejemplo: f(x)=5, entonces f'(x)=0.
- Derivada de "x": La derivada de x es el valor del coeficiente del término. Ejemplo: f(x)=10x, entonces f'(x)=10.
- Derivada de un exponente: El exponente multiplica al coeficiente del término y al exponente se le resta uno. Ejemplo: f(x)=2x5, entonces f'(x)=5*2x5-1 = 10x4.
Tabla Resumen de Reglas para Suma y Resta
A continuación, se presenta un resumen de las reglas de derivación para sumas y restas de funciones:
| Operación | Regla General | Ejemplo |
|---|---|---|
| Suma de funciones | Si f(x) = u(x) + v(x), entonces f'(x) = u’(x) + v’(x) | Si f(x) = 5x8 + 2x + 3, entonces f'(x) = 40x7 + 2 |
| Resta de funciones | Si f(x) = u(x) - v(x), entonces f'(x) = u’(x) - v’(x) | Si f(x) = 30x2 - 27x - 3 - 5, entonces f'(x) = 60x - 27 |
| Suma y Resta Combinada | Derivar cada función en lo individual respetando el signo que le corresponde. | Si f(x) = 10x2 + 7x - 3x + 5x, entonces f'(x) = 20x + 7 - 3 + 5 |
Ideas Clave para Recordar
Es importante que de lo anterior recuerdes que:
- La derivada de una constante es cero.
- La derivada de “x” es el valor del coeficiente del término.
- Para derivar por exponente, el exponente multiplica al coeficiente del término y al exponente se le resta uno.
- Las reglas para sumas y restas siguen el mismo esquema, lo único que cambia es el signo correspondiente a cada uno.
- Las funciones compuestas de sumas y restas deben de derivarse cada función en lo individual respetando el signo que le corresponde.